人教版数学教材八年级下.ppt

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1、第16章 二次根式16.1 二次根式什么是一个数的算术平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。正数的正的平方根叫做它的算术平方根。什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于一般地，若一个数的平方等于a，则，则这个数就叫做这个数就叫做a的平方根。的平方根。用用 (a0)表示。表示。a0 0的算术平方根平方根是的算术平方根平方根是0 0a a的平方根是的平方根是a复习复习1、如果、如果 ，那么，那么 ；42xx2、如果、如果 ，那么，那么 ；32xx3、如果、如果 ，)0(2aaxx那么那么 。x

2、2 23a1.1.如图所示的值表示正方形的如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是面积，则正方形的边长是 3b b-32.要修建一个面积为要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，的圆形喷水池，它的半径为它的半径为 m（ 取取3.14）；23、关系式中、关系式中 ，用含有，用含有h的式子的式子表示表示t，则，则t为为 。25th 5h导入导入 3b 表示一些表示一些正数正数的的算术平方根算术平方根.的式子叫做二次根式形如 a)0( a你认为所得的各代数式有哪些共同特点？你认为所得的各代数式有哪些共同特点？a被开方数被开方数二次根号二次根号25h新授新授:读作读作“根号根号 ”a归纳归纳:

3、二次根式的定义二次根式的定义 一般地，代数式形如一般地，代数式形如 ( ) 的的式子做叫二次根式。式子做叫二次根式。a 0a 本课学习目标： （1）二次根式的概念）二次根式的概念( 双重非负性双重非负性) （2）根号内字母的取值范围）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质）二次根式的性质(1,2)请你凭着自己已有的知识请你凭着自己已有的知识,说说说对二次根式说对二次根式 的认识！的认识！a ? 1. 表示什么含义表示什么含义?a答答:当当a0时时, 表示表示a的正平方根的正平方根;a当当a=0时时, 表示表示a的平方根的平方根.a 2. 当当a满足什么条件时满足什么条件时,代数式代数式 才

4、有意义才有意义?a答答:由于负数没有平方根由于负数没有平方根,所以当所以当a0时时, 才有意义才有意义!a 3. 代数式代数式 (a0)有如下特征有如下特征:a a0, 0 a( ( 双重非负性双重非负性) ) a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式. 既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果. (1) 代数式代数式 是二次根式吗是二次根式吗?a答答:代数式代数式 只有在只有在条件条件a0的情况下的情况下,才属于二次根式才属于二次根式!a二次根式是属于有二次根式是属于有特殊条件特殊条件的代数式的代数式.(2) 是二次根式吗？是二次根式吗？22答：符合条件答：符合

5、条件(1)被开方数为非负数被开方数为非负数; (2) 含含有二次根号有二次根号，所以，所以 是二次根式是二次根式2222(3) 代数式代数式 是二次根式是二次根式吗吗?12(2),(0)aaxx答答:是的是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式二次根式的被开方数可以是整式或分式.1a 而而 这类代数式，应把这类代数式，应把 这些二次根式看这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。2223xx2 ,3如：如： 这类代数式这类代数式只能只能称为含有二次称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；根式的代数式，不能称之为二次根式；注意说一说说一说:

6、下列代数式中哪些是二次根式？下列代数式中哪些是二次根式？219a222 aax)0(x23m 1(3)aa 16例例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。为何值时，下列各式在实数范围内有意义。(1)5x2(2) 1x(3) 13xx例题吧例题吧 （3）由题意可知：）由题意可知： 0301xx15x (1) 由由x-5 0,得得x 55x当当 x 5时，时， 有意义有意义.当当 -1 x 3时，时， 有意义有意义.13xx 解：解：(2) 因为不论因为不论x是什么实数，都有是什么实数，都有 0. 21 x当当 是任何实数时，是任何实数时， 有意义有意义.21x50105xx15x当当x取何

7、值时，取何值时， 在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。x-5 0解：由题意得解：由题意得15x 当当x5时，时， 在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。xx1)4(4)3(2 1、 x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1) 1 (1x0 x为全体实数x0 x3)5(x0 x21)6(x0 x01(2)3xxx(7)1,2xx 且2xx(8)0 x 1)9(2x为全体实数x一般地一般地,二次根式有下面的性质二次根式有下面的性质:快速判断快速判断 222222113_, 2_, 32_,73245_, 5_.3 532712323aa?9 41615172(

8、0)aaa2222_,5_,0_,|2| _;| 5| _;|0| _. 一般地一般地,二次根式有下面的性质二次根式有下面的性质:2255000a 当当 时时, ; 当当 时时,2_a 2_.a 0a aa2aa2a请比较左右两边的式子请比较左右两边的式子,议一议议一议: 与与 有什么关系有什么关系?|a2(0)0(0)(0)aaaaaaa?)(22有区别吗与 aa2:从运算顺序来看：从运算顺序来看：2a2a先开方先开方, ,后平方后平方先平方先平方, ,后开方后开方=a2a2a= a (0)0(0)(0)aaaaa1.从读法来看：从读法来看：3.从取值范围来看：从取值范围来看：2aa取任何实

9、数取任何实数a002a根号根号a a的平方的平方根号下根号下a a平方平方2a2a4.从运算结果来看从运算结果来看:二次根式的性质及它们的应用二次根式的性质及它们的应用: : 2aaa0-a( a 0 )( a =0 )( a 0 ) 2, (0)aa a （1）（2）2)2)(1 (2)2)(2(2)2()3(2)2()4(22)5(2)2()6(22-2|-2|=2|2|=2-|-2|=-2例题例题2(2)21,3.xxx 其中2(1)(3) ;例例2 求下列二次根式的值：求下列二次根式的值：解：解：2(3)3因为因为 0，所以，所以| |= （ ）= 333所以，所以，2(3)3.3|

10、|(1)22(2)21(1)xxx 解：解：1x| |当当 时，原式时，原式= 3x 3 1| |=31所以，当所以，当 时，二次根式的时，二次根式的值是值是 .3x 31 2211(x(xy)y)21:原式解跟踪练习跟踪练习将下列各式化简：将下列各式化简： 2223yxyxyxxy0 xy )yx（原式(2)2:()x y解原 式xy(1 2) 12 小结：小结：1. 1.怎样的式子叫二次根式？怎样的式子叫二次根式？2.2.怎样判断一个式子是不是二次根式？怎样判断一个式子是不是二次根式？3.3.如何确定二次根式中字母的取值范围？如何确定二次根式中字母的取值范围？.的式子叫做二次根式形如 a)

11、0( a（1）. 形式上含有二次根号形式上含有二次根号（2 2）. .被开方数被开方数a a为非负数，为非负数，分母不为分母不为0 0被开方数大于等于被开方数大于等于0 0结合数轴结合数轴, ,写出解集来写出解集来4.真正理解：真正理解：)0(2aaa aa2(0)0(0)(0)a aaa a这两个性质的概念，这两个性质的概念，我们才能我们才能灵活灵活地去解决有关二次根式的问题。地去解决有关二次根式的问题。解决二次根式类问题时特别注意条件，解决二次根式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘有时还得挖掘隐含隐含条件。条件。（双重非负性）.0,0.5aa1、求下列二次根式中字母的取值范围：（1） （2

12、） （3） （4）43x21x1x2222y）（132x130216xx(1)解:由题意得,2(2)0yy可取全体实数(2)解:由题意得,21012xx (3)解:由题意得,4 30212104 304 30或21021 04132xxxxxxxx (4)解:由题意得,422.2.化简及求值：化简及求值：(1) (2) (3) (1) (2) (3) (a a0,b0,b0 0) )(4)(4) 其中其中a=a= (5)(5)4a22a b21 2a a22) 12()21 (342(1) (2) (3) (1) (2) (3) (a a0,b0,b0 0) )(4)(4) 其中其中a=a=

13、(5)(5)4a22a b21 2a a22) 12()21 (422解：原式22aa解：原式ab解：原式1) 1(:2aa原式解2212121221解：原式0, 0ba0abab原式31313133）（时，原式当a2x10200且4xxxx解:由题意得,1. 求下列各式有意义时的求下列各式有意义时的X取值范围：取值范围：| 31 4xx| 301 41 40| 30| 30或1 401 403或333或114413或34xxxxxxxxxxxxxx 解:由题意得,解：原式=22(3)(1)xx=|x-3|+|x+1|x-3|+|x+1|-1x3 , x-3-1x00 , x+10原式原式 =

14、 (3-x) + (x+1) = 4= (3-x) + (x+1) = 4_,4)4(2的取值范围是则思考：若mmmmm4?)4(24m404mm41682mmm1.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )xx1)1 (2(A) x1 (B) x1 (C) 0 x1 (D)一切有理数一切有理数A 3.实数实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位置如图所示，化简 22()()abbccaabcA A B B C C D D2x x22x 22x 2.2.下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（ ）C C2()b c a 2()c a b 2()b c a 4.

15、4.已知已知a a，b b，c c为为ABCABC的三边长，化简：的三边长，化简：+ +- -0)(, 0)(, 0,acbbacacbcba是三角形三边这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别要应用好。这个知识点上，特别要应用好。acbbacacb解：原式cabacbcbaacb3原式213 )1xx( )2 （5.化简化简 22()1 ( 1 )( )aaaa1解：原式121aaa31031xx6.把下列各式写成平方差的形式，把下列各式写成平方差的形式， 再在实再在实数范围内分解因式；数范围内分解因式

16、；4(1)9a 42(2)69aa2 22(1)3a原式 （ ）22(2)(3)a原式)3)(3(22aa)3)(3)(3(2aaa22)3()3(aa解：（）（）（），（），时，时，、当、当yxyx0311的值。的值。求求、已知、已知xyzzyx02365223.3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值根据非负数的性质，就可以确定字母的值. .2.2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. .到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？思考：思考：为偶数）nan()0(aaa的双重非负性再议a非负数非

17、负数的性质：的性质：1.1.几个非负数的和、积、商、乘方及几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数算术平方根仍是非负数cbacba则若（, 023) 2232(3)x2( 2)x6.6.化简：化简：- -分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义的范围内，本题有一个隐条件，即义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x0,x2.123, 2, 02xxxx原式解()()a xaa yaxaay22223xxyyxxyy7.设等式设等式在实数范围内成立，其中在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求是两两不等的实数，

18、求的值。的值。解：解：()()a xaa yaxaay313, 02222yxyxyxyxyxyxa巩固提高巩固提高1：2( 32 )x1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围分别求下列二次根式中的字母的取值范围2(1)x32xx（1）（2）（3）23023).1 (xx为全体实数x).2(23203).3(xxxx且且2.当当x_时时, 33xx有意义有意义.=022()2 ()abba3.化简：化简：=_2a-3b4.要使式子要使式子 有意义，那么有意义，那么x的取值范围是（的取值范围是（ ）A、x0 B、x0 C、x=0 D、x0 xxC332yxx3yx5.已知已知,求求的值。的值。3

19、932, 3, 33, 03032yxyxxxxx只有且且解0 xy 2x y6.已知已知，化简：，化简：yxyxyxyxxy22, 0, 0:0, 0得解由73,73xy22xxyy7.已知：已知：，求，求的值。的值。1612283)(4,72222xyyxyxyxxyyx解2.2.已知已知a,ba,b为实数，且满足为实数，且满足 , ,你能求出你能求出a a及及a+ba+b 的值吗？的值吗？12112bba2ab1.1.若若=0=0，则，则=_=_。3.已知已知 有意义有意义,那那A(a, )在在 象限象限. 二二a1由题意知由题意知a a0 0点点A(A(, ,) )a22(5)(22)

20、ab5巩固提高巩固提高2：2(12)2( 23)2( 34)4.4.计算计算：+ + + + +2)20112010(5.如果如果2(5)a+b-2=0，求以，求以a、b为边长的等腰为边长的等腰 三角形的周长。三角形的周长。1201120102011.342312解原式122, 5, 02)5(2的周长为解ABCbaba切入点切入点：从字母的取值范围入手。从字母的取值范围入手。l1.已知已知 ，你能求出，你能求出 的值吗？的值吗？442yxxxyl3.已知已知 ，你能求出，你能求出 a 的取值范围吗？的取值范围吗？l2.已知已知 与与 互为相反数，互为相反数， 求求 、 的值的值.29xy3xyxy切入点切入点：从代数式的非负性入手。从代数式的非负性入手。l4.已知已知 为一个非负整数，试求非负整数为一个非负整数，试求非负整数 的值的值10aa切入点切入点：分类讨论思想。分类讨论思想。1aa