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1、第34卷第7期2004年7月数学的实践与认识MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORYVol134No17July, 2004一类解析函数族及其 阶组合问题李书海(赤峰民族师范高等专科学校数学系,内蒙古 赤峰024001)摘要:引进用H算子刻画的一族解析函数Pn(,)并研究族Pn(,)上算子函数及其导数的 阶组合问题.得到用 阶组合定义的函数在圆域 ZR1n0内属于Pn(,),其中R0是一个二次方程的正根.由此推出某些函数族的相应结果.关键词:H算子;正实部函数;Bazilevich函数;组合; Hadamard卷积1引言收稿日期: 2002205231基金
2、项目:内蒙古自治区高校科研基金(NJ02110)设Sn(n= 1, 2,)表示单位圆U= Z:Z 1内解析函数f(Z) =Z+an+ 1Zn+ 1+ 的全体.用S3()和k() ( -1,用Hp(Z) =1(1 -Z)+ 13p(Z)(p(Z)An,ZU)定义算子H,符号3 表示Hadamard卷积.把Hadamard卷积展开,得到Hp(Z) = 1 +(+ 1)(+n-1)(n-1)!AnZn+本文引进如下两类解析函数族.定义1设 -1, 0 ,ZU(1)则称q(Z)在Qn(,)中.显然Qn(0,)中分别取q(Z) =f(Z)Z和f(Z) (f(Z)Sn)时,就得到 级星象函数族S3n()和
3、 级凸象函数族Kn().定义2设 -1, 0, 0 1, 0 ,ZU(2)则称p(Z)在Pn(,)中.显然 = 0时,得到Pn(0,)=p(Z)An: Re 1+Zp(Z)p(Z)p(Z)q(Z),q(Z)Qn(,),ZU(3) 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/在Pn(0,)中分别取p(Z) =f(Z)Z(f(Z)Sn),q(Z) =G(Z)Z(G(Z)S3n()时,就得到熟知的Bazilerich函数族Bn(,);Pn(0,)中令p(Z) =f(Z
4、) (f(Z)Sn),q(Z) =G(Z) (G(Z)K3n()时,就得到Bn(,)=f(Z)Sn: Re 1+Zf(Z)f(Z)f(Z)G(Z),G(Z)Kn(),ZU(4)在文献12中研究了某些单叶解析函数形成的凸组合问题.本文引进并研究Pn(,)上的算子函数及其导数的 阶组合问题.设 -1, 0, 0 1, 0 1,p(Z)Pn(,),作解析函数M(Z),适合关系式(1 -) (HM(Z)=(1 -) (Hp(Z)+Z (Hp(Z), 0 ,ZU,那么对固定的自然数n,当 Z=r -1, 0, 0 1,q(Z) = 1 +BnZn+Qn(,),作解析函数N(Z),适合关系式(1 -) (
5、HN(Z)=(1 -) (Hq(Z)+Z (Hq(Z), 0 11 +(8)则N(Z) = 1 +NnZn+ 在圆域 Z 0,只要 Z=r满足条件(1 -r2n) (1 -) - (1 -) + (1 -) (1 -rn)2-2nrn 0(13)就有Re 1 +Z(HN0(Z)HN0(Z) 0,当0 rR1n0时, (13)式成立,r=R1n0时, (13)式左端= 0.于是函数N(Z)在圆域 Z 0, 0 11 +则函数F(Z) =Z+bn+ 1Zn+ 1+ 在圆域 Z 0, 0 11 +则函数F(Z) =Z+bn+ 1Zn+ 1+ 在圆域 Z -1, 0, 0 1, 0 1,p(Z) =
6、1 +AnZn+ Pn(,),作解析函数M(Z),适合关系式(1 -) (HM(Z)=(1 -) (Hp(Z)+Z (Hp(Z), 0 11 +(14)则M(Z) = 1 +MnZn+ 在圆域 Z令N(Z) = 1 +NnZn+,由于在U内q(Z)适合关系式(1 -) (HN(Z)=(1 -) (Hq(Z)+Z (Hq(Z)(15)由定理1,N(Z)在圆域 Z 0,所以当R0表示方程(9)的正根,而 Z=r由于N(Z)在 ZR1n0内属于Qn(,),可知M(Z)在圆域 Z 0, 0 1, 0 1,p(Z) = 1 +AnZn+ Pn(0,),作解析函数M(Z),适合关系式(1 -)M(Z) =
7、(1 -)p(Z) +Z(p(Z), 0 11 +则M(Z) = 1 +MnZn+ 在圆域 Z 0, 0 1, 0 1,F(Z) =Z+bn+ 1Zn+ 1+ Bn(,),作解析函数f(Z),适合关系式(1 -)f(Z)Z=(1 -)F(Z)Z+ZF(Z)Z, 0 11 +(21)则函数f(Z) =Z+an+ 1Zn+ 1+ 在圆域 Z 0, 0 1, 0 1,F(Z) =Z+bn+ 1Zn+ 1+ Bn(,),则作解析函数f(Z),适合关系式(1 -) (f(Z)=(1 -) (F(Z)+Z (F(Z), 0 11 +031数学的实践与认识34卷 1994-2007 China Academ
8、ic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/则函数f(Z) =Z+an+ 1Zn+ 1+ 在圆域 ZR1n0内属于函数族Bn(,),其中R0表示方程(9)的正根.从定理1和定理2也可推出某些多叶函数族的相应结果.这里不再赘述.参考文献:1L ivingston AE. On the radius of univalence of certain analytic functionJ . Proc AM S, 1966, 17: 352357.2U ralegaddiBA , Patil HS. The r
9、adius of univalence of Convex Combination of Certain analytic functionsJ . M athRes and Exposition, 1990.349354.3Bernardi SD. New distortion theorem s for fuctions of Positive real PartJ . Proc AM S, 1974, 45: 113118.4Shah GM. On the univalence of Some analytic functionJ . Pacific JourM ath, 1972, 4
10、3: 239250.5吴卓人.劳勃生的特殊星象函数与特殊凸象函数J .数学学报, 1957, 7(2): 167182.6吴卓人.星象积分算子与Bazilevich函数族J .数学学报, 1984, 27(3): 394409.A Class of Analytic Function andorder Combination ProblemL I Shu2hai(Department ofM athematics, Chifeng Teachers College for N ationalities, InnerM ogolia 024001, China)Abstract:W e defi
11、ne a differentied operatorHand a classPn(,) of analytic functions2order Combination Problem.2order Combination functions . Circular discZR1n0belong toPn(,), whenR0is the positive root of equation. Hence some new results on Combinationof Bazilevich function are obtained.Keywords:Hoperator; functions of positive real part; Bazilevich1317期李书海:一类解析函数族及其 阶组合问题 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/