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1、24.1.4 24.1.4 圆周角圆周角回回 忆忆1.什么叫圆心角什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 当球员在当球员在B,D,EB,D,E处射门时处射门时, ,他所处的位置对球门他所处的位置对球门ACAC分别形成三个张角分别形成三个张角ABC, ABC, ADC,AEC
2、.ADC,AEC.这三个角这三个角的大小有什么关系的大小有什么关系?.?.BACDEE EO OB BD DC CA AAC所对角所对角 AEC ABC ADC的大小有的大小有什么关系？什么关系？ 生活实践生活实践 探探 究究.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与问题：将圆心角顶点向上移，直至与 O相交于点相交于点C?观察观察得到的得到的ACB有什么特征？有什么特征？C顶点在圆上顶点在圆上两边都与圆相交两边都与圆相交这样的角叫这样的角叫圆周角圆周角。B辩一辩辩一辩 判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ 你发现圆周角相对圆心你发现圆周角相对圆心的位置有哪几
3、种类型？的位置有哪几种类型？圆周角圆周角为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置分三种情况来证明：对位置分三种情况来证明：（1）圆心在圆周角的一边上；）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部）圆心在圆周角的外部ABCOABCOABCO圆周角定理的证明 H:第24章圆.课件圆周角定理的证明.gsp 结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。1.第一种情况：第一种情况：当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)
4、上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. .ABCO OA=OCA=C又又 BOC=ACBOC=2A即即A= BOC21圆周角圆周角BAC与圆心角与圆心角BOC的大小关系的大小关系.ABCOD证明：由第证明：由第1种情况得种情况得 即即BAC= BOC21BAD BOD21CAD COD21BADCAD BOD COD21212.第二种情况：第二种情况：当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆圆周角周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?证明：作射线证明：作射线
5、AO交交 O于于D。由第由第1种情况得种情况得 即即BAC= BOC21BAD BOD21CAD COD21CADBAD COD BOD2121ABCOD3.第三种情况：第三种情况：当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时, ,圆圆周角周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?ABC1OC2C3归纳总结归纳总结 在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弧，同弧( (或等弧）所对或等弧）所对的圆周角的圆周角相等相等；同弧同弧(或等弧）或等弧）所对的所对的圆周角圆周角等于圆心角的等于圆心角的一半一半圆周角定理圆周角定理直径（或半圆
6、）所对的圆周角是直径（或半圆）所对的圆周角是直角，直角， 9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径推推 论论ABCDEO 问题问题1：如图，：如图，AB是是 O的直径，请问：的直径，请问：C1、C2、C3的度数是的度数是 。ABOC1C2C3 半圆（或直径）所对的圆周角半圆（或直径）所对的圆周角是是直角直角；90的圆周角所对的圆周角所对的弦是的弦是直径直径。 问题问题2： 若若C1、C2、C3是直角，那么是直角，那么AOB是是 。90180探究与思考： 推论推论 当球员在当球员在B,D,EB,D,E处射门时处射门时, ,他他所处的位置对球门所处的位置对球门ACAC分别形分别形成三个
7、张角成三个张角ABC, ABC, ADC,AEC.ADC,AEC.这三个角的大这三个角的大小有什么关系小有什么关系?.?.BACDE 生活实践生活实践 E EO OB BD DC CA A规律：都相等，都等于圆心角规律：都相等，都等于圆心角AOC的一半的一半AC所对的圆周角所对的圆周角 AEC ABC ADC的大小有什么关系？的大小有什么关系？结论：结论：同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角相等。所对的圆周角相等。1、如图，在、如图，在 O中，中，ABC=50，则则AOC等于（等于（ ）A、50； B、80；C、90； D、100ACBOD2、如图，、如图，ABC是等边三角形，动点是等边三角形，动
8、点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不与上，且不与A、B重重合，则合，则BPC等于（等于（ ） A、30； B、60；C、90； D、45CABPB3 3、求、求圆中角圆中角X X的度数的度数BAO.70 xAO.X120600BP（1）（2）12003504、如图，、如图，ABC的顶点的顶点A、B、C都在都在 O上，上，C30 ，AB2，则则 O的半径是的半径是 。CABO解：连接解：连接OA、OBC=30 ，AOB=60 又又OA=OB ，AOB是等边三角形是等边三角形OA=OB=AB=2，即半径为，即半径为2。2 如图如图 AB是是 O的直径的直径, C ,D是圆上的两点是圆上的两点,
9、若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD40合作探究合作探究05050ODBAC4 4、已知、已知ACDACD3030，OD ACOD AC求：求：AOD =AOD = OCAB 3 3、已知、已知ACBACB6060， 求：求： AOB = AOB = 60125120OBAC5 5、已知已知AOBAOB110110， 求：求：ACB =ACB =5 5：已知：已知OO中弦中弦ABAB的等于半径，的等于半径，求弦求弦ABAB所对的圆心角和圆周角的度数。所对的圆心角和圆周角的度数。 OAB圆心角为圆心角为60度度圆周角为圆周角为 30 度度或或 150 度。度。判断正误1.同弧或等弧所对的圆
10、周角相等（）2.相等的圆周角所对的弧相等（）3.90角所对的弦是直径（）4.直径所对的角等于90（ ）5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30（ ） 如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平分线的平分线交交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD 合作探究合作探究OABCD AD=BD在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？它们所对弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个在同圆或等圆中，如果两个圆周角圆周角相等，它们所对的相等，它们所对的弧弧一定相等一定相等ABCD在同圆或等圆中在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.则则 D=AABCD如图如图, 若若 AC = BD 1.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下少种方法？与同学交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB使用帮助使用帮助练习三、练习三、