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1、 刚 体 力 学本章本章教学要求：教学要求：了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。了解进动绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。了解进动的概念。的概念。本章重点：本章重点：刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动问题问题本章难点：本章难点： 刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律下
2、一页上一页体（理想模型）刚体：不发生形变的物在刚体之外。可以穿过刚体，也可以（固）定轴转动，定轴转动（绕某轴线转动）刚体运动形式：平动 点，交于设某个转动平面与转轴o称为转动平面。任一垂直于转轴的平面点均则该转动平面上所有质同）。点作圆周运动（半径不绕o参考方向oo)irivPim可用 ， ， 描写刚体运动决定，且，方向由右手螺旋法则角速度矢量向。因而，沿转轴正向或逆转轴方只可能有两个方向，即示。可用投影量（正负）表的关系是与角速度则其线速度离转轴距离为设刚体上某质元iiivrm,iirviirv 其大小为tiar切向加速度2inra 法向加速度参考方向oo)irivPim质点系角动量定理的一
3、般形式ddLMt外在转轴（z轴）上分量ddzzLMt轴的角动量。刚体绕轴方向分量；合外力矩在zLzMzz:上式略去下标，简写为ddLMt一、刚体受力矩对转轴力矩在转动平面内。外力iiFF. 1(*) iiiFrM力的切向分量）大小：:sin( sin iiiiiiiiizFFFrFrM)(沿转轴方向向上方向：右手螺旋，图中|. 2FFF和分解为不在转动平面内，将其外力体转动不起作用；平行于转轴的力，对刚:|F）定义由（转动平面内），其力矩垂直于转轴的力（即在*:FFrMiFziinFiF。指向力的作用点的矢量转动平面与转轴交点ori:，总力矩为刚体同时受几个力矩时 . 3nMMMM.21），因
4、而可用投影代数方向（沿转轴或逆转轴由于各力矩也只有两个和表示：.2211rFrFFrMMiiiizz量，转动定律二、刚体定轴转动角动zivim：相对于转轴的角动量为刚体上质元im2iiirml)(22iiiiiiiirmrmlL则.2211rFrFFrMMiiii略去下标，定义：刚体对于转轴的转动惯量J为：2i iiJmrLJ则ddddLMJJtt 外力矩的代数和合外力矩maF 形似)(22iiiiiiiirmrmlLddLMt由 于， 则同一转轴受合外力矩等于刚体对定理：刚体上式即为刚体定轴转动的乘积。的转动惯量与角加速度) iMM刚体产生角加速度原因是受外力矩作用。与同正负。是投影量（代数
5、量），) iiM与J是对同一转轴而言的，J是大于零的。MJ2i iiJmr.2211rFrFFrMMiiii刚体受合外力矩：刚体的转动惯量：三、转动惯量J刚体转动惯性分立质点. 12i iJm r1m2moo1r2rimir连续分布. 22 dmdJr dm小质元2 Jr dm则取决于三个因素：转轴位置的分布；的大小；. 3 . 2 . 1mmoodmr JJJ总杆子弹解：Mma例：杆绕端点转动，子弹 从 处打入，求系统的J。2231maMl mMla) ivaR关联方程四、转动定理的应用质点构成的系统；常用于研究刚体 ) i方向与刚体转动作力矩分析。质点运动质点作受力分析，刚体)ii向自洽）
6、；转轴正向与质点运动正方向要协调。（即刚体列方程；程，对刚体用转动定律对质点用牛顿定律列方)iii21J,2mrmr例：已知定滑轮质量 ，半径 ，用，点各绕中心轴转动，两质mm 2。轻绳连接，由静止释放.T求：两滑轮之间张力轮仅为一连接件，说明：中学内容中定滑现在滑轮转绳中张力处处相同，但力不同！动不可忽略，绳各处张正向向下，内。右质点，即两滑轮转轴正向向解：设整体顺时针运动m2aTT1T1Tmm2mg2mg2T2T图。正向向上，受力分析如左质点m ar关联方程mamgT1 左质点maTmg22 2右质点22 2mT rTrr右滑轮21 2mTrTrr左滑轮mgT811 解出aTT1T1Tmm
7、2mg2mg2T2T解：3220.1m1 10 kg m0.5RFt 例 ：已知滑轮，J，绕中心轴转动。？秒时。求方向如图），初始静止1)(tSIoFRtFRM5 . 0ddMJJt00ddtMtJ得1050 d25rad/st t积累）效应。力矩的角积累（空间功21ddAAM一、力矩作功，则外力矩作功：运动了作用下，在外力刚体中质元dsFmi ddddiAF sF rM作功力矩推广：对整个刚体合外MddAMddMA与同向，为正；否则为负。之和为零。可以证明，内力矩作功位置，外力矩作功：当刚体由21点的重力势能。集中于质心体的重力势能为其质量刚体有一质量中心，刚 二、转动动能2222121 i
8、iiikiirmvmEm：22211 22kkii iEEm rJ总转动动能：三、刚体转动动能定理ddddddAMJJt 2211222121ddd()2kkJAAMJEE 转动动能的增量。合外力矩作功等于刚体四、刚体的重力势能2lr N)nmgt，绕一端点转动，长例：已知杆质量lm213Jml，初水平静止，求位于任意角 时， 、 为多少？gmN、重力受力：轴支持力：用转动定理求解法1重力矩2cos32cos (123mglMgJlml与 有关）cosFmg向内）( cos2mglM 轴力矩0Msin3lg而ddddddddtt 即dd 积分得0003ddcos d2gl 得d()dt能定理：
9、用刚体定轴转动的动解法200dcos dsin22mglmglAM 21 02J刚体的动能增量为：得sin32lgsin3lg上式对t求导数d3cosd2gtld3d2cosddgtlt得22211 1sin()222 3mglJmlN)nmgt力矩作功：求导可得：用机械能守恒求解解法3守在转动过程中，只有保的系统。研究对象：棒和地组成内力（重力）作功。0 E水平状态机械能2 sin22JlEmg角时机械能由机械能守恒可求得sin3lgN)nmgtd3cosd2gtlvmrLL动量一、质点定点转动的角2 LrmvmrJ大小 (LJmv因而角动量）类似 （动量）量又称为动量矩。又称为动量矩，即角
10、动称为力矩，所以由于vmrFrvormo转动定理dd()ddddJLMJJtttJ为常量ddddddLJMJttt转动定理更普遍形式量二、刚体定轴转动角动2 :iiiirmLm总角动量2ii iLLmrJLJ或ooirivim于刚体角动量增量理）：刚体受冲量矩等角动量定理（动量矩定三、角动量定理ddM tL称冲量矩称冲量，类似MdtFdt积分上式22112121ddtLtLM tLLLJJddiiLMt外:成的系统）个刚体或刚体、质点组推广到系统（可以有几iiLLMM 外则角动量守恒定理角动量守恒定理FF1122 JJ推广到非刚体，则有J，或者，但J1.0M单个刚体，当时，J恒量实际生活中的一
11、些现象实际生活中的一些现象艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合高！高！高！高！、芭蕾舞演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作当滑冰、跳水、体操运当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转动员在空中为了迅速翻转也总是曲体、减小转动惯也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地量、增加角速度。当落地时则总是伸直身体、增大时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳落转动惯量、使身体平稳落地。地。回转运动:1.不受外力矩时： 陀螺仪（ P112面）2.受到外力矩时： 进动因此，开始不旋转的物体，当因此，开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一其一部分旋转时，必引起另一部分朝另
12、一反方向旋转。部分朝另一反方向旋转。刚体系统）系统（一般是质点. 2恒量则如果外iiLM , 01102201122 JJJJ两刚体忽略不计，短，内力矩大，外力矩系统的碰撞，注意：对于质点，刚体t守恒。定动量守恒，机械能不一情况下，一般不能满足因而角动量守恒。在此解：碰撞前角动量212MMllm例：杆质量，长 ，绕中点转动，J，开始竖直静止。子弹 ，？，射入下端，问初速水平vMmvlMmmv)3(6) 1 ( 21lmvL 碰撞后角动量2 (2)LJ且22( ) (3)212mMlMJJJml角动量守恒，得的重力矩忽略不计。由的重力矩为零，碰撞过程中，mM久形变。全非弹性碰撞，产生永答：不守恒
13、！因为是完量是否守恒？为什么？）碰撞过程中，水平动问：i碰撞前水平动量碰撞后水平动量0 11MmPmvPMmvmlmPm33)2(2202MP动量减少）( 12mmPP被动约束力）。用力！（也是一冲力，这是因为轴对杆有一作是否守恒？）碰撞过程中，机械能ii。初杆静止，将球拉开连接小球；轻绳长，例：已知匀质杆12mlLm。长，使碰后球刚好停住问：试设计l完全弹性碰撞。一定角度，使球、杆做有)2() 1 (21m2mLl，碰撞后杆角速度为解：设碰撞前球速0v角动量守恒1 0 1m v lJ棒（）机械能守恒221 (3Jm L棒已知）221 011 (2)22mvJ棒221213mlJm L棒222
14、2 210221 0Jm v lmvJ棒棒Lmml123）无关？落高度（即思考：为什么与小球下0v321Llmm时，当质点弹性碰撞1mv2m静止停）碰撞后交换动量！（时，当121mmm 迁移1m2mLl静止刚体弹性碰撞121mmJm当J时，碰撞后交换角动量！（停）)2(rM设摩擦力矩对棒，用角动量定理（2111.3mlOml例：细棒， 静止放在摩擦系数为 的水平桌上，可绕 旋转，J反向弹回。垂直击另一端，并以小球以21vv时间。）开始转动到停止所需）碰后棒角速度；（求：（211m2mlO1v2v恒（向外为转轴正向）碰撞过程中，角动量守解：) 1 ( 2 122m vlm v lJ lmvvm1
15、212)(3)2(211处集中于相当于lmlgmMr2101d03trMtJm l 摩擦力矩gmvvmt12122 解得关于摩擦力矩1dddmxmmxl在 处取， ddfmg 元摩擦力 ddrMf x元摩擦力矩总摩擦力矩21110dd22lrrmm g llMMgx xm gll 1mlOdmx例）质量为例）质量为M M、半径为、半径为R R的转盘，可绕通过中心的竖直轴的转盘，可绕通过中心的竖直轴转动。开始质量为转动。开始质量为m m的人相对转盘静止在离转轴中心的人相对转盘静止在离转轴中心R/2R/2处。开始系统以角速度处。开始系统以角速度 旋转。然后人相对于转盘以速旋转。然后人相对于转盘以速
16、度度v v垂直于垂直于R R方向走动（与原转动方向相反），求转盘相方向走动（与原转动方向相反），求转盘相对于地的角速度。对于地的角速度。已知：已知：0),(,20RvRmM求：求：盘地解：以解：以M、m为研究对象为研究对象 0外力矩M故角动量守恒故角动量守恒以地面为参照，建立转轴的以地面为参照，建立转轴的正方向正方向(向下向下)如图如图+Mm0010(1)LJJ人盘）盘地人盘人地)2(盘地人盘人地开始人和盘绕轴角动量为：开始人和盘绕轴角动量为： 22122,RJmJMR人盘+Mm人和转台绕轴转动惯量分别为人和转台绕轴转动惯量分别为人地0t时刻人相对地的角速度为：时刻人相对地的角速度为：上式的投
17、影为为：上式的投影为为：2(4)LJJ人人地盘盘地盘地+M人地盘地m010(1)LJJ人盘）)2(盘地人盘人地2(4)LJJ人人地盘盘地根据题意，人相对盘的角速度根据题意，人相对盘的角速度为：为：)3(22/RvRv人盘t时刻系统的角动量为：时刻系统的角动量为：由系统的角动量守恒，可得：由系统的角动量守恒，可得：)5(21LL 2/R+MXm0（3）式代入（）式代入（2）式，可得：）式，可得：盘地人地Rv2上式代入（上式代入（4）式，可得：）式，可得：22(vLJJR人盘地盘盘地）10(1)LJJ人盘）)5(21LL 可得：可得：RvmMm220盘地盘地人地转动惯量J质点一维运动与刚体定轴转动类比记忆m质量x位置v速度a加速度角位置角速度角加速度F质点受力rFM 受力矩maF 牛顿定律MJ转动定律质点一维运动与刚体定轴转动类比记忆221mv平动能212J转动能mvP 动量LJ角动量21dttIF t冲量21dttM t冲量矩动能定理kakbabEEA转动动能定理222111d22AMJJ动量定理2121dttF tmvmv角动量定理2121dttM tJJdAF x力作功21dAM力矩作功