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1、2020高中数学-特殊值法解决二项式展开系数问题第83炼特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数或二项式系数的等式3、常用赋值举例：1设()011222nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb-+=+，令1ab=，可得：012nnnnnCCC=+令1,1ab=-，可得：()012301nnnnnnnCCCCC=-+-+-，即：02131nnnnnnnnCCCCCC-+=+假设n为偶
2、数，再结合可得：0213112nnnnnnnnnCCCCCC-+=+=2设()()201221nnnfxxaaxaxax=+=+令1x=，则有：()()0122111nnaaaaf+=?+=，即展开式系数和令0x=，则有：()()02020naf=?+=，即常数项令1x=-，设n为偶数，则有：()()01231211nnaaaaaf-+-+=-?+=-()()()021311nnaaaaaaf-?+-+=-，即偶次项系数和与奇次项系数和的差由即可求出()02naaa+和()131naaa-+的值二、典型例题：例1：已知()828012831xaaxaxax-=+，则1357aaaa+的值为_思
3、路：观察发现展开式中奇数项对应的x指数幂为奇数，所以考虑令1,1xx=-，则偶数项一样，奇数项相反，两式相减即可得到1357aaaa+的值解：令1x=可得：80182aaa=+令1x=-可得：801284aaaa=-+-+-可得：()881357242aaaa-=+()8813571242aaaa+=-答案：()881242-例2：已知()()()()()921120121112111xxaaxaxax+-=+-+-+-，则121aaa+的值为A.0B.2C.255D.2-思路：此题固然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x=，得到01110aaa
4、+=，只需再求出0a即可。令1x=可得02a=-，所以12112aaa+=答案：B例3：设(4234012342xaaxaxaxax+=+，则()()2202413aaaaa+-+的值为A.16B.16-C.1D.1-思路：所求()()()()22024130123401234aaaaaaaaaaaaaaa+-+=+-+-+，在恒等式中令1x=可得：(4012342aaaaa+=+，令1x=-时 (4012342aaaaa-+-+=-，所以 ()()(4422024132216aaaaa+-+=+-=答案：A例4：若()5234501234523xaaxaxaxaxax-=+，则012345a
5、aaaaa+等于A.55B.1-C.52D.52-思路：固然()523x-展开式的系数有正有负，但()523x-与()523x+对应系数的绝对值一样，且()523x+均为正数。所以只需计算()523x+展开的系数和即可。令1x=，可得系数和为55，所以50123455aaaaaa+=答案：A例5：若()2021202101202112xaaxax-=+，则()()()01020214aaaaaa+=_思路：所求表达式可变形为：()00120212021aaaa+，进而只需求出0a和系数和即可。令0x=可得：01a=，令1x=可得：0120211aaa+=，所以()001202120212021
6、aaaa+=答案：2021例6：若()2622020nnCCnN+=，且()20212nnnxaaxaxax-=+，则()0121nnaaaa-+-+-等于A.81B.27C.243D.729思路：由2622020nnCC+=可得262nn+=+或()()26220nn+=，解得4n=，所求表达式只需令1x=-，可得()()44012412181aaaa-+-+-=-=?答案：A例7：若()()202122021012202121xaaxaxaxxR-=+，则23202123202111112222aaaaaa+=A.12021-B.12021C.14026-D.14026思路：所求表达式中的
7、项呈现2的指数幂递增的特点，与恒等式联络可发现令12x=，可得：22021012202110222aaaa+=，令0x=可得：01a=-，所以220211220211222aaa+=-，所以所求表达式变形为：111111122aaa?+-=?，而()()2021112021214026axCxx=?-=，所以14026a=，进而表达式的值为14026答案：D例8：已知()()()201111nnnxxxaaxax+=+，若12129naaan-+=-，则n的值为A.3B.4C.5D.6思路：在恒等式中令1x=可得系数和()20212122221nnnaaa-+=+=-，与条件联络可考虑先求出0
8、,naa，令0x=，可得0an=，展开式中na为最高次项系数，所以1na=，1121221nnaaan+-+=-，所以122129nnn+-=-，即1232n+=，解得4n=答案：B例9：若()5234501234523xaaxaxaxaxax-=+，则01232345aaaaaa+的值是A.10B.20C.233D.233-思路：观察所求式子中ia项的系数恰好与二项展开式中ia所在项的次数一致，可联想到幂函数求导：()1nnxnx-=，进而设()()523fxx=-，恒等式两边求导再令1x=可解得123452345aaaaa+的值，再在原恒等式中令0x=计算出0a即可解：设()()52345
9、01234523fxxaaxaxaxaxax=-=+()()42341234552322345fxxaaxaxaxax=-?=+令1x=可得：12345102345aaaaa=+而在()5234501234523xaaxaxaxaxax-=+中，令0x=可得：503243a=-=-0123452345233aaaaaa+=-答案：D例10：若等式()202122021012202121xaaxaxax-=+对于一切实数x都成立，则0122021111232021aaaa+=A.14030B.12021C.22021D.0思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联络起来可联想到在恒等式中两边同取
10、不定积分。例如：22311122111,231nnnnaxaxaxaxaxaxn+?=?+?，再利用赋值法令1x=即可得到所求表达式的值解：()202122021012202121xaaxaxax-=+，两边同取不定积分可得：()202123202101220211111214030232021xCaxaxaxax-+=+令1x=可得：012202111114030232021Caaaa+=+令0x=可得：11040304030CC-+=?=012202111112320212021aaaa+=答案：B小炼有话讲：1此题可与例9作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换。是求导还是取不定积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的。2在取不定积分时，此题有两个细节，一个是寻找()202121yx=-的原函数，要注意其原函数求导时涉及复合函数求导，所以系数要进行调整。此类问题多是先猜函数的原型，再通过对所猜函数求导后与已知比拟，调整系数；第二个是在求原函数时，要注意添加常数“C，再利用赋值法求出C的值即可