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1、高中数学数学之特殊解法数学方法之特殊解法【考情分析】近年高考题尽量减少繁烦的运算，着力考察学生的逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比拟、简捷的运算方法和推理技巧，突出了对学生数学素质的考察。试题运算量不大，以认识型和思维型的题目为主，很多题目既可用通性、通法直接求解,可以用“特殊方法求解。其中，配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法是数学思想的详细体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有施行的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等作
2、用。预测2021年的高考命题趋势为：1部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；2这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；【知识交汇】1换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，进而使问题得到简化，这叫换元法。换元的本质是转化，关键是构造元和设元，理论根据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，进而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，能够把
3、分散的条件联络起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联络起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它能够化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它进而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为设2xtt0，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联络
4、进行换元。如求函数yx1-x的值域时，易发现x0,1，设xsin2，0,2，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为何会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联络，又有去根号的需要。如变量x、y合适条件x2y2r2r0时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值换元，如碰到xyS形式时，设xS2t，yS2t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,2。2待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法
5、，其理论根据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是根据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判定一个问题能否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题能否具有某种确定的数学表达式，假如具有，就能够用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都能够用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第
6、一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，进而使问题得到解决。3参数法参数法是指在解题经过中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联络的新变量参数，以此作为媒介，再进行分析和综合，进而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联络是无穷的，联络的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联络，进而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联络。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经浸透
7、到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比拟普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联络，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。4配方凑法1配方法是对数学式子进行一种定向变形配成“完全平方的技巧，通过配方找到已知和未知的联络，进而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项与“添项、“配与“凑的技巧，进而完成配方。有时也将其称为“凑配法。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。2配凑法：从整体考察，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化进而到达比拟容易解
8、决问题的方法。常见的配凑方法有：裂项法，错位相减法，常量代换法等。【思想方法】1配方凑法典例解析例1111江苏7已知,2)4tan(=+x则xx2tantan的值为_解析：22tan()11tantan1tan44tantan(),2tan443tan229tan()141tanxxxxxxxxxx+-+-=+2已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为(A)32 (B)14(C)5 (D)6分析：设长方体三条棱长分别为x、y、z，则依条件得：2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。而欲求的对角线长为222zyx+，因而需将对称式222zy
9、x+写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式，完成这种组合的常用手段是配方法，故)(2)(2222xzyzxyzyxzyx+-+=+=6211=25。5222=+zyx，应选C。点评：此题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联络，即联络了已知和未知，进而求解。这也是我们使用配方法的一种解题形式。例21设F1和F2为双曲线1422=-yx的两个焦点,点P在双曲线上且知足F1PF2=90，则F1PF2的面积是(A)1 (B)25(C)2(D)5分析：欲求|212121PFPFSFPF?=?(1)，而由已知能得到
10、什么呢？由F1PF2=90，得20|2221=+PFPF(2)，又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4(3)，那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联络呢？我们发现将(3)式完全平方，即可找到三个式子之间的关系.即16|2|212221221=?-+=-PFPFPFPFPFPF，故2421)16|(|21|222121=?=-+=?PFPFPFPF1|212121=?=?PFPFSFPF，选(A)。点评：配方法实现了“平方和与“和的平方的互相转化。2设方程x2kx2=0的两实根为p、q，若(pq)2+(qp)27成立，务实数k的取值范围。解析：方程x2kx2=0的两实根为p、q，
11、由韦达定理得：pqk，pq2，(pq)2+(qp)2pqpq442+()()()pqpqpq2222222+-()()pqpqpqpq+-2222222()k22484-7，解得k10或k10。又p、q为方程x2kx2=0的两实根，k280即k22或k22综合起来，k的取值范围是：10k22或者22k10。点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“；已知方程有两根时，能够恰当运用韦达定理。此题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其构造特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假设此题不对“讨论，结果将出错，即便有些题目可能结果一样，去掉对“的讨论，但解答是不严密
12、、不完好的，这一点我们要尤为注意和重视。2待定系数法典例解析例311江苏，12在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0()(=xexfx的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_解析：设00(,),xPxe则00000:(),(0,(1)xxxlyeexxMxe-=-，过点P作l的垂线：000000(),(0,)xxxxyeexxNexe-=-+，00000000011(1)()22xxxxxxtxeexeexee-=-+=+-0001()(1)2xxteex-=+-；所以，t在(0,1)上单调增，在(1,
13、)+单调减，max11()2tee=+。例411安徽文，17设直线.02,1:,1:21212211=+-=+=kkkkxkylxkyl知足其中实数I证实1l与2l相交；II证实1l与2l的交点在椭圆222x+y=1上.分析：此题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判定与证实，点在曲线上的判定与证实，椭圆方程等基本知识，考察推理论证能力和运算求解能力.证实：I反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得.0221=+k此与k1为实数的事实相矛盾.进而2121,llkk与即相交.II方法一由方程组?-=+=1121xkyxky解得交点P的坐标),(yx
14、为?-+=-=.,2121212kkkkykkx而.144228)()2(22222122212121222121222121221222=+=-+=-+-=+kkkkkkkkkkkkkkkkkkyx此即表明交点.12),(22上在椭圆=+yxyxP方法二交点P的坐标),(yx知足.0211,02.1,1.011212121=+?-=+?+=-=?=+=-xyxykkxykxykxxkyxky得代入进而故知整理后，得,1222=+yx所以交点P在椭圆.1222上=+yx3换元法典例解析例5106江苏卷设a为实数，设函数xxxaxf-+-=111)(2的最大值为g(a)。设txx-+11，求t的
15、取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；求g(a)。解析：令t=要使有t意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1，222,4,t=+t0t的取值范围是2.2112t=-m(t)=a(2112t-)+t=21,2attat+-由题意知g(a)即为函数21(),22mtattat=+-的最大值。注意到直线1ta=-是抛物线21()2mtatta=+-的对称轴，分下面几种情况讨论。1当a0时，函数y=m(t),2t的图象是开口向上的抛物线的一段，由1ta=-0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a2的最大值和最小值。解析：设sinxcosxt，则t-2,2，由(sinxcos
16、x)212sinxcosx得：sinxcosxt212-，f(x)g(t)12(t2a)212a0，t-2,2，t-2时，取最小值：2a222a12，当2a2时，t2，取最大值：2a222a12；I设12e=，求BC与AD的比值；II当e变化时，能否存在直线l，使得BOAN，并讲明理由解：I由于C1，C2的离心率一样，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xybyxCCababaa+=+=设直线:(|)lxtta=解析：由abc1，设a13t1，b13t2，c13t3，其中t1t2t30，a2b2c213t1213t22(13t3)21323(t1t2t3)t12t22t3213
17、t12t22t3213，所以a2b2c2的最小值是13。点评：由“均值换元法引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是此题此种解法的一个技巧。此题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法进行求解，解法是：a2b2c2(abc)22(abbcac)12(a2b2c2)，即a2b2c213。两种解法都要求代数变形的技巧性强，屡次练习，能够提高我们的代数变形能力。【思维总结】1配方法使用的最基本的配方根据是二项完全平方公式(ab)2a22abb2，将这个公式灵敏运用，可得到各种基本配方形式，如：a2b2(ab)22ab(ab)22ab；a2abb2(ab)2ab(ab)23ab(ab2)232b
18、2；a2b2c2abbcca12(ab)2(bc)2(ca)2a2b2c2(abc)22(abbcca)(abc)22(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincossincos2；x212x(x1x)22(x1x)22；等等。2怎样列出一组含待定系数的方程，主要从下面几方面着手分析：1利用对应系数相等列方程；2由恒等的概念用数值代入法列方程；3利用定义本身的属性列方程；4利用几何条件列方程。比方在求圆锥曲线的方程时，我们能够用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。