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1、二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式1.一般式一般式y=ax2+bx+c(a0）2.两根式两根式y=a(x-x1)(x-x2)3.顶点式顶点式y=a(x-h)2+k两根式两根式y=a(x-x1)(x-x2)对称轴对称轴221xxx二次函数图象与二次函数图象与x轴的交点为轴的交点为 A(x1,0), B(x2,0);那么那么AB=顶点横坐标顶点横坐标=221xxxyox2x1P221xx 221xxxAB| ax1x20, 点点A,点点B在原点同侧在原点同侧x1x20, x=h时时,y有最小值为有最小值为kxh表示在对称轴的左侧表示在对称轴的左侧当当k
2、=0时顶点在时顶点在x轴上轴上当当ah表示在对称轴的右侧表示在对称轴的右侧当当h=0时时,顶点在顶点在y轴上；轴上；3、例题示范、例题示范例例1 1已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1 1，0 0），它），它的顶点坐标是（的顶点坐标是（8 8，9 9），求这个二次函数的关），求这个二次函数的关系式系式解：设所求的函数为解：设所求的函数为 khxay2982xay90102a9a9892xy 顶点（顶点（8，9）又又过点（过点（1，0）例例2 2已知二次函数的图象过（已知二次函数的图象过（0 0，1 1）, ,（2 2，4 4）, ,（3 3，1010）三点，求这个二次函数
3、的关系式）三点，求这个二次函数的关系式解：设所求二次函数为解：设所求二次函数为由已知，这个函数的图象过（由已知，这个函数的图象过（0，1），），可以得到可以得到又由于其图象过（又由于其图象过（2，4）、（）、（3，10）两点，）两点， 可以得到可以得到解这个方程组，得：解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式是所以，所求二次函数的关系式是cbxaxy21c939324baba2323ba123232xxy解：解：A(1，0)，对称轴为，对称轴为x=2抛物线与抛物线与x轴另一个交点轴另一个交点C应为（应为（3，0）设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）在图象）在图象
4、上上-3 = a(0-1)(0-3)a= -1y= -(x-1)(x-3)例例3.图象经过图象经过A（1，0）、）、B（0，-3），且对称），且对称轴是直线轴是直线x=2 ，求这个二次函数的关系式求这个二次函数的关系式( 1 )图象过图象过A(0，1) ,B（1，2）,C（2，-1）三点）三点1.已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件满足下列条件,求函求函数的解析式数的解析式.y= -2x2+3x+1（2）图象顶点是（）图象顶点是（-2,3）,且经过点（且经过点（-1,5）y=2（x+2）2+3（3）图象和）图象和x轴交于（轴交于（-2，0）,（4，0）两点）两点且顶点为（且顶点
5、为（1，-9/2）y= -1/2(x+2)(x-4)2.2.根据下列条件根据下列条件,求二次函数的关系式求二次函数的关系式（1 1）已知抛物线的顶点在原点，且过点（）已知抛物线的顶点在原点，且过点（2 2，8 8）（2 2）已知抛物线的顶点是（）已知抛物线的顶点是（1 1，2 2），且过点），且过点（1 1，1010）（3 3）已知抛物线过三点（）已知抛物线过三点（0 0，2 2）、（）、（1 1，0 0）、）、（2 2，3)3)【变式】如果将【变式】如果将(2)(2)题中的题中的“顶点（顶点（1 1，2 2）”改为改为“有最低点（有最低点（1 1，2 2）”，怎么办？，怎么办？ 拓展与提升求
6、满足下列条件的抛物线的解析式求满足下列条件的抛物线的解析式(1)经过点经过点A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x轴上截得轴上截得的线段长为的线段长为2 B（-1，0）且在）且在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为2抛物线与抛物线与x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为 C（-3，0）或）或C（1，0）解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（）（x- x2）当抛物线经过当抛物线经过B,C两点时两点时, y=a(x+1)(x+3)又又抛物线经过抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（）（2+3）a=154y= （x+1）（）（x+3）154当抛物线经过当抛物
7、线经过B、C 两点时，两点时，y=a( X+1)(X-1)又又抛物线经过抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（）（2-1）a=4/3 y = 4/3 ( X+1) (X-1)(2)交交x轴于轴于A（x1，0），），B（x2，0），顶点），顶点为为P（1，-4），且），且x12+x22=10解：解： =1221xx =2 21xx x12+x22=10 x1= -1 ; x2=3 A（-1，0），），B（3，0）抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=a（x+ 1）（）（x- 3）又抛物线的顶点为抛物线的顶点为P （1，- 4）- 4=a（1+1）（）（1- 3）a=1y = （x+ 1）（）（x
8、- 3）（4）图象顶点是）图象顶点是M（1，16）且与）且与x轴交于两点，已知轴交于两点，已知两交点相距两交点相距8个单位。个单位。解：解： 顶点顶点M坐标为（坐标为（1，16），对称轴为），对称轴为x=1，又交点，又交点A、B关于直线关于直线x=1对称，对称，AB=8A（-3，0）、）、B（5，0）此函数解析式可设为此函数解析式可设为 y=a（x-1）2+16 或或y=a（x+3）（）（x-5）xyo116AB- 35xyo1-3-2三三: 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示的图象如图所示对称轴对称轴x=_顶点坐标顶点坐标:_当当x=_时时,y有最有最_值是值是_函数值函数值
9、y0时时,对应对应x的取值范围是的取值范围是_函数值函数值y=0时时,对应对应x的取值范围是的取值范围是_当当x_时时,y随随x的增大而增大的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小小-2-3x1x1-3或或1-1下列这三题只给出图象，看看谁先做出（只下列这三题只给出图象，看看谁先做出（只要求列式）：要求列式）： (1) (1) 的图象如图的图象如图1 1示示, ,求此函数求此函数解 析 式解 析 式 . ( 2 ). ( 2 ) 二 次 函 数 的 图 象二 次 函 数 的 图 象 如图如图2 2示示 ，求此函数解析式，求此函数解析式. .(3)(3)某抛物线某抛物线 如图如图3 3示，求此示，求此抛物线的解析式抛物线的解析式. .图11032yx图21011yx图图3xy201111cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2-1-2-13-1-112-16、小结归纳（1）待定系数法（2）二次函数解析式的不同形式：一般式：顶点式： 顶点坐标（h，k）交点式（与x轴的交点）： 与x轴的交点 02acbxaxy02akhxay021axxxxay 0 ,0 ,21xx