《南开大学数学竞赛练习题08sxjs3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南开大学数学竞赛练习题08sxjs3.docx（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs3数学竞赛培训资料(理工)第三讲导数与微分的应用、不等式的证实一内容要点及重要方法提示1.用导数研究函数的单调性.例3.1.设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内f(x)单调增加,证实:g(x)=axafxf-)()(在(a,b)内单调增加.证.若a0,即推出结论.例3.2.若在0,1上、则)1()0(,0)(ffxff(1)-f(0)、f(0)-f(1)的大小顺序是(A).0()1()0()1(ffff-(B).0()0()1()1(ffff-(C).0()1()0()1(ffff-(
2、D).0()1()0()1(ffff-解.因),1()()0(),1,0(),()0()1(;)(,0)(ffffffxfxf应选:B.2.函数的极值.例3.3.若函数f(x)在点x=a有极值,能否断定在x=a的某充分小邻域内,f(x)在x=a的左侧单增,在右侧单减？解.不能.反例:f(x)=?=+-,0,20),sin2(212xxxxa=0.f(0)=2是f(x)的极大值.另一方面,因x0时,f(x)=),sin2(2cos11xxx+-在x=0的任意小邻域内f(x)可正可负,于是在x=0的任意小邻域内f(x)是振荡的.例3.4.已知1lim2)()()(-=-axafxfax,则在x=a
3、处f(x)()(A)取极大值.(B)取极小值.(C)不可导.(D)可导且导数不为零.解.因0)(limlim2)()()()()(=-?=-axaxafxfaxaxafxfax,可知导数为0.又有条件知,在a的邻近0)()()(0.求a与b.解.f(x)=3ax(x-4),在-1,2上有驻点x=0,且f(0)=b,f(-1)=b-7a,f(2)=b-16a,a0,因而最大值为b=3;最小值为-29=b-16a,得出a=2.例3.6.设a1,f(t)=ta-at在(-,+)内的驻点为t(a).问a为何值时,t(a)最小?并求出最小值.解.令f(t)=，再令的唯一驻点得0)(.1)()(,0ln2
4、ln1lnlnlnlnln=-=-aaaaatatattfaaa又得t(a)的唯一驻点a=.1)(e,)(,ee1ee-=有最小值时因而当的极小点可判定这是ataat南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs3例3.7.试求抛物线x2=4y上的动点P(x,y)与y轴上的定点Q(0,b)间的最短距离.(91北京竞赛)解.设所求距离为d,则0,)(4,4,)(22222-+=-+=ybyyzyxbyxd令且知足.有z=4+2(y-b),得唯一驻点y=b-2.(1)当b2时,z(b-2)=20,y=b-2是z的最小值点.则所求最短距离d=.12)2(-=-bbz(2)当b
5、0,z(y)在(0,+)内单增,则所求最短距离为原点到Q的距离d=|b|.例3.8.求函数f(x,y)=0,4),(2222222+=-+yyxyxDyxyx在区域上的最大值和最小值.(2007研招一)解.f(x,y)在D内的驻点为.2)1,2(),1,2(=f令D的边界L:y=0,-2x2;.4,0:22=+yxylf(x,y)在L上的最大值为4,最小值为0;在l上f(x,y)=h(x)=.,0852524+-的驻点是xx由此得最大值8,最小值0.例3.9.已知曲线C:?=+=-+,53,02222zyxzyx求C上距离xOy面最远的点和近期的点.(08研招一)解.用拉格朗日乘数法,设F(x
6、,y,z,)=)2(2222zyxz-+(x+y+3z-5),解方程组:,02,03)42(,02,02222=-+=+-=+=+=?zyxzyxzFyFxFx+y+3z=5.从前两个方程可看出x=y,再代入后两个方程即可解得x=1或x=-5.于是曲线C上距离xy平面最远点与近期点分别是(-5,-5,5)与(1,1,1).4.函数图形的凹凸性与拐点的断定及求法.例3.10.y=f(x)二阶可导,且),0()4(dd-=yyxy若y=f(x)的一个拐点是(a,3),则=.解.因,0,0)1(41dd22=+-=-yyyyxyy=3,应填:3.5.利用函数的性态研究方程的根.步骤:(1)将方程化为
7、右端为0的等价方程f(x)=0;(1)应用连续函数的零点定理断定方程根的存在性;(3)求出f(x)与极值嫌疑点;(3)将f(x)的定义域划分出单调区间;(4)比拟极值(或最大最小值)与0的关系.例3.11.证实方程=-nkkkxk1)1(1=1当n为奇数时有唯一实根,当n为偶数时无实根.证.令f(x)=xxnkkknkkknnkxxfx+-=-=-=-=-1)1(11111)1()1()(,11则.(1)若n=2m+1:f(x)=)(lim,)(lim,)(,01112xfxfxfxxxxm-+=+且单增=-,f(x)有唯一零点,即方程有唯一实根.南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数
8、学竞赛练习题08sxjs3(2)若n=2m:f(x)=(1-x),12-=mkkxf(1)=0,x0,f(x)单增,x1时,f(x)0,证实方程0dd)()(1=+?tttfxbtfxa在(a,b)内有且仅有一个根.证.在a,b上0)()(,0)(,dd)()()(1+=?bFaFxFtttfxFxbtfxa且连续,因而结论成立.例3.13.讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+x4ln的交点个数.(03研招二)解.问题等价于讨论函数f(x)=4lnx+k-4x-)ln1()(.ln344xxxfxx-=现的零点个数,显然f(1)=0,且00,f(x)单增,x1时,f(x)4时,f(1)0,且)
9、(lim,)ln4(ln4lim)(lim300xfxxxkxfxxx+-=-+-=-,知两曲线有两个交点,其横坐标分别在区间(0,1)与(1,+)内.6.涉及导数的不等式证实.(1)利用函数的单调性.一般程序:恒等变形后移项使不等式一端为0,另一端的表达式作为辅助函数f(x)；计算f(x)的导数并判定f(x)的单调性；求出区间端点的函数值或极限值,作出比拟证得结论.例3.14.证实下列不等式:(1).ee),(lnln(3).10,e(2).2,22e42221112-+-baababxxxxxxx证.(1)方法1.令y=,12ln2,211-=-xxyx则当x2时,y0,y单增,yy(2)
10、=0.由此得结论.方法2.令y=21122,xxxxy-=则(xln2-1)0,y单增,yy(2)=1.由此得结论.方法3.令y=(x-1)ln2-lnx,则y=ln2-1x=(xln2-1)x0,y单增,yy(2)=0.由此得结论.方法4.令y=112,2-=-xxyx则ln2-10,由拉格朗日中值定理可推出结论.(2)原不等式等价于xxxxfxx22e)1()(,0)1(e)1(-=)e(2f=0,由此推出f(b)f(a),于是结论成立.方法2.在a,b上对函数),(lnlnlnln2222ababxcc-=-可得应用拉格朗日中值定理ae时,g(x),e(2g由此推出结论.南开大学数学竞赛
11、练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs3例3.15.设函数f(x)与g(x)有二阶导数,当x0时,f(x)g(x),且f(0)=g(0),f(0)g(0),证实:当x0时,f(x)g(x).证.令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=f(x)-g(x),F(x)=f(x)-g(x)0,因而F(x)单增,F(x)F(0)=0,F(x)单增,F(x)F(0)=0,于是结论成立.(2)利用函数的极值与最值.一般程序同(1),差异在于和辅助函数的极值或最值进行比拟.对于形如|f(x)|A的不等式,可先求出f(x)在指定区间上的最大最小值,然后进行估计.例3.16.给定a(-1,+)
12、,求证:当x在0与a之间时,.1axxa+-证.令f(x)=,0)(,2)1(111).分析.原不等式即,)(,11ppyxyxpttgpxpypp=e,0-证.原不等式等价于,)(,lncoscostxxyaaatfaaxy=南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs3例3.21.设函数f(x)在闭区间a,b上具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,则在区间(a,b)内至少存在一点,使|f()|4.2)()()(abafbf-(99陕西竞赛)分析.因f(a)=f(b)=0,考虑f(x)在a与b的一阶泰勒公式f(x)=f(a)+,)()()(,)(221221bxt
13、fbfxfaxsf-+=-比照原不等式,考虑取x=(a+b)2.证.在a与b处f(x)的一阶泰勒公式分别为f(x)=f(a)+,)()()(,)(221221bxtfbfxfaxsf-+=-其中s与t均在(a,b)内,令f()=maxf(s),f(t),是s与t中的一个.如今代入x=(a+b)2后两式相减再取绝对值得|f(a)-f(b)|=,)()()()()(222221ftfsfabab-?-由此推出结论.例3.22.设函数y=f(x)在(-,+)内二阶可导,且f(x)A,sup.)(,)(CxfBxf=证实:.22ACB证.在任意x处对正数h写出f(x)的泰勒展开式:),()()()()
14、,()()()(2222fxfhxfhxffxfhxfhxfhh+-=-+=+其中在x与x+h之间,在x与x-h之间.现将上述两式相减得,)(),()()(21412)()(hCxfffhxfhAhhxfhxf+-=-+于是由h的任意性可知,22)(AChCxfhA=?再由x的任意性即得所要证的不等式.(4)利用凹凸性.例3.23.证实:).(e)ee(21yxyxyx+证.令f(t)=e,0)(,tft则y=f(t)在(x,y)或(y,x)内是上凹的,于是根据上凹的定义即得结论.4.涉及定积分的不等式证实.常用定积分比拟定理、估值定理、函数单调性、中值定理、泰勒展开式.(1)被积函数只具有连
15、续条件.例3.24.设f(x)在a,b上连续,证实.d)()()d)(22?-babaxxfabxxf分析.将式中的b换成x后移项,作辅助函数.证.令F(x)=.0)(,0d)()()(,d)()()d)(222=-=-?aFtxftfxFttfaxttfxaxaxa得证.(2)被积函数可导.例3.25.设f(x)在a,b上可导,且f(a)=0,.)(d)(,)(22abxxfMxfMba-?证实证.根据微分中值定理,f(x)=).,(),)(xaaxf-于是有f(x)M(x-a),经比拟即得结论.(3)被积函数二阶或二阶以上可导.例3.26.设f(x)处处有非负二阶导数,且u(t)为任意连续
16、函数a0,证实南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs3.d)(d)(0101?aattufttuf证.由f(x)在一点c的泰勒展开式f(x)=f(c)+,)()(221cxfcxcf-+-在x与c之间,因而f(x)f(c)+),(,d)(),)(01tuxttuccxcfaa=-?取则，d)(d)(d)(d)(d)(01010?-?+aaaaaaattuttuttufttuafttuf即得结论.(4)引入参数法.例3.27.设正值函数f(x)在闭区间a,b上连续,d)(Axxfba=?证实:).)(dde)()(1)(Aababxxxfbaxfbaxf+-?(2
17、005天津竞赛)证.对任何实数t,0e2e)(0e)()(1)()(22)(1)(+?+xfxfxfxfxftxftxft对此式在a,b上积分,然后考虑关于t的二次三项式的判别式,0de)(de)(d)(2)(?-?babaxfxxfbaxfxxfx于是?-+-+?bababaxfbabaxfxxfxxfababxxfxxxfd)()()(d)(1(dede)(22212)()(d)(=(b-a)(b-a+A).(5)用函数sinx替换法.适用于函数绝对值不超过1的情形.例3.28.设函数f(x)、g(x)在a,b上可积,且f(x)南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08
18、sxjs3D:0x1,0y1.对称地有,dd)()(23?-=DxyxyxfyfI两式相加即得证实.二习题3.1.单项选择题:(1)设函数y=f(x)在x=1处有连续的导函数,又,2lim1)(1=-xxfx则x=1是()(A)曲线y=f(x)拐点的横坐标.(B)函数y=f(x)的极小值点.(C)函数y=f(x)的极大值点.(D)以上答案均不正确.(2003天津竞赛)(2)已知函数f(x)在(-,+)内有定义,且0x是函数f(x)的极大值点,则()(A)0x是f(x)的驻点.(B)在(-,+)内恒有f(x)(0xf.(C)-0x是-f(-x)的极小值点.(D)-0x是-f(x)的极小值点.(2
19、002天津竞赛)(3)设u(x,y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数,且知足,0022222=+?yuxuyxu及则()(A)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部.(B)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上.(C)u(x,y)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上.(D)u(x,y)的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上.(4)设函数f(x)连续,且)0(f0,则存在0,使得()(A)f(x)在(0,)内单调增加.(B)f(x)在(-,0)内单调减少.(C)对任意的x(0,)有f(x)f(0).(D)对任意的x(-,0)有f(x)
20、f(0).(5)设函数f(x)在(-,+)内连续,其导函数的图形如下图,则f(x)有()(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.(2003研)(6)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且)()()()(xgxfxgxf-f(b)g(x).(B)f(x)g(a)f(a)g(x).(C)f(x)g(x)f(b)g(b).(D)f(x)g(x)f(a)g(a).(7)设函数f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导,考虑如下的两个命题,1)若f(x)g(x),则.)()()()(2).)()(xgx
21、fxgxfxgxf，则若则()(A)两个命题均正确.(B)两个命题均不正确.(C)命题1)正确,命题2)不正确.(D)命题1)不正确,命题2)正确.(8)设函数y=y(x)知足等式)(,0)(,042ayayyyy南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs3(C)若.0),(,0),(0000=yxfyxfyx则(D)若.0),(,0),(0000yxfyxfyx则(10)设函数y=f(x)具有二阶导数,且,0)(,0)(xfxfx为自变量x在点a处的增量,y与dy分别为f(x)在点a处对应的增量与微分,若x0,则()(A)00),证实:.d)()()()d)(d)
22、(?-bababaxxgxfabxxgxxf3.9.设函数f(x)在a,b上有连续的导函数,且f(a)=0,证实:.d)(d)(22)(22?-baabbaxxfxxf3.10.证实不等式1+).,(,1)1ln(22+-+xxxxx(2001天津竞赛)3.11.(1)证实:当|x|充分小时,不等式422tan0xxx-成立.(2)设.lim,tan112nnnkknnxx=+=求(2006天津竞赛)3.12.设函数f(x)在0,1上连续,证实.1dede1)(1)(?-xxxfxf3.13.设f(x)在0,a上具有二阶导数,且在(0,a)内获得最小值,又.)()0(),0()(aMaffax
23、Mxf+证实三习题解答或提示3.1.应选:(1)B.(2)C.(3)B.(4)C.(5)C.(6)A.(7)B.(8)A.(9)D.(10)A.(11)f(x)=2xln(2+x2).应选:B.南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs33.2.解.令?+-=xxttfxF112d)()()(=0,解得F(x)的唯一驻点x=2,也是F(x)的最小值点.3.3.解.在S上f(x,y)=g(y)=1+2y-),11(,23-yyg(1)=1,且g(y)在-1,1上有驻点y=31,得.1)()(min),(min,1)()(max),(max934311,1),(9343
24、11,1),(-=-=+=-gygyxfgygyxfySyxySyx3.4.解.设三角形三边长分别为x、y、z,三角形面积为S,问题成为求函数f(x,y)=2S=p(p-x)(p-y)(x+y-p)在D=(x,y)|0=?+-+ffxxxxf(x)的唯一驻点0为最小值点，可得结论.3.11.解.(1)因,limlim2)(tan(tan0tan022=+-xxxxxxxxxx当|x|充分小时,tanxx,因而不等式成立.(2)由(1)知,n充分大时,tan2)(11121knknknkn+于是,2lndlim,1011111111)(111112=+?+=+=+=+=+=+xxxnkknnnnkknnkknnkknnnkkn得极限=ln2.3.12.证.?-=1)(1)(1)(1)(dedededeyxxxyfxfxfxf南开大学数学竞赛练习题08sxjs3南开大学数学竞赛练习题08sxjs3.1d)()(1ddde1101,0)()(=-+=?-yyfxfxyxyxyfxf3.13.证.(0,a)内f(x)的最小值点c即极小值点,在0,c与c,a上运用微分中值定理得.0)(,),()()()(;0),()0()(=