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1、韦达定理的应用与提高自招题集韦达定理的应用与提高自招题集TTAstandardizationoffice【TTA5AB-TTAK08-TTA2C】应用题例题.1、某商场销售一批衬衫，平均天天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，假如每件降1元，商场平均天天可多卖2件，若商场平均天天要赚2100元，问衬衫降价多少元2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售经过中,天天还要支出其他费用
2、500元天数缺乏一天时,按一天计算.假如日均获利1950元,求销售单价3.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润到达原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？根的判别式1、2021?和平区校级模拟一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，则这个方程根的情况是A有两个正根B有两个负根C有一正根一负根且正根绝对值大D有一正根一负根且负根绝对值大【分析】根据根的判别式=b24ac的符号，就可判定出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系能够断定两根的正负
3、情况【解答】解：a0，b0，c0，=b24ac0，0，0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大故选：C【点评】此题考察了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式的关系：10方程有两个不相等的实数根；2=0方程有两个相等的实数根；30方程没有实数根一元二次方程的根与系数的关系韦达定理知识点及应用解析1、定义：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，则有x1+x2=-ab，x1x2=ac。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x1+x2=-p，x1x2=q2、应用的前提条件：根的判别式0?方程有实数根。3、若一
4、个方程的两个为x1，x2，那么这个一元二次方程为ax2+(x1+x2)x+x1x2=0(a0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=aca2b-2-?=222aacb-cbxxxxxx-=+=+21212111(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2=ac-b+a2(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=2a4ac-b25、方法归纳：1一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a0，且必须有实数根，即0；2运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；3一元
5、二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。4解题思路：将含有根的代数式变构成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要知足根的实际意义。6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：1不解方程，判别一元二次方程两根的符号。判别根的符号，需要把“根的判别式和“根与系数的关系结合起来进行确定，判别式断定根的存在与否，若0，所以可断定方程的根为一正一负；假使0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。例：不解方程，判别方程两根的符号。解：，42(7)650方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，0原方程有两
6、个异号的实数根。2已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。3运用判别式及根与系数的关系解题。例：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请讲明理由，解：由于关于的一元二次方程有两个非零实数根则有又、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：12若，则有：；即有：解这个不等式组，得时方程才有实树根，此种情况不成立。若，则有：即有：解这个不等式组，得；又，当时，两根能同号练习：1设一元二次方程的根分别知足下列条件，试务实数a的范围。二根均大于1；一根大于1，另一根小于1。22
7、021秋?沙湾区期末关于x的方程x2+2k+2x+k2=0的两实根之和大于4，则k的取值范围是Ak1Bk0C1k0D1k032021?南充关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根都负根；m12+n122；12m2n1，其中正确结论的个数是A0个B1个C2个D3个(4)运用根与系数的关系求代数式的值例:已知一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根分别为x1，x2，求x1-x22的值解：由题意及韦达定理得：x1+x2=-23=23，x1x2=21(x1-x2)2=(x1+x
8、2)2-4x1x2=232-421=41x1-x22的值是41 (5)运用根与系数的关系解决几何问题例：在ABC中，若C=90，AB=5，AC、BC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，求k的值和ABC的面积解：AC2+BC2=25(AC+BC)2-2ACBC=25AC+BC=2K+3,ACBC=K2+3K+2(2K+3)2-2(K2+3K+2)=25整理，得k2+3k-10=0解得k1=-5,k2=2AC+BC=2K+30k,k=2SABC=21ACBC=21(K2+3K+2)=6【要点讲解】1求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，能够求出一元二次方
9、程两根的对称式的值。例1若a，b为实数，且，求的值。思路注意a，b为方程的二实根；隐含。解1当a=b时，；2当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1.讲明此题易漏解a=b的情况。例2若，且，试求代数式的值。思路此例可用上例中讲明部分的递推式来求解，可以以借助于代数变形来完成。解：由于，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，练习：2021?黔东南州二模设a，b是方程x2+x2021=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为A2021B2021C2021D20212构造一元二次方程假如我们知道问题中某两个字母的和与积，则能够利用韦达定理构造以这两个
10、字母为根的一元二次方程。例3设一元二次方程的二实根为和。1试求以和为根的一元二次方程；2若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。解1由韦达定理知，。，。所以，所求方程为。2由已知条件可得解之可得由得，分别讨论p,q=(0,0)，(1,0)，(1-)。-,1)或(0,1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2于是，得下面七个方程，-，其中0x2=1+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。x2=1x2=+，01x2+3证实等式或不等式根据韦达定理或逆定理及判别式，能够证实某些恒等式或不等式。例4已知a，b，c为实数，且知足条件：，求证a=b。证实由已知得，。根据韦达定理的逆定理知，以
11、a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为由a，b为实数知此方程有实根。0c2=，故c=0，进而。这表明有两个相等实根，即有a=b。讲明由“不等导出相等是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。5求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程组中也有着很多巧妙的应用。例6解方程。解：原方程可变形为。令，。则,。由韦达定理逆定理知，以a，b-为根的一元二次方程是。解得，。即a=8-或a=9。或通过求解x结果一样，且严谨。，舍去。解之得，。此种方法应检验：是或否成立强化训练A级1.若k为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则k的值为_。2.若，则_。3.已知和是方程的二实根，则_。4.已知方程m为整数有两个不等的正整数根，求m的值。级5.已知：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。求证：，是方程的实根。6.已知关于x的方程的二实根和知足，试求k的值。参考答案12提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。故k=2。2提示：由x，y为方程的二根，知，。于。321提示：由，知，4设二个不等的正整数根为，由韦达定理，有消去m，得。即。则且。