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1、章末复习课第二章概率学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念.2.掌握超几何分布及二项分布，并能进行简单的应用，了解分布密度曲线的特点及表示的意义.3.理解条件概率与事件相互独立的概念.4.会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并能利用均值和方差解决一些实际问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理一、离散型随机变量的分布列一、离散型随机变量的分布列1.定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，随机变量X取ai的概率为pi(i1,2，)，记作： 或把上式列成下表上述表或式称为离散型随机变量X的分布列. P(xai)pi(i1,2，) ，Xaia1a2P(Xai)p1p22
2、.求随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量X的取值.(2)准确求出X取每一个值时的概率.(3)列成表格的形式.3.离散型随机变量分布列的性质(1) ，i1,2，.(2) .pi0p1p21二、条件概率与独立事件二、条件概率与独立事件1.A发生时B发生的条件概率为P(B|A) .2.对于两个事件A，B，如果 ，则称A，B相互独立.若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 也相互独立.3.求条件概率的常用方法(1)定义：即P(B|A) .(2)借助古典概型公式P(B|A) .P(AB)P(A)P(B)三、离散型随机变量的均值与方差三、离散型随机变量的均值与方差1.定义：一般地，设随机变量X所有可能取
3、的值是a1，a2，an，这些值对应的概率是p1，p2，pn，则EX 叫作这个离散型随机变量X的均值.E(XEX)2是(XEX)2的均值，并称之为随机变量X的方差，记为 .2.意义：均值刻画的是X取值的“中心位置”，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度.方差越小，则随机变量偏离于均值的 .a1p1a2p2arprDX平均程度越小四、超几何分布与二项分布四、超几何分布与二项分布1.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品，从中任取n(nN)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数.那么P(Xk) (kN)，X服从参数为N，M，n的超几何分布，其均值EX .2.二项分布在
4、n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1p.用X表示这n次独立重复试验中成功的次数，则P(Xk) .称为X服从参数为n，p的二项分布.其均值为EXnp，方差为DXnp(1p).五、正态分布五、正态分布1.正态分布的分布密度函数为f(x) ，x0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”.(3)P(X)68.3%.P(2X2)95.4%.P(3X3)99.7%.题型探究例例1口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？类型一条件概率的求法解解记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球.从
5、口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有45个，解答(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？解析解析从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有43个，解答(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？解解利用条件概率的计算公式，解答反思与感悟条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率.一般地，计算条件概率常有两种方法：
6、在古典概型中，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数.跟踪训练跟踪训练1掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率.解答解解设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.方法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，n(B)6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n(AB)3.解答类型二互斥、对立、独立事件的概率例例2英语老师要求学生从星期一到星
7、期四每天学习3个英语单词，每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同).(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；解解设“英语老师抽到的4个单词中，至少有3个是后两天学习过的”为事件A，(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 ，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为 ，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和均值.解答解解由题意可得可取0,1,2,3，所以的分布列为(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问
8、题的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系.(3)公式“P(AB)1P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率；解答(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求P(1).解答解解由题意，知的可能取值为0,1,2,3.0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，所以P(1)P(0)P(1)0.45
9、. 事件A：参加次数的和为4，情况有：1人参加1次，另1人参加3次，2人都参加2次；解答类型三离散型随机变量的分布列、均值和方差例例3某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值.解答解解X的可能取值为0,1,2.X的分布列为求离散型随机变量的均值与方差的步骤反思与感悟跟踪训练跟踪训练3某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银
10、行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；解答解解设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的均值与方差.解答解解X的可能取值是1,2,3，所以X的分布列为解解考生成绩XN(500,502 )，500，50，P(550X600) P(500250X500250)P(50050X50050) (0.9540.683)0.136，考生成绩
11、在550600分的人数为2 5000.136340.解答类型四正态分布例例4某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550600分的人数.(1)记住正态总体在(，)，(2，2)和(3，3)三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题.反思与感悟跟踪训练跟踪训练4已知XN(1，2)，若P(3X1)0.4，则P(3X1)的值是_.解析答案解析解析由于XN(1，2)，且区间3，1与1,1关于x1对称，所以P(3X1)2P(3X
12、1)0.8.0.8解答类型五分类讨论数学思想方法的应用例例5某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10分.如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列和均值；解解三个问题均答错，得00(10)10(分).三个问题均答对，得10102040(分).三个问题一对两错，包括两种情况：前两个问题一对一错，第三个问题错，得100(10)0(分)；前两个问题错，第三个问题
13、对，得002020(分).三个问题两对一错，也包括两种情况：前两个问题对，第三个问题错，得1010(10)10(分)；第三个问题对，前两个问题一对一错，得2010030(分).故的可能取值为10,0,10,20,30,40.P(10)0.20.20.40.016，P(0) 0.20.80.40.128，P(10)0.80.80.40.256，P(20)0.20.20.60.024，P(30) 0.80.20.60.192，P(40)0.80.80.60.384.所以的分布列为 10010203040P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384所以E100.0160
14、0.128100.256200.024300.192400.38424.解解这位挑战者总得分不为负分的概率为P(0)1P(0)10.0160.984.解答(2)求这位挑战者总得分不为负分(即0)的概率.解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决.转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想.反思与感悟跟踪训练跟踪训练5某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 .同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 .在这种假定之
15、下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程).解答随机变量X的分布列为当堂训练解析解析设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，则P(B|A) .故选D.234511.抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为解析答案23451答案解析234513.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.3%，P(22)95.4%)A.4.6% B.13.6
16、%C.27.2% D.31.7%答案解析解析解析由正态分布的概率公式，知P(33)0.683，P(66)0.954，故选B.23451解析4.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为_.答案解析解析每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，5.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2，将这个小正方体抛掷2次，求向上的数之积的分布列和均值.解答2345123451解解设所得两数之和为，则的可能取值为0,1,2,4，所以
17、的分布列为23451规律与方法其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.2.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系.(3)公式“P(AB)1P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.3.求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用超几何分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.对于正态分布问题，新课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布的分布密度函数.(2)理解分布密度曲线的性质.(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图像求相应的概率.本课结束