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1、计算方法的课后答案（计算方法）习题答案第一章数值计算中的误差1什么是计算方法？狭义解释答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。2一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取下面五个步骤：实际问题建立数学模型构造数值算法编程上机获得近似结果4利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=xxxxP在3-=x处的值，并编程获得解。解：400)(2345-+?+-?+=xxxxxxP，进而所以，多项式4)(53-+-=xxxxP在3-=x处
2、的值223)3(-=-P。5叙述误差的种类及来源。答：误差的种类及来源有如下四个方面：1模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即便数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。2观测误差：在建模和详细运算经过中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精细性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。3截断误差：理论上的准确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差
3、称为截断误差或方法误差。4舍入误差：在数值计算经过中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。6把握绝对误差限和相对误差限的定义公式。答：设*x是某个量的准确值，x是其近似值，则称差xxe-=*为近似值x的绝对误差简称误差。若存在一个正数使-=xxe*，称这个数为近似值x的绝对误差限简称误差限或精度。把绝对误差e与准确值*x之比*xxxxeer-=称为近似值x的相对误差，称*x=为近似值x的相对误差限re，由于真值*x是未知的，所以经常用xexxxer=-=*来表示相对误
4、差，于是相对误差能够从绝对误差求出。7近似值的规格化表示形式怎样？答：一般地，对于一个准确值*x，其近似值x的规格化形式为mpxxxx10.021?=，其中),2,1(9,2,1,0,01pixxi=，p为正整数，m为整数。8有效数字的概念是什么？把握有效数字与误差的关系。答：若近似值x的绝对误差限是它的某一位的半个单位，也就是讲该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。若近似值x的绝对误差限为nmxxe-?-=1021*，则称x为具有n位有效数字的有效数，或称它准确到nm-10位，其中的每一位数字nxxx,21都是x的有效数字。设准确值*x的近似值x
5、的规格化形式为mpxxxx10.021?=，若x具有n位有效数字，则其相对误差限为nrxe-?111021；反之，若x的相对误差限为nrxe-?+1110)1(21，则x至少有n位有效数字。9下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。1024.01=x24135.02=x350.573=x4600004=x555108?=x；解：10005.01*1-=xxe；0021.0*=-=xexxxer；有三位有效数字。200005.02*2-=xxe；000121.0*=-=xexxxer；有四位有效数字。3005.03*3-=xxe；00
6、0087.0*=-=xexxxer；有四位有效数字。45.04*4-=xxe；0000084.0*=-=xexxxer；有五位有效数字。55.05*5-=xxe；000000625.0*=-=xexxxer；有六位有效数字。10为了使19的相对误差0.1%，问至少应取几位有效数字？解：由19的首位数是4.设近似数*x有n位有效数字，由定理4.1可知，相对误差001.010421)(1*?-nrxe，解得097.3n，即取4位有效数字，近似数的相对误差不超过0.1%。11已知33,3100,1150)(*2=-+=xxxxxPy，计算)3100(*py=及)33(Py=，并求x和y的相对误差。解
7、：55555.51150)3100()3100()3100(2*-+=py281150)33()33()33(2-=-+=Py333.0)(*-=xxxe0101.0)()(=xxexer44444.22)(*-=yyye801587.0)()(=yyeyer12写出误差估计的一般公式以二元函数),(yxfz=为例。解：二元函数),(yxfz=的绝对误差：)(|)(|)(),(),(yeyfxexfzeyxyx?+?二元函数的相对误差：zyeyfzxexfzzezeyxyxr)(|)(|)()(),(),(?+?=)(|)(|),(),(yeyfzyxexfzxryxryx?+?=13用电表测
8、得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为VV2220=，AI1.010=，求这个电阻的阻值R，并估算其绝对误差和相对误差。解：2)(Ve，1.0)(Ie，又2,1,IVIRIVRIVR-=?=?=。所以：42.01.01002202101)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=?+?=?+?+?IeIRVeVRIeIRVeVRReIVIVIVIV21099.1)()(-?=RReRer。14若01.045.0,01.003.1*2*1=xx，计算22121xexy+=的近似值，并估计)(ye及其上界。解：45.0221)03.1(ey+)(21)()21()21()(2*22*
9、21*11*11*1*xxxxeexxxxexexyyye-+-=+-+=-=),(,01.0211006.2)(21)(*2221*11*12*2xxeeexxxxxx?+?=-+-15已测得某场地长为ml110=，宽d的值为md80=，已知mllle2.0)(*-=，mddde1.0)(*-=，试求面积lds=的绝对误差限和相对误差限。解：由lds=,ldsdls=?=?,，mllle2.0)(*-=，mddde1.0)(*-=。可得：301.0802.0110)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=?+?=?+?+?dedslelsdedslelssedldldldl310
10、4.3)()(-?=sseser。16把握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。解：1加、减运算：由于()1/=?+?xyx()()(),1/,1/,1/-=?-?=?-?=?+?yyxxyxyyx，所以()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()|/|/|,/,/,yeyxyxeyxxyxeyeyxyxeyxxyxeyexeyxeyeyxyxeyxxyxeyexeyxerrrrrrrrr?-+?-?-?-?+?+进而有2乘法运算：由于()()，xyxyyxxy=?=?,所以()()()()()()yexexyeyxexyerr
11、r+,xye，进而()()()|yexxeyxye?+?3除法运算：由于2)(,1)(yxyyxyxyx-=?=?，所以)()(1)(2yeyxxeyyxe-，)()()(yexeyxerrr-4乘方及开方运算：由于()1-=?nnnxxx，所以()()()()xnexexenxxernrnn-,117求方程01562=+-xx的两个根，使它至少具有4位有效数字982.27783。解：782.55982.272812114)56(5621=+?-+=x017863.0782.55112=xcx19求方程01162=+-xx的较小正根，要求有3位有效数字。解：937.15937.7812114)16(1621=+?-+=x062747.0937.15112=xcx所以较小正根为062747.02x。20设4110,2,1,0,=?ndxexIxnn。