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1、1. 掌握掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理的定理.了解它的变式：了解它的变式：(1)a2+b22ab(a，bR)； (2) (a，bR+)；(3) (ab0)； (4) (a，bR).以上各式当且仅当以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式中字母的取时取等号，并注意各式中字母的取值要求值要求. abba22baab22222baba2.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则，则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.2222babaabbaab2复习复习: 变式变式 x 0 , 所以212
2、1xxxx 当且仅当 时, 即x =1时取等号, 所以当 x =1时, 的值最小, 最小值为2.xx1xx1 练习练习 1. x0 , 当当 x 取什么值时取什么值时, 的值的值最小最小?最小值是多少最小值是多少?xx1解解: 因为因为 x 0. 2)1()(2)1()(xxxx 当且仅当当且仅当 时时, 即即 x = - 1时取等号时取等号, 所以当所以当 x = - 1时时, 的值最大的值最大, 最大值为最大值为 - 2.xx1xx12)1()(1 xxxx故 变式变式 x 0,y0 且且2x-8y-xy=0,求求x+y的最小值。的最小值。解法一解法一：由题意得：由题意得2x+8y=xy)
3、82)(xyyxyx则1082xyyx1816210182xy0, 0 yx例2：已知x1，求x 的最小值以及取得最小值时x的值。 11x当且仅当x1 时取“”号。于是x2或者x0（舍去）11x构造积为定值构造积为定值解解：x1 x10 x （x1） 1 ) 1(1x11x311112xx变式变式1：x0,y0 且且2x-8y-xy=0,求求x+y的最小值。的最小值。解法二解法二：由题意得：由题意得8082xyxxy82xxxyx则816)8(2xxx181621010816)8(xx变式2： 设函数 ，则函数f(x)的最大值为_)0( 112)(xxxxf解解：,22)1()2(, 0 xx
4、x,2212xx. 122112)(xxxf时取等号。即当且仅当2212xxx负变正负变正题型二：利用不等式解应用题题型二：利用不等式解应用题（ ）解解：（1）xxxy)2642(5 . 0100L5 . 1100 xxy即即0 x探究拓展：探究拓展：（1）解应用题时，一定要注意变量的实际）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，也就是其取值范围。意义，也就是其取值范围。（2）在求函数最值时，除应用基本不等式）在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到外，有时会出现基本不等式取不到“=”，此时应考虑函数的单调性。此时应考虑函数的单调性。（2）由均值不等式得5 .215 . 1
5、10025 . 1100 xxxxy当且仅当 ，即x=10时取等号xx100题型三：不等式的证明题型三：不等式的证明 例例4：已知：已知 求证：求证：1, 0, 0baba9)11)(11 (ba思维点拨：思维点拨：由于不等式左边含字母由于不等式左边含字母a,b右边无字母，直接使用基本不等右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母，不等号方向又式既无法约掉字母，不等号方向又不对，因不对，因a+b=1，能否把左边展开，能否把左边展开，实行实行“1”的代换。的代换。证：证：abba21由4141abab从而得abbaba1111)11)(11 (ababba11921ab当且仅当当且仅当 时取等
6、号时取等号21 ba变式变式3： 已已知知 ，求证：，求证：1, 0, 0, 0cbacba9111cba证：证：当且仅当时当且仅当时 取等号取等号31cbaccbabcbaacbacba111111cbcabcbaacab92223cbbccaacbaab【走近高考走近高考】1.（08年江苏卷）设年江苏卷）设x,y,z为正实数，满为正实数，满足足 ，则，则 的最小值是的最小值是_ 032zyxxzy2 解解：由由 得得代入代入 得得当且仅当当且仅当x=3z时取等号时取等号032zyx23zxy346646922xzxzxzxzxzzxxzy22.（06年上海卷年上海卷）若若a,b,c0且且a
7、(a+b+c)+bc= ,则则2a+b+c的最的最小值为小值为_324解解：)13(22)13(2)13(23242)(2)()(2)()(22cbacabacabacbacababcacababccbaa4.（08年重庆卷）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则 的最大值为_ | 2|2baab解解：a是是1+2b与与1-2b的等比中项，的等比中项，则则 22221 4414|.ababab 1|.4ab2224(| 2|)4| 1.ababab2222|4()| 2|14|14|14|abababababababab2244411()(2)4|ababab11|4,4|abab242max.| | 2| |324abab