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1、向量的基本概念与运算2022-6-51平平 面面 向向 量量 复复 习习运算运算 向量加法与减法向量加法与减法 平行四边形法则平行四边形法则平行的充要条件平行的充要条件平面向量的基本定理平面向量的基本定理三三 角角 形形 法法 则则向量及相关概念向量及相关概念 向量的数量积向量的数量积垂直的充要条件垂直的充要条件 实数与向量的积实数与向量的积 平平面面向向量量 共线向量定理共线向量定理2022-6-52向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。(2)(2)零向量：零向量：(3)(3)单位向量：单位向量：长度等于长度等于1 1个单位长度个单位长度的向量的向量.
2、.(4)(4)平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量. .(5)(5)相等向量：相等向量：长度长度相等相等且方向且方向相同相同的向量的向量. .(6)(6)相反向量：相反向量：长度长度相等相等且方向且方向相反相反的向量的向量. .1.1.向量及相关概念向量及相关概念(1)(1)向量的模向量的模：向量的向量的大小大小也就是向量的也就是向量的长度长度称称为向量的模为向量的模. .长度为长度为0 0的向量，记作的向量，记作 . .02022-6-53例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由(1)若 与 同向， ba且,ab则ab (2)对于任意向量则abba,ab且
3、 与 方向相同，(3)所有的单位向量都相等.( ) ( )( ) ( ) 例题分析例题分析2022-6-54(5)向量 与 是共线向量,则A、B、C、D 四点共线.CD AB (6)如果 ， ，则 . bacbca( ) ( ) (4)零向量与任意向量都平行. ( )( ) 2022-6-55（1）向量的加法几何运算：三角形法则2.2.向量的基本运算向量的基本运算AB平行四边形法则COABAB+BCAC OA OBOC 1122( ,),(,)ax ybxy设C代数运算：ab则1212(,)xxyy2022-6-56（2）向量的减法2.2.向量的基本运算向量的基本运算OAB几何运算：代数运算：
4、三角形法则BAOAOB 1122( ,),(,)ax ybxy设ab则1212(,)xxyy2022-6-572.2.向量的基本运算向量的基本运算(3)a实 数与 的 乘 积几何意义：坐标表示：a是 一 个 向 量 ,0;a, a与 同向时,00a时实质就是向量的伸长与缩短( , ),ax ya若则(,)xyaa且0;a, a与 反向时2022-6-582.2.向量的基本运算向量的基本运算（4）两个非零向量的数量积a b 几何意义：几何意义：坐标表示：坐标表示：a与ab在的方向上的投影cosb的乘积1122( ,),(,)ax ybxy设a b 1 21 2x xy ycosa b 2022-
5、6-593.3.平面向量之间的关系平面向量之间的关系（1）两个向量相等的两种形式ab 则abab且 与 方向相同1122( ,),(,)ax ybxy若ab 1212,xxyy且2022-6-5103.3.平面向量之间的关系平面向量之间的关系(2)向量平行(共线)充要条件a(0)b b ab1122( ,),(,)ax ybxy若则ab12210 x yx y有且只有一个实数 使得2022-6-5113.3.平面向量之间的关系平面向量之间的关系(3)两个非零向量非零向量垂直的充要条件ab0a b1122( ,),(,)ax ybxy若则ab12120 x xy y2022-6-512例2.已知
6、 (1，2)， (3，2)，当k为何值时， 与 垂直？当k为何值时， 与 平行？ 平行时它们是同向还是反向? abkab3abkab3ab例题分析例题分析2022-6-51312e e 、例3.已知向量不共线， 求实数 的值.12ee 12ee 若向量 与 共线，求证：A、B、D三点共线；12ABee 1228BCee 1233CDee 若 ， ， ;提示提示: :BDBC CD 125()ee 5AB AB BD AB BD 又 与 有公共点BA、B、D三点共线2022-6-514提示提示: :12e e 、例3.已知向量不共线， 求实数 的值.12ee 12ee 若向量 与 共线，求证：A
7、、B、D三点共线；12ABee 1228BCee 1233CDee 若 ， ， ;若向量 与 共线12ee 12ee 存在实数 使k12eek 12（e - e）1kk 根据向量相等的条件2022-6-51512e e 、例3.已知向量分别是直角坐标系内与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，提示提示: :(1, 1)AB 求实数 的值.12ee 12ee 若向量 与 共线，求证：A、B、D三点共线；12ABee 1228BCee 1233CDee 若 ， ， ;(2, 8)BC (3,3)CD 2022-6-5164.4.平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的基本定理平面向量的基本定理1 1
8、2 2aee 如果 是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有有且只有一对实数 使12,ee,21a12,ee不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2022-6-517例4.在ABC中，点D是BC的中点，点N在边AC上且AN2NC，AD与BN相交于点P，CAa CBb abCP 若 ， ，试用 、 表示 .例题分析例题分析2022-6-518OA OBOB OC ()0OB OAOC 0OB CA OB CA 2.分析：BCAO同理可证：OCAB OA BC 2022-6-519ACABADab 11()44CNACab MNMCCN 11()24bab分析：5.1()4ba2022-6-520总结总结*正确理解概念的基础上，掌握两个向量的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟练运用向量的几何形式与代数形式进行运算，*理解共线向量定理、平面向量的基本定理，并能简单应用，解题时注意数与形的结合. 2022-6-521教学目标：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示； (2)掌握向量的加法、减法、数乘的几何运算 及代数运算； (3)了解共线向量的概念，理解两个向量 共线的充要条件； (4)掌握平面向量的数量积定义和两个向量 垂直的充要条件； (5)理解平面向量的基本定理，并能简单运用. 2022-6-522