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1、分子动力学第五章分子动力学第一节Verlet算法牛顿方程iiimfdtrd22记NrrrR,21NNmfmfmfG,2211方程写为2dRGdtvv三点公式242111122nnnnnnnRRRGRRvvvvvvvr假如给出初始条件0R和1R，可求解方程，但经常给出的初始条件是00,vR，那么020012GvRR(为什么？由于dvGdtr，所以，0000()()tvtvdtGtvtGrrv;，所以，210000000()RRdtvtGRvGrrrrr;)方法的优点：保持时间反演不变性，即令nn,方程形式不变尽管误差会毁坏这一对称性假如问题与v无关，计算精度相当高方法的缺点：nvv必须用到1nR
2、v为什么是缺点？另一方案2221112!()2nnnnnnnnRRvGvvGGvvvvv缺点：失去时间反演不变性第二节多体问题的基本方法阅读材料全同粒子，概率分布为NrrrWRW21,物理量平均值1iiAARWRdRdRdrZZWRdRvvvvvvv分子动力学1limdttAAn个粒子处于nrr,1的分布密度函数NnnnrdrdRWnNNZrrr121!1,!nNN来自N个粒子中取n个的组合数例如：Nn是11NijijgrrrNvvv粒子对分布函数包含体系丰富的关于平移对称性的性质对固体，粒子对分布函数在晶体格距呈现尖锐峰值对液体，分布函数只呈现平坦峰值，而且随距离迅速消失类似地，还能够定义关
3、于对称性的物理量。第三节分子动力学的简单应用1二维固液相变的磁偶极子模型HamiltonianH=K+VK是动能项，势能项31()ijVrr:rr在实际模拟中，为了节省计算时间，能够切断互相作用的力程。但无论怎样，带有互相作用的系统的模拟比硬碟模型困难多了。我们十分关注对称性空间关联函数6,()exp(6()(0)ijijgrirr时间关联函数6,()exp(6()(0)ijijgtit数值模拟结果应当指出，这里我们已经把定义在格点上。在连续极限下，这便是Ginsburg-Landau理论。应用场论宇宙学统计物理学凝聚态物理学.Verlet算法在相变点附近，由于动力学慢化，求解方程到平衡态比拟
4、困难。点阵太小，存在有限点阵效应。点阵太大，关联时间长，难以到达平衡态，误差难以控制。假如我们已经非平衡态动力学，这一困难不存在。假设初始状态是高温态，即随机态。我们测量宏观物理量，如磁化等，随时间的演化，能够确定相变点以及相关的临界指数。物理量的测量，例如，磁化强度和它的二次矩2()1kkiiML，k=1,2自关联函数2232123!iiiiiidmdt2222iiiidtttdt21()(0)()iiiAttL磁化的标度行为从这式子我们能够测量相变点即相变能量，指数和1/z从时间自关联函数和磁化的二次矩能够测量指数z和/0001,1,xzzzMtmtMttmztFtmm100)(small
5、结果能够和Ising模型以及MonteCarlo动力学比拟关键是Lorentz不变性被毁坏，所以，1z3一维热传导的简单模型热传导已经是一个古老的物理问题。如今人们对它又感兴趣，一方面是纳米材料的兴起，另一方面是低维热传导有些不同于高维的特点，如热传导系数发散等。在环境温度差的驱动下，产生能量的定向流动，由能量守恒，我们得到热传导方程 (,)(,)dfxtjxtdtrr其中f(x,t)是能量密度分布函数，(,)jxtr是能流密度矢量。在稳态时，Fourier定律假设()()jxkTxrr常数k称热传导系数。对一维系统，k发散。一个简单模型一根空心管，管内壁设置一些障碍物，最简单情形，是一些半园
6、。管子两端分别射出一些粒子，出射粒子的速度由两端的温度决定。温度高的粒子速度快，温度低的速度慢。用分子动力学方法模拟粒子的运动，能够看到能量从高温端向低1.252.165(10).191(1)Ising.95(5).24(3)2.148(20).176(7)Z42温端传递。根据温度是平均动能的概念，21()2iiTxmv再测量能流密度，221122HLjmvmv进而计算热传导系数。一般地，kL:其中L是体系的尺寸，是正数，其数值与体系有关。参考文献：D.Alonso,R.Artuso,G.Casati,I.Guarneri，Phys.Rev.Lett.82,1859(1999)小结：分子动力学
7、方法求解多粒子系统的基本微观运动方程广泛应用比拟耗时，误差有时不易控制MonteCarlo方法求解多粒子系统的平衡态或非平衡态问题处于微观或介观层次较广泛应用简单实用，比拟节省时间有限元方法求解宏观或介观运动方程例如，静电势的Poisson方程224(),0,1dxxdx把空间分割成很多小块，每块用坐标ix标记。设1()()nniiixaux其中()iux定义于ix附近的局域函数。显然，假如n足够大，()nx能够逼近方程的解()x。假如n有限，记方程的误差为()()4()nnrxxx如今，我们的目的是选取恰当的ia使()nrx极小。例如，引入1 ()()inigdxrxwx其中()iwx是一个
8、权重函数，然后取ia使ig为零。这样，条件1 ()4()()0nijjijgdxauxxwx便等价于一个n元的线性方程组Aaba是ia的列矩阵，而14()()iibdxxwx)()(1xwxudxAijij例如，Galerkin方法设()0iux，取()()iiwxux，111()/,()()/,0iiiiiiixxhxxxuxxxhxxxotherwise这里10,0,1iinhxxxx试题：I50分1设积分baSfxdx，试证实10()nkkShfxh，12101()()2nkkkShfxfxh，其中10,kknhxxxaxb。2设xfxe，详细写出上述两个表达式。II50分1设积分()baSfxWxdx，假设我们能够根据分布W(x)得到lMx个点，则11()1/MllSfxM，假如用Markov经过产生lx，转移矩阵应当知足什么条件？2设xWxe，写出相应的Metropolis算法的转移矩阵。