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1、第五章向 量 空 间复习与小结,一、向量空间概念产生的背景,数 a+b,ab; 2）,几何向量,3）,多项式,4）,函数,5）,矩阵A+B，aA;6）,7）,8）,1）,1V有一种加法运算.即对V中任意两个元素和，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为与的和，记为,二、向量空间的公理化定义,定义1设V是一个非空集合，F是一个数域.我们把V中的元素用小写希腊字母,来表示，把F中的元素用a，b，c，来表示.如果下列条件被满足，就称V是F上的一个向量空间：,2有一个F中元素与V中元素的乘法运算.即对于F中的任意数a和V中的任意元素，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为a和的数量积，记为,3上述
2、加法和数量乘法满足下列运算规律：,( ) =,1),3)在V中存在一个元素，使得对于任意V，都有 （具有这个性质的元素称为V的零元素）,；,2),6),7),8),.这里，是V中的任意元素，a，b是F中的任意数.,5),4)对于V 中的每一个元素，存在V中的元素，使得 （具有这个性质的元素叫做的负元素）；,三、向量空间的性质,1、向量空间的基础性质（1）零向量是唯一的；（2）向量空间V中每一个向量的负向量是唯一的.（3）对F上向量空间V中的任意向量，F中任意数k，有,q，,q,a.,2、向量空间的内在性质-基、维数、坐标,(1)向量空间的基与维数定义设1,2,n是数域F上向量空间V中n个向量.
3、若向量组1,2,n线性无关，并且V中每个向量可由a1,a2,an线性表示，则1,2,n叫做V的一个基。向量空间V的基所含向量的个数叫做V的维数，记作dimV.,(2)向量空间的坐标定义设1,2,n是n维向量空间V的一个基，是V中任一个向量.我们把满足等式 aa11a22ann的n元有序数组(a1,a2,an)称为关于基1,2,n的坐标.,四、向量空间的线性相关性,1、向量组的线性相关性的概念定义设a1,a2,ar是F上向量空间V的r个向量.如果存在F中一组不全为零的数k1,k2,kr，使得 k1a1+k2a2+krar0，(1)那么就称向量a1,a2,ar线性相关. 如果不存在不全为零的数k1
4、,k2,kr使(1)式成立，或者说，只有当k1k2ks0时，(1)式才成立，那么就称a1,a2,ar线性无关.,四、向量空间的线性相关性,2、判断向量组线性相关性的方法,(1)定义判别法,(2)向量组a1,a2,ar(r2)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合,3、向量组的极大无关组,(1)向量组的极大无关组的概念,定义设向量组,是向量组a1,a2,as的部分组.,是a1,a2,as的极大无关组，如果,称,ii)a1,a2,as中的任意r1个向量（如果有的话）构成的向量组总是线性相关的.,线性无关；,四、向量空间的线性相关性,四、向量空间的线性相关性,（2）.极大无关组的求法
5、 1)引理矩阵A经过行初等变换化为B矩阵，则A的列向量组与B对应的列向量组有相同的线性组合关系。 2)求向量组a1,a2,an的极大无关组的求法,e2,en,使 (a1,a2,an)(e1,e2,en)A，此时 A=(a1,a2,an),且 秩(a1,a2,an)=秩A.,法1.取特殊向量组e1,，,方法2 将A=(a1,a2,an)用初等行变换化简为 B=(b1,b2,bn)，用引理2知，a1,a2,an各向量组之间的线性关系与b1,b2,bn各向量组之间的关系相同。,（3）向量组的秩的概念定义向量组a1,a2,as的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩.记为秩(a1,a2,as).,1
6、、子空间的定义定义设V是数域F上的一个向量空间，W是V的一个非空子集合.若W对与V的加法及数量乘法运算也构成一个向量空间,则称W是V的一个子空间.2、子空间的判别方法 设W是数域F上向量空间V的非空子集合,则W是V的子空间的充要条件是W对于V的加法运算和数量乘法运算是封闭的,令W=,，,所生成的子空间,五、向量空间的子空间,3生成子空间,设,是数域F上向量空间V中的向量.,则称W是由,4、子空间的交与和 （1）子空间的交与和的定义,定义设,是向量空间V的两个子空间,称, 为 的交,记作,.,为,.,五、向量空间的子空间,五、向量空间的子空间,（2）子空间的交与和的性质,1）若,是向量空间V的两个子空间,那么,、,2）维数定理 设 是向量空间V的两个有限维子空间,那么,仍是V的子空间.,（5）子空间的直和,定义 设,是向量空间V的两个子空间,五、向量空间的子空间,五、向量空间的子空间,子空间直和的性质,六、向量空间的同构,六、向量空间的同构,