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1、幂函数与指数函数及其性质 (一)指数函数的定义一般地，函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。将a如数轴所示分为：a1五部分进行讨论：(1)假如a1即a0且a1，x能够是任意实数。(四)指数函数性质的简单应用例2：比拟下列各题中两个值的大小:(l)1.72.5,1.73;(2)0.8-01,0.8-02;(3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3(4)1.70.3,0.93.1解:(1)考察指数函数y=1.7x,由于底数1.71,所以指数函数y=1.7x在R上是增函数由于2.5-0.2,所以0.8-0.11.70=1,093.10.93.10.93.1总结
2、：不同底数幂比大小时,可利用图象法或利用中间变量(多项选择0，1)例3：已知下列不等式,比拟m和n的大小:(l)2m0.2n(3)am0解：(1)由于y=2x是一个单调递增函数，所以由题意m1时y=ax是一个单调递增函数，所以此时mn特点：已知幂值大小判定指数大小。能够构造指数函数，利用单调性解题。1、求下列函数的定义域：2比拟下列各题中两个值的大小:130.9,30.8;20.75-0.2，0.750.23、已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8，则a、b、c的大小关系是指数函数选择题1.的单调递减区间是函数|1|)31(-=xy)1,0)(-D.)1,C.,1(-B.,0
3、)(-.+A2.是且1)a0(a11)(+-=xxaaxfA.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数。3.已知函数f(x)=2x+1的反函数为f-1(x，则f-1(x0的解集是A.-，2B.1，2C.2，+D-，14.已知函数xxxxeeeexf-+-=)(的反函数是)(1xf-，且kff=-|)6.0(|)8.0(|11，则A.)21,0(kB.)1,21(kC.)23,1(kD.)2,23(k5.若f1(x)是函数f(x)=2x的反函数，则f1(4)等于A.1B.2C.3D.41自变量x2定义域R3a的范围a0，且a14定义的形式对应法则y=ax6.已知函数y=f(x)的
4、反函数f-1(x)=2x+1，则f(1)等于A.0B.1C.1D.47.在同一坐标系中，函数y=ax+1与y=ax-1(a0且a1)的图象可能是xoyx111yyxx11oo11o1ABCD8.若函数的图象经过第二且)10(1)(-+=aabaxfx、三、四象限，则一定有A.010ba且C.010ba且9.函数bxaxf-=)(的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是A.0,1baB.0,1baC.0,10+=xxyA)0(log1.3+-=xxyB)31(log1.3且在区间)0+，上是增函数，那么实数a的取值范围是.203?，.313?，.(13?，.32?+?，17.当10baB
5、.0,1baC.0,10D.0,10-=A.32B.16C.21D.32126.设函数()yfx=的反函数为1()yfx-=，若()2xfx=，则112f-?的值为A.2B.1C.12D.1-27.已知集合,22|1|RxxMx-=-)(,0),1(0,2)(若有且只要两个实数解，则实数a的取值范围是A.)2,(-B.)2,1C.),1+D.1,(-35.关于函数)(22)(R-=-xxfxx有下列三个结论：)(xf的值域为R；)(xf是R上的增函数；对任意0)()(,=+-xfxfRx有成立；其中所有正确的序号为A.B.C.D.36.函数y=-ex的图象A.与y=ex的图象关于y轴对称.B.
6、与y=ex的图象关于坐标原点对称.C.与y=e-x的图象关于y轴对称.D.与y=e-x的图象关于坐标原点对称.37.设函数2(1)(1)()41(1)xxfxxx?+a41.根式11aa式中0a的分数指数幂形式为A.43a-B.43aC.34a-D.34a42.若函数()1xfxa-=的图象经过点2，4，则()12f-的值是A.21-B.23C.2D.443.若)(1,618.03Zkkkaa+=，则k的值为A.0B.1C.1D.以上均不对44.函数xy-=2的图象经过如何的变换能够得到121+=+-xy的图象A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位C.
7、向右平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位45.已知0a且21,()xafxxa=-,当(1,1)x-时均有1()2fxA.(2,)-+B.1,)-+C.0,)+D.(,2)-48.若实数,xy知足119933xyxy+=+，则33xyu=+的取值范围是A.36u时，图象过定点；在(0,)+上是函数.2当0上至下，指数.：4.规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数yx，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，01和1三种情况下曲
8、线的基本形状，还要注意0，1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况能够用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横，即01时图象是抛物线型；0时图象是双曲线型；1时图象是竖直抛物线型；01时图象是横卧抛物线型在0，+上，yx=、2yx=、3yx=、12yx=是增函数，在0，+上，1yx-=是减函数。例1已知函数()()2531mfxmmx-=-，当m为何值时，()fx：1是幂函数；2是幂函数，且是()0,+上的增函数；3是正比例函数；4是反比例函数；5是二次函数；简解：12m=或1m=-21m=-345m=-425m=-51m=-变式训练：已知函数()()2223mmfxmmx-=+，当m
9、为何值时，()fx在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：220230mmmm?+?-?解得：()(),13,m-+小结与拓展：要谨记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例2比拟大小：111221.5,1.7233(1.2),(1.25)-31125.25,5.26,5.26-430.530.5,3,log0.5解：112yx=在0,)+上是增函数，1.51.7-，33(1.2)(1.25)-31yx-=在(0,)+上是减函数，5.255.26；5.26xy=是增函数，12-，125.265.26-；综上，1125.255.265.26-4300.51，3log0.50x轴、y轴都无交点，223
10、0mm-，13m-；mZ，2(23)mmZ-，又函数图象关于原点对称，223mm-是奇数，0m=或2m=例4、设函数fxx3，1求它的反函数；2分别求出f1xfx，f1xfx，f1xfx的实数x的范围解析：1由yx3两边同时开三次方得x3y，f1xx312函数fxx3和f1xx31的图象都经过点0，0和1，1f1xfx时，x1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f1xfx时，x1或0x1；f1xfx时，x1或1x0点评：此题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为费事例5、求函数y52x2x514x32值域解析：设tx51，x32，t2，则yt22t4t1
11、23当t1时，ymin3函数y52x2x514x32的值域为3，点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法1.下列函数中不是幂函数的是yx=3yx=2yx=1yx-=答案：2.下列函数在(),0-上为减函数的是13yx=2yx=3yx=2yx-=答案：3.下列幂函数中定义域为0xx的是23yx=32yx=23yx-=32yx-=答案：4函数yx22x21的定义域是Ax|x0或x2B，02，C，02，D0，2解析：函数可化为根式形式，即可得定义域答案：B5函数y1x221的值域是A0，B0，1C0，1D0，1解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t1x2，则yt1x1，0t1，0y1答案：
12、D6函数y52x的单调递减区间为A，1B，0C0，D，解析：函数y52x是偶函数，且在0，上单调递增，由对称性可知选B答案：B7若a21a21，则a的取值范围是Aa1Ba0C1a0D1a0解析：运用指数函数的性质，选C答案：C8函数y32)215(xx的定义域是。解析：由152xx230152xx203x5答案：A9函数y221mmx在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_解析：m的取值应该使函数为偶函数故m1答案：m110、讨论函数y52x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图思路：函数y52x是幂函数1要使y52x52x有意义，x能够取任意实数，故函数定义域为R2xR，x20
13、y03fx52)(x52xfx，函数y52x是偶函数；4n520，幂函数y52x在0，上单调递增由于幂函数y52x是偶函数，幂函数y52x在，0上单调递减5其图象如下列图所示11、比拟下列各组中两个数的大小：1535.1，537.1；20.71.5，0.61.5；332)2.1(，32)25.1(解析：1考察幂函数y53x的单调性，在第一象限内函数单调递增，1.51.7，535.1537.1，2考察幂函数y23x的单调性，同理0.71.50.61.53先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，32)2.1(322.1，32)25.1(3225.1，又322.13225.1，32)2.1(3225
14、.1点评：比拟幂形式的两个数的大小，一般的思路是：1若能化为同指数，则用幂函数的单调性；2若能化为同底数，则用指数函数的单调性；3若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比拟大小12已知函数y42215xx1求函数的定义域、值域；2判定函数的奇偶性；3求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令t152xx2，则y4t，1由152xx20得函数的定义域为5，3，t16x120，16函数的值域为0，22函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数3函数的定义域为5，3，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而增大；x1，3时，t随x的增大
15、而减小又函数y4t在t0，16时，y随t的增大而增大，函数y42215xx的单调增区间为5，1，单调减区间为1，3答案：1定义域为5，3，值域为0，2；2函数即不是奇函数，也不是偶函数；31，31假如幂函数()fxx=的图象经过点2(2,)2，则(4)f的值等于2函数yx22x21的定义域是3函数y52x的单调递减区间为4函数y221mmx在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_例1比拟下列各组数的大小：11.531，1.731，1；22232-，10732，1.134-；33.832-，3.952，1.853；431.4，51.5.例2已知幂函数6()myxmZ-=与2()myxmZ-=的
16、图象都与x、y轴都没有公共点，且2()myxmZ-=的图象关于y轴对称，求m的值例3幂函数273235()(1)ttfxttx+-=-+是偶函数，且在(0,)+上为增函数，求函数解析式.1幂函数()yfx=的图象过点1(4,)2，则(8)f的值为.2比拟下列各组数的大小：32(2)a+32a；223(5)a-+235-；0.50.40.40.5.3幂函数的图象过点(2,14),则它的单调递增区间是4设x(0,1)，幂函数yax的图象在yx的上方，则a的取值范围是5函数y34x-在区间上是减函数6一个幂函数yf(x)的图象过点(3,427),另一个幂函数yg(x)的图象过点(8,2),(1)求这
17、两个幂函数的解析式；2判定这两个函数的奇偶性；3作出这两个函数的图象，观察得f(x)连结下列各式：0.60.320.50.320.50.34，0.40.8-0.40.6-2函数1322(1)(4)yxx-=-+-的定义域是3942-=aaxy是偶函数，且在),0(+是减函数，则整数a的值是.4已知3532xx，x的取值范围为5若幂函数ayx=的图象在0时在直线yx=的下方，则的取值范围是_.7.函数1yx=+的图像能够看成由幂函数12yx=的图像向_平移_个单位.8.已知()()1133132xx-+.1求证：函数()fx在(0,a上是减函数，在),a+上是增函数；2当1,33x?时，求函数()fx的值域.