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1、经典变分法缺陷：1、应用前提：a 、控制量 u(t)的取值不受任何限制，没有任何 不等式约束。 b 、 f、L、 等函数对其自变量有充分可微性。 2、实际控制要求：a 、控制量u受不等式约束，如： 0)(uMi，i=1,2,3 b 、性能指标有时并不完全可微如：燃料最优控制： fttdttuJ0)(20uuu若采用经典变分： 。极小值原理。实际应为0*1*;, 0UUUUUH10uuu0U1UHUJu0U1U2UHUJu0U1U若采用经典变分法： 0UH不再适用，求不出解来实际应为 0*UU极小值原理10uuu若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值原理与经典变分法，所得结论一致。0U
2、1UHUJu*U一、极小值原理：时变系统时变受控系统 ),(tUXfX ，其中控制向量 rRtu)(， 为容许控制域， U(t)是在 内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始 00)(XtX转移到末端 )(ftX， )(ftX满足约束： 0),(ffttXgft， 未定， 并使性能指标达 fttffdtttUtXLttXJ0),(),(),(到极小值。 设 )(*tU和 *ft是如上J为最小的最优解， )(*tX为最优状态轨为0的n维向量 )(t，满足: 1、规范方程： XHtUXfX),(2、边界条件： 0)()(),()(),()()(00fTftfffTfffftgtHtXttXgt
3、XttXtXtXf线，则必存在不3、与 )(*tU对应的哈密顿函数H取极小值。),(),(),(min),(),(),(*)(*tttUtXHtttUtXHtu即:设 )(),(*ttX为满足 状态方程和协状态方程的最优解。 在 中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条)(*tU使得 ),(),(),(*tttUtXH仅看作U的函数时也取最小值。极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行二、极小值原理的意义：1 、容许控制条件放宽变分法：在整个控制域，对U没有约束 0uH有时 计算不易。极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。变分法仅为极小值原理的一个特例。),(),(),(
4、*tttUtXH0uH件为证明，省略。且即使U不受限制，2、最优控制 *U使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。这一原理是苏联学者 “庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。在证明过程中： 与H得符号与这里所定义的相反。 HH_)(),(),(max)(),(),(*_)(*_tuttXHtUttXHtu所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。一般:对于实际系统 有最优解 有唯一解 最优解根据物理意义极小值原理三、几种边界条件得讨论：上面所讨论的是
5、 0t和 )(0tX已知。 )(ftX受约束， ft自由的最一般情况。若 ft和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。1） ftt ,0已知， ffXtXXtX)(,)(00边界条件为： 2) 000)(,XtXt给定，)(ftX自由， ft未给定，边界条件： ftfXtXtX|)(,)(00确定 :ft0ffttH3) ftt ,0已知， 00)(XtX给定,末端受约束 0),(ffttXg边界条件为: 0),()()(00fffTffttXgtXgtXtXtX若 ft自由:外加: 0|fTfttgtHfffXtXXtX)(,)(00四、例题分析 :设一阶系统状态方程：)()()(
6、tutxtx x(0)=5 控制约束: 15 . 0 u试求使性能指标: 10)()(dttutxJ为极小值的最优控制 及最优性能指标 *J解:定常系统, ft固定,末端自由问题)1 ()1 ()(uxuxuxH根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小所以 )(*tU5 . 01由协状态方程: 1)();(1 )(tcettXHt)(*tU11由横截条件: 1)(; 01) 1 (11tetecce显然:当 1)(st时，)(*tU产生切换307. 0, 11)(1ststets所以 )(*tU5 . 01)(tx5 . 0)(1)(txtx)(tx5 . 0121ttecec307. 0
7、0 t1307. 0 t307. 00 t1307. 0 t307. 00t1307. 0t由x(0)=5代入,得 41c所以 14)(*tetx令t=0.307可得0.307t1时x(t)的初始条件:44. 614)307. 0(307. 0 ex解得 34. 42c所以 )(*tX5 . 034. 414ttee将 *,UX代入J可得:64. 8)()(10*dttUtXJ307. 00 t307. 00t1307. 0t例2: 10)0()(21)(min1022xuxxdtuxuJ求 *u a)对U没有约束 b) |u|3 . 0解:a) *220)(21210) 1 (UuHuxux
8、HxuxxxxH010)0(x0) 1 (解得: tttteeteetx2222*) 12(9 . 9) 12( 1 . 0)(9 . 91 . 0)(b) |u| 3 . 0由极小值原理: sgn*U当t=1时 0在0,1区间 0)(t所以 3 . 0)(*tU五、极小值原理中哈密顿函数H的性质讨论用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及1、线性定常系统： ),(UXfX ft、) 1固定， dtUXLtXJfttf0),()(包括 fttfdtUXLJtXJ0),()(与末端状态无关)则: )()(*ftHtH常数 。 tHdtdHH中不显函tft、)2自由， ffttttf
9、fdtUXLdtUXLtXtXJ00),(),()()(沿最优控制轨线： 0)()(*ftHtH（与末端状态无关） 因为 )(*tH中不显函t所以 )()(*ftHtH常数又因为 ft自由, 0)(; 0; 0)(*fffftHtttH*ft2、对于时变系统： ),(tUXfX ft、) 1固定: ffttffttffdttUXLttXdttUXLttXJ00),(),(),(),(fttfdHtHtH0)()(*ft、)2自由: fttffdttUXLttXJ0),(),(，末端 0),(ffttXg0)(*fTfftgttH 若末端自由: ffttH)(*证明：见胡寿松P91页第四节最小值
10、原理在实际中的应用几个典型例子：l1.时间最优控制问题l2.最小燃料消耗问题l3.最小能量控制问题l4.线性调节问题介绍重点：时间最优控制问题（其他求解思想与此类似）一、时间最优控制问题 所谓时间最优控制，就是把系统从初始状态转移到目标状态的时间作为性能指标，即使转移时间为最短。 这也是发展得最早的最优控制问题之一。1、问题提出问题提出（时变系统）（时变系统） 已知受控系统已知受控系统并设并设 f f 和和 B对对X(t)和和t 连续可微。连续可微。0)0(),(),(),(XXtuttXBttXfX1)(tjurj.2 , 10)(ftxg00ttdtJfttfft X：n1 状态向量状态向
11、量 u： r1 控制向量控制向量 f f ：n1 函数向量函数向量 B：nr 函数值矩阵函数值矩阵控制向量约束条件控制向量约束条件:末端状态：末端状态： g g：p p 1 1维函数向量维函数向量目标函数：目标函数： : 自由自由问题：寻求最优控制问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态，使系统由初态到终态， 目标函数目标函数J J 为最小为最小应用最小值原理进行问题的求解l步骤：列写哈密顿函数)(),()(),()(1)(),(),()(1),(),(),(tuttxBtttxfttuttxBttxfttttutxHTTT由控制方程求u*(t)u有约束， H在u*上取得极小值，即：令
12、 q:r 1维向量函数 注： )(),(*)(*min),(),(*),(*1tuttxBttttutxHTuTj1)(*),(*)(*nnrTtttxBtqTTTABBArjjjuTuTtutqtutqtutqjj111)()(min)()(*min)(*)(*)()(min11tutqjjrjuj则有：则有： j j =1=1，2r 2r 最优控制最优控制u u* *(t)(t)是使是使 为极小，则：为极小，则： )()()(min11tqtutqjjjrjuj)()(tutqjj)(* tuj0)( *,0)( *,0)( *,tqtqtqjjj不定不定可见：当可见：当 时，时， 有确定
13、值，正常情况有确定值，正常情况 当当 时，时， 不定，不定， 奇异情况奇异情况0)(tqj)(* tuj0)(tqj)(* tujt+1-1u*(t)奇异我们仅研究正常情况u*(t)写成符号函数sgn 形式则 j =1，2r向量形式：u*(t)=-sgnq*(t) =-sgn )(*sgn)(*tqtujj)(*),(tttxBT根据规范方程： )()()(),(),(tXHttuttxBttxfX及初始条件和横截条件： 000ffttTHtgXtXfffTftXttxgt,可求得x*(t)及)(* t求最优控制u*(t) )(*),(*sgn)(*tttxBtuT砰一砰控制2、砰一砰控制定理
14、： 要求控制量始终为最大或最小 设u*(t)是上述问题提出的解，x*(t), 是相应的状态轨线和协状态轨线。若问题正常(非奇异)，则 这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制)(* t)(*),(sgn)(*tttxBtuT3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法：如何确定最优控制u*(t) 设线性定常系统的状态方程为： 0)0(),()()(XXtButAXtX其中，X：n 1维状态向量 u：控制变量 A，B分别为n n，n 1矩阵约束条件：末端条件：1)(tu 0ftX求，使系统状态从转移到所用时间最短，即使为最小)(* tu00)(XtX0)(ffXtXftftdtJ0问题的求解首先列写哈
15、密顿函数：)()()()(1tButtAXtHTT根据极小值原理分析可得：)(*sgn)(*tBtuT有规范方程：BtBtAXtBXtAXXT)(sgn)()()(*BtT)(sgn*注： 为标量函数，题意要求)(tu000)()(0)()(tATTTetttAtAXH代入得：)(* tuBetuTtAToTsgn)(*BeAtTosgn可见，的值完全由的符号决定但是，的确定是不容易的。因为它还和系统的状态变量有关系。通常采用的方法是：)(* tuoo先设一个，求出，求出，判定若为，则即为所求；否则修正重复上述过程o)(t)(tX?0)(ftX)(t0开关次数定理： 设线性系统 是正常的（不存
16、在非奇异问题），若矩阵A的特征值均为实数，假定时间最优控制存在，并令其为 则u*(t)的切换次数最多不超过（n-1）次，n为系统的维数。)()(tButAXX,.2 , 1),(*rjtuj,1ju 以下将根据极小值定理，开关次数定理及相平于状态空间分析，求u*例题分析1： 时间最优控制问题ftJ minuxxx22101)(1)0(1ftxx 01)(2)0(2ftxx 求u*(t)1u解：对象为二阶线性系统双积分模型的时间最优控制（应用最普通最广泛的一种） 2221sgn*1uuxH由规范方程： 011XHXH11C122XH212CtC 则由uxxx22121sgn*CtCuC1，C2的
17、取值要求：保证01)( 1)0( 1ftxx01)(2)0(2ftxx*fftt 由开关次数定理知：切换一次，设切换时间为ts，则令 为了求出ts，必须首先找出状态在 平面上的转移轨线。12)(2,0CCtst21xx t2tt0011tstf由uxxx221设u=1，则1221xxx则：22atx122121atatx)2()(2122122aaat22221Kx如图(a)所示，为一组抛物线，当K=0时经过原点pos22212aaK其中tsp0X2若u=-1，则1221xxx22btx122121btbtx12221Kx211121bbK为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点NOTX1
18、X2u=-1NTo显然：若 初始状态在NO或在PO上，可进一步转移到目标原点，称NOP为开关曲线)0(2)0( 1,xx 由题意假设 它落在u=-1相应抛物线组中的一条上，即AQB，这时在u=-1的作用下，状态由 沿AQB转移到B，进行切换，B位于PO上，一步可到达原点。11)0(X11)0(XNX2opX1Bu=+1u=-1A1,1因此，问题的解为:先以u=-1控制到达Po曲线上的B点以u=+1沿开关曲线Po到达原点 从初始状态到达末端状态的轨迹为AQBO， 即 u*= 进而，可求出转移时间ts及最优时间 把状态轨线控制序列分成若干段，逐步算出所需时间，最后相加。求 及ts在AQB段,u=-
19、1,切换次数为1-1,+1tf*tfbbtxbxtt12212221 110 x121bb到达B点：t=ts, 1211212tttxttxsssssBO段：u=+1，12212221atatxatx当 时， ，则ftt 0)(2)( 1ffttxx21221fftata2212121ffttttxfttx222)( 1)(22121fsfstfstttttxttxss在B点应有：22)( 1221211211fsfstssfsttttxtttts联立求解： 即：2321231fstt2321*ft11*u23212312310tt 例题分析2：二阶积分系统的最小时间控制系统uxxx21u最小
20、时间控制问题：求u*(t),使系统由初态 xxxx201000转移到末端状态 的时间为最小，且满足00)(tfx1u解：列写哈密顿函数：uHx22112*sgnu 求解协状态方程122110 xxHH设022011)0()0(，则：constt011)(tt01022)(确定控制序列：显然，由知， 为一条直线，其形式有可能为4种)(sgn*2tu)(2t因此，u相应的控制序列为：-1，+1，-1， -1，+1+122222222-1-1uuuu+10, 002010, 002010, 002010, 00201状态轨线： 由知，u有4种可能的取值，其值为1，代入状态方程：dBuexetxttA
21、At)()(0)()0(101teAt注：11AsIeAt1011011012111tsssss)(21)(10101101101)(2020201)(2)(100201tuttxtxxxxdutxxttxttt利用上式，消去中间变量t，可导出x1和x2的关系为：)(21)(21)()(22202011tuxtuxxtxt1)(tu其在X1，X2平面上为一组抛物线如图：u=+1为实 u=-1为虚X1X2BAu=+1u=-1确定开关曲线：使系统状态直接回到末端状态的曲线AO和BO总的开关曲线：AOB显然：xxxxxxxxxxxxxxxAOBAOBO2212122212122212121,0,21
22、,0,21,AOB将状态平面分为两部分 和RR显然：xxxxxRxxxxxR2212, 12212, 12121X1X2BAOu=-1RR确定最优控制作用u* u*与初始状态 有关0201xx分析： 若 位于BO上，则u*= +1； 若 位于AO上，则u*= -1； 若 位于 内，则u*= -1，+1； 若 位于 内，则u*= +1，-1；02,01xx02,01xx02,01xxR02,01xxR在开关曲线上为转折点例3：升降机的快速降落问题： 设有一升降机W，它的质量为1，升降机一方面 受重力g的作用，另一方面受控制器的作用力u(t)的作用，且（Mg是常数）设x(t)为升降机离开地面的距离
23、，当t= 时， 离地面距离 垂直运动速度 ,)(Mtut0 xtxtxx020010)()(问题：求u*（t）,使升降机最快的到达地面，并且到达地面时的速度为零。即：tdtJftf0最小， 自由tf 0tfx 0tfx WugX(t)解：建立升降机系统的数学模型，F=ma 即：Xdtxdgut 22)(令： )(2)(1ttxxxx即：guxxx22102)0(201)0( 1xxxx00)(2)( 1ffttxx哈密顿函数：guxH2211显然，为了使H为最小，则 2sgn*Mu即：*uMuMu不确定000)(2)(2)(2ttt协状态方程： 即： 常数12221xHxH21211CtCC相
24、应于 的4种可能，u*的取值有4种可能+M，-M，+M,-M，-M，+M因此，下面只研究u=M时升降机的状态轨线2设u=M，则状态方程为： /： 是一组抛物线，图中实线箭头表示状态运动的方向 gMxxx221CgMxxgMxdxdx22122121在此族曲线中，只有 到达原点，r)(2:221gMxxrrr设u=-M，同理可得： 如图虚线所示CgMxx22121只有 到达原点， rr)(2:221gMxxrrr开关曲线r将相平面分为两部分，在r下半部的记为 ，包括 在r上半部的记位 ，包括RRrru*只取+M或-M，切换最多一次，因此可得到结论：初始状态 在 上， 状态沿 回原点 xxx020
25、10,rMu *r当 在曲线 上时 ， 状态沿 回原点当 时， 沿相应的虚线抛物线运动到 时， 沿 回到原点。 Rxx0201,xx0201,rrMu*Mu*r马上切换rMu*当 时， ，沿相应的实抛物线运动到 时， Rxx0201,Mu*r马上切换总之：xxxxxrrxxxxxRxxxxxR22121221212212121,21,21,Mu*，沿 回到原点。rRRMu*Mu*Mu*Mu*rr对于实际问题升降机的分析：它在地面之上， ，处于相平面的右半部分，且设 01x020 xa若 ，而 时状态沿实抛物线运动与 轴交于N ，这意味着升降机到达地面时，速度不为0，不合要求。Rx0rx0)0(
26、N 当 即开始以最大推力向下最用， 使升降机尽快下降。当其状态检测到达 时，马上改变控制，使它以 的最大推力向上作用，这样升降机将以速度0到达地面。,*,0MuRXrMu*Mu*Mu*Nr从上例可以看出：快速最优控制有如下特点： u*要么最大，要么最小。 u*的取值经过有限的（n-1）次（可为最多次）数切换可到达平衡点。 u*的取值仅在开管曲线上切换。注意：时间最优控制的应用中，有些实际问题并不要求将相点控制到状态空间原点，而是到某一集合，其分析方法与上类似（若二阶系统为一般的二阶系统，特征值为实数时，分析方法类似；为复数或纯虚数时，开关次数定理不成立，问题较为复杂，如无阻尼振荡二阶系统。二、
27、燃料最优控制问题 节约能源，减少燃料消耗在国民经济各部门中都是一项重要的技术经济课题。在航空和宇航中使用的原料是由地面起飞时带到空间去的。在空中携带的燃料是有限的，要保证长时间的飞行计划，就希望空中的控制系统消耗的燃料最小，而燃料的消耗一般是和控制力u的大小成正比的。U有正有负。因袭燃料消耗的性能指标 ： 也可以以升降机系统分析，只是相应于时间最优控制，要求到达地于所用时间最小，相应于燃料最优控制，要求达到目的地时所用燃料最小dtuJft0ftdtJ0dtuJft01、数学描述以二阶级分模型的燃料最优控制为例系统： 约束：uxxx2211u要求：系统从初始状态 转移到（0，0） 使 最小， 给
28、定。2010, XXdtuJft0ft解：应用极小值原理uxuH221101*u1111222)(2*tdezu正常：仅在有限个点上 奇异：至少在一段时间t1，t2间隔内1)(2t1)(2t正常：u*可取+1，-1，0随着t增大，u*在三个值上 切换，是一种三位控制开关控制。奇异：不能用极小值，死区函数。为使为最小，则使为最小uu2分析：若，则若使最小，则若，则若使最小，则若u2112uu221112010112222uuu11220*u101*u1111222由：12221xHxH21211CtCC 和相应的最优控制之间的关系：2,0fbbaatttttttt, 1, 1, 12221*0*
29、1*uuu显然，燃料最优控制也是开关式控制，控制器应为一个具有死区的继电器。*u+1+1+1+1-1-1-1-1tbtatfatbt和的计标uxxx221当时，1u12212221atatxatxCxx22121相平面上一组抛物线实线当时，1uCxx22121相平面上一组抛物线虚线12212221dtdtxdtx当时，0u12122btbxbx121btxx以下两个图形画出了不同初始状态转移轨线仅为进行分析：在处应满足：122122221dtdtbtbdtbaaaa相对于而言，点相对于而言，点*u=1*u=0*u=-11,1ab*u=-1*u=-1*ua=0*u=0*u=1*u=1bba-在处
30、应满足：122122221atatbtbatbbbbb解方程可得，的值习题：设系统为uxxx221010)0(2)0( 1xx00)(2)( 1ffttxx1u求最短时间控制及最短时间)(*tuft提示：开关曲线：22122121:21:xxrxxr对于段，1*u对于段，1*u,1, 1*u切换点为A10,0)*u=1*u=-1ftBts当t=ts时122)( 12)(221btbtxbtxsstst010)0(2)0( 1xx1021212122)( 1)(2ssststtbtbtxtxssBO段：u*=+112212221atatxatx当 时，X1=X2=0 ，则：ftt 212,fft
31、ata22122121fffttttxttx在B点应有：sfssfsfstttttttt10212121222联立求解：102,10fsttfsfsfstttxttttxs222)( 12121习题2分析：设线性状态方程为： 边界条件：1221xxuxx20)0(210)0( 1xxxx00)(2)( 1ffttxx容许控制为：求最短时间控制u*(t)及开关曲线（做出大致图形）1u分析: 根据最小值原理：1221)(1xuxH122221xHxH)( 1sgn*tu则：)sin(, 0,111121tC .1, 1, 1, 1*u切换周期为当u*=+1时，12211xxxx12211xxdxd
32、x1222122121cxxxCxx2221) 1(是一组同心圆，圆心为（0，1）同理，当u*=-1时，可得：Cxx2221) 1(只有NO右半圆及MO坐半圆弧能够到达原点，u*的切换周期为 ，曲线如图。是一组同心圆，圆心为（0，-1）1x2xMON箭头方向：以u=+1为例，当X21时， X1 ，X2 当X21时，X1 ，X2 所以箭头如图0) 1(2221Cxx当相点运动到 或 上的任意一点时,均可在相应的控制律u=+1或u=-1作用下，沿 或 最快地到达原点。0r0r0r0r现在改查最优轨线的倒数第二段。设u*(t)的最后一次切换发生在 上的A点，则倒数第二段的控制必有：u=-1，其最优轨
33、线必为（0，-1）为圆心的圆弧。0r1x2xRR1*u1*u110r0rAAX0由于时间持续不超过 ，故改圆弧的长度最多等于半圆，到达A点，发上第二段转换进而进入倒数第三段 。由于A点为 上的任一点，因此A点形成以（-3，0）为圆心，1为半径的半圆 。显然： 是u=-1到u=+1的开关曲线，而 则为u=+1到u=-1的开关曲线。同理可取：，一次类推，可得一系列圆弧，可谓开关曲线。0r r0r r极小值原理的证明：、基础证明：针对定常系统 、),()(UXftX、00)(XtX,0fttt 末端自由， )(minftXUJ 得出的极小值原理的结论，二、对于时变系统 ),()(tUXftX及 ft
34、tffdttUXLttXuJ0),(),(引入新状态变量的方法，将时变系统化为定常系统，利用定常系统极小值原理定理的结论进行证明。 等情况，可通过极小值原理的应用（时间最优）已知无阻尼振荡二阶系统的状态方程为：uxxxx121其中, 0ftt 试求最优控制 使系统由任意初态 ),(2010 xx以最短时间转移到状态空间原点。解：由极小值原理，可求取最优控制的必要条件为： 正则方程： uxxH212211例：例：1u*u特征根：复数uxxxx1221122211xHxH边界条件: 0)(, 0)(,)0(,)0(21202101fftxtxxxxx极小值条件: sgn2*u解协状态方程为： )c
35、os(cossin)(020102tDttt 所以 )cos(sgn0*tDu最优控制特点：最优控制特点：a、 )(2t只在某些孤立时刻为0，不存在奇异段，故 为砰-砰控制 。b、 的切换次数与系统阶数无关。c、除首尾两端外，最优控制每隔时间切换一次。*u*u20100220210;arctgD下面分析开关曲线：首先考虑相平等方程： uxxdxdx1221若 则： cxx2221) 1(是一组(1,0)为圆心的同心圆。若 则： cxx2221) 1(是一组(-1,0)为圆心的同心圆。方向如图：2211212121xcxx2211212121xcxx2x1xoror-111u1u显然，只有c=1
36、及 1 c两条曲线可到达末端而考虑到最优控制最优一段的时间 间隔，则最优轨线最后一段必位于下列两条半圆形开关线上。 0, 1) 1( | ),(0, 1) 1( | ),(2222121022221210 xxxxxrxxxxxr当相点运动到 00rr 或上的任一点时，均可在相应的控制律U=+1或U=-1作用下，沿 00rr 或很快地到达原点。现在考查最优轨线的倒数第二段。设 的最优一次切换发生在 0r的A点，则倒数第二段的控制必为： 1*u轨迹为(-1,0)为圆心的圆弧。考虑到第二段在时间上不大于。故设圆弧最多等于半圆，到达 A发生倒数第二段转换，进入倒数第三段。最优控制在某曲线上进行切换的
37、曲线称为开关曲线。*u由于A点可为 0r上的任一点，所以 A点形成(-3,0)为圆心，1为半径的半圆。 0, 1) 3( | ),(22221211xxxxxr显然0r1r: 到 的开关曲线: 到 的开关曲线同理：对亢于 0r0, 1) 3( | ),(22221211xxxxxr可得： 依上述过程类推可得一系列圆弧:0, 1)12( | ),(0, 1)12( | ),(22221212222121xxjxxxrxxjxxxrjj1u1u1u1u开关曲线r将相平等分为两部分 RR ,所以 rRxxrRxx),(, 1),(, 12121起点 ),(2010 xx 的最优轨线 这些圆弧的全体构
38、成了所求问题的开关曲线：*u所以总的控制作用： 1, 1, 1, 1, 1*u共转换四次。EO弧: 回到终点。DE弧： ,(+1,0)为圆心， EO1 为半径，交开关曲线于E。 CD弧: ,(+1,0)为圆心， CO2 为半径，交开关曲线于DBC弧： 1*u,(-1,0)为圆心， ,(-1,0)为圆心， BO1 为半径圆弧，交开关曲线于CAB弧： AO2为半径的圆弧交于开关曲线B 1*u1*u1*u1*u1x2x1o2oEABCD1*u1*uRrr1*uR1*u),(2010 xx习题：习题：已知线性定常系状态方程： )()()()(.22.1tutxtxtx其中 , , 0ftt 求 使系统
39、由任意初态 202101)0(,)0(xxxx以最短时间转移到目标集： 0)()(),(121ffftxtxtxg习题：习题：已知受控系统： uxxx.22.1，目标集： . 0| ),(2121xxxxM求满足约束条件 的时间最优控制函数，求开关曲线1)(tu)(*tu1)(tu注：注：在时间最优控制中，我们知道： )(,),()(*tttxsGNBtqSGNuTrjtttxbtquTjjj,.3 , 2 , 1)(,),(sgn)(sgn*即：可知： )()(*ttxu及与之间的关系 由前分析知： 0)(tqj时，可由极值条件确定 ，正常情况； 0)(tqj时，可为满足约束条件的任意值，为
40、不定状态，异步情况。但是，奇异状态并不表示时间最优控制不存在，只表明用极小值原理不能确定最优解，需采用奇异最优控制方法，以下介绍：*u若在区间 Tt ,0内，存在时间的可数集合: jjjttt.,21即： , 3 , 2 , 1,0Tttj使得对所有的 rj,.2 , 1均有： )()(tbqTjtj则称时间最优控制是正常的。若在区间 ,0Tt内，存在一个（或多个）子区间 ,021Tttt，使得对所有 ,21ttt ，有 0)(),()(tttXBqTjtj 则称时间最优 ,21tt控制异步。 奇异区间。 tttt非零0如何判定系统是正常的，还是奇异的。 设计时间最优控制之前总希望知道问题是否
41、有解？是否有唯一解？问题是正常的，还是奇异的。初次之外，我们还希望了解时间最优控制的共同特点和性质。 这种一般规律的认识和了解会有助于具体系统的设计计算。然而：对任意的非线性系统和任意的目标集，没有明确结论。对于线性定常系统，可以回答上述问题，（目标集假设为坐标原点）至于线性时变系统及一般性目标集问题，只有其中的部分结论适用。 ：已知线性时不变系统， )()()(.tButAXtX时完全能控的求满足下列不等式或约束的r维容许控制向量U(t),rjutj.2 , 1, 1|)(由已知初态 00)(XtX转移到状态空间原点的时间最短，根据极小值原理，使系统最优控制的必要条件如下：)()()()()
42、(0)()0()()()()(*0.tBtqtBSGNtqSGNtUTXXXtAtBUtAXtXTTT。或 rjtbqtUTjtjj.3 , 2 , 1)(sgnsgn)()(*jb为B的第j列向量0)()()()(1)()()()(1TBUTTAXTtButtAXtHTTTT从上述必要条件出发，可得一些有用的结论：当且仅当 个矩阵rjbAbAAbbGjnjjjj.2 , 1,|.|12中至少有一个奇异矩阵时是奇异的。证明：由已知条件： 0)(tATet由6式知， 0)(t否则10错sgnsgn)()(00*0*jAtTtATjjtATbeebtUeBSGNtUTT若问题正常，则对于给定的初协
43、态 0，可唯一确定砰砰控制怎样知道是正常还是奇异呢？推证定理。假定是奇异的，至少存在一段时间 , 0,21Ttt使某 )(tqj对所有 ,21ttt 均成立： 0)(0jAtTjbetqr由此： 0)(.0)(, 0)(1.tqtqtqnjjj考虑到A与 Ate可前后交换顺序，则有： 令： nnjnjjjbAAbbG.|1则关于n维待定向量 0的代数方程组可写成： 00jAtTGe所有 ,21ttt由于 Ate为奇异矩阵，为使 0，则 jG必为奇异矩阵， 即： 0detjG奇异控制问题的必要条件。可以证明其为充分条件得证： 由设定理可进一步得出为正常得充分必要条件0)() 1(0)(0)(0)
44、()1(0)1(120.0.0jnAtTnjnjAtTjjAtTjjAtTjbAetqbAetqAbetqbetq：当且仅当rjbAbAAbbGjnjjjj,.2 , 1,|.|12全部为非奇异矩阵，则时间最优控制是正常得。 和得推证过程都没有设计到目标集，因此，不论目标集如何，只 要受控系统是线性时不变得，因此两个定理可用。将满足得系统叫做正常系统。正常受控系统，其时间最优控制问题也是正 常得，对于正常问题，由下列存在性与唯一性定理。 若受控系统 BuAxX.是正常的，且时间最优控制存在，则最优控制必定唯一。 证明：见“百年学书”p176页。 另外，我们知道，一个完全能控的线性定常系统： B
45、uAxX.必需满足 nBABAABBrankrankGn|.|12n:系统维数若把系统表征为： rrubuBuBAxX.2211.其中 ruuu.,21控制分量正常问题要求 rjbAj.2 , 1),(都是完全能控。 即： nbAAbbrankrankGjnjjj|.|1说明：每一个控制分量 )(tuj均能单独使受控系统由任意初态在有限时间内转 移到坐标原点。据此，常可很容易地判断问题的时间最优控制是否属于正常情况。显然：一个输入完全能控的线性不变系统，其时间最优控制问题也一定是正常的。燃料最优控制的一般情况，接已知线性定常系统： , 0,.2 , 1, 1| )(|.TtrjtuBuAxXj
46、求最优控制 )(*tu，使系统由任意初态 0)0(xx转移到目标集：,.2 , 1, 0)(| )(piTxgTxMi且使性能指标： TjrjjjcdttucJ010,| )(|为最小，T未知。 分析： BuAxtucHTTjjTj| )(|1若记： rjbtqTjj.2 , 1,)(:jb为B的第j列向量， 则H种与U(t)由关的部分R(u)为： )()(| )(|)(1jjjjjrjctqtutucuR根据极小值原理， *u应使H或R（u）取极小，则： )()(| )(|min|)()()(|min)(min| 1)(|11)()(jjjjtujrjjjjjjrjvtuvtuctqtutu
47、cctqtutucuRj求出： rjctqdeZtujjj.3 , 2 , 1,)()(*这就是燃料最优控制。如何判定燃料最优控制是正常还是奇异？为正常得充分条件为,对所有j1，2，3，r，均有 0)det(jAG其中 |.|)1(jnjjjbAAbbG为奇异得必要条件为 ：对于某个或某些 有：0)det(jAG证明从略j注意：在燃料最优控制中，区分正常情况与时间最优控制不同。首先：1.对时间最优:系统正常时，最优控制问题一定是正常的。2.对燃料最优：即使系统正常（ 0detjG)，如果系统矩阵A是奇异得（A有零 特征值，即系统中含有积分环节），问题仍可能属于奇异情况。 只有当系统是正常得，且
48、A有事非奇异矩阵，才能保证燃料最优控制有正常解。 3、另外（1）式为系统正常得充分条件，次条件不满足时， 系统仍可能有正常解（有可能正常或有可能奇异）视初始状态而定。1） 试证明系统由初态：2）欲求系统由初态X(0)最快地转移到终态 习题：习题：设二阶系统 uxxx.22.11|u所消耗燃料为最小得最优控制00)4(11)0(XX转移到为：4)35(211)35(21)35(210)35(2101)(*ttttu*0)(ffttx。求2、二阶空间控制系统的状态方程为：)()()()()()(12.22.1tutxtxtxtxtx不等式控制约束 Utu | )(|，试求使系统由初态 Tuxxx,
49、)0(10达到平衡状态 0)(ftx的最短时间最优控制。 关于“二次积分模型”的燃料最优控制问题的进一步讨论：)()()()(.22.tutxtxtx系统： , 0, 1| )(|ftttu求 )(*tu，使系统由任意初态（ 21,）转移到状态空间原点，且使性能指标： TdttuJ0| )(|为最小值，T自由。 解 ：求解最优解的必要条件：1）正则方程： uxuH221|则： 11.21.12.2.10 xHxHuxxx2）边界条件： 2211)0()0(xx0)(0)(21fftxtx3）极小值条件： uuuu2*2*|4）H函数变化率： 0)()()()(| )(|*221*221*fff
50、fftuttxttuuxu则： )()(2*tdeZtu)(2t仅在有限个点上为1，则正常； )(2t在一段区间上为1，则奇异。具体分析： 解协状态方程： 101)(t常数， tt10202)(2010,的不同，系统有可能为正常或奇异。 奇异情况：若 010，使系H的变化规律 0)(*tH成立，必有： 1)(220t奇异。 无法用极小值原理求解。 当 010时， 10202)(t是时间的线性函数，这时至多有两个点满足 1| )(|2t正常情况 最优控制必为三位式控制，且至多有两次切换，候选解为：0,+1,-1, +1,0,-1 ,-1,0,+1,+1,0,-1,0，0,-1,0,+1由于 结尾