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1、双曲线和抛物线的区别究竟在哪？双曲线和抛物线的区别究竟在哪？安徽省五河高级中学刘瑞美233300在温习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差异，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，怎样区分？如何区分？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面讨论了两者之间的差异。1.从用平面截圆锥的角度比拟大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角平面与圆锥顶点不共面时，交线为抛物线如图1；图1图2当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0?
2、时，交线为双曲线如图2。在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？下面我们来证实上述结论。为研究问题的方便，我们特作如下的约定：设圆锥AEF的轴截面AEF顶角2(0)2EAF=上一页下一页得到一个圆。2、当0=时，()*式变为2222cossin0,xy?-?=显然是两条直线。3、当(0,)2=时，()*式变为2222222cos2sincossin(cossin)0,xmym?+?+-=显然是一条抛物线。4、当且02，则()*式显然表
3、示椭圆；若0,2时，其轨迹是双曲线，此时它有两个焦点、两条准线、两条渐近线；当01e上一页下一页1设(,)Mxy是双曲线在第一象限内的点，则)yxa，由于222xax-得，1bMNyyxa=-=)xa，这样当x随着x的增大而增大时，随着x的增大而减小，进而,MN两点间的距离MN随着x的增大而减小，且当x无限增大时，MN无限趋近于0，即双曲线在第一象限内与直线byxa=越来越近。再根据对称性可知，当双曲线的两支在向外无限延伸时，双曲线与两条直线byxa=无线逼近，但永远不会与这两条直线相交。因此双曲线有两条渐近线。2假设抛物线22(0)xpyp=存在渐近线为ykxb=+，设(,),(,)MxyN
4、xY是第一象限内两个具有一样横坐标的点，且点M在抛物线21(0)2yxxp=上，点N在直线(0)ykxbk=+上，则.Ykxb=+设MQ表示点M到直线ykxb=+的距离，则.MQMN的渐近线，即当x逐步增大时，MQ无限接近于零。而2211(),22MNyYxkxbxkxbpp=-=-+=-令21()(0),2fxxkxbxp=-有22221112()(22)(),2222pkbfxxkxbxpkxpbxpkppp+=-=-=-(,)xpk+时，()fx是单调增的。即当x逐步增大时，MN也逐步增大，x逐步增大时，MN无限接近于.+如图4，设直线的倾斜角为，则tan0.coskMQMN= (+当).x+所以当x逐步增大时，点M到直线ykxb=+的距离也逐步增大。这与假设矛盾，所以抛物线不存在渐近线。因此，双曲线有两条渐近线，抛物线没有渐近线。4.两者有着不同应用从物理性质比拟，两者具有不同的物理性质。将一个点光源放在其焦点上，经过曲线反射后，会聚一点，则曲线是椭圆如图5；若经过曲线反射后，光线分散，其反向延长线会聚一点，则曲线是双曲线如图6若经过曲线反射后，光线为平行光线，则曲线是抛物线如图7。圆锥曲线这些性质在当代的航天、航空、航海及当代化的通信领域中都有着广泛地应用。上一页下一页当前位置：文档视界双曲线和抛物线的区别究竟在哪？双曲线和抛物线的区别究竟在哪？