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1、二次函数根的判别式韦达定理一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程经过中得到2224()24bbacxaa-+=，显然只要当240bac-时，才能直接开平方得：22424bbacxaa-+=也就是讲，一元二次方程20(0)axbxca+=只要当系数a、b、c知足条件240bac?=-时才有实数根这里24bac-叫做一元二次方程根的判别式2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca+=的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况(能否有实数根)由24bac?=-确定判别式：设一元二次方程为20(0)axb
2、xca+=，其根的判别式为：24bac?=-则0?方程20(0)axbxca+=有两个不相等的实数根21,242bbacxa-=0?=?方程20(0)axbxca+=有两个相等的实数根122bxxa=-0?;有两个相等的实数根时，0?=;没有实数根时，0?时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；当0a则此方程的正根小于负根的绝对值当0ca时，方程的两根同正或同负若0ba-，则此方程的两根均为正根；若0ba-，2xm且12()()0xmxm-+-1xm?，2xm12()()0xmxm-且12()()0xmxm-+-，方程20(0)axbxca+=不一定有实数根若0abc+=，则20(0)axbxca
3、+=必有一根1x=若0abc-+=，则20(0)axbxca+=必有一根1x=-韦达定理主要应用于下面几个方面：已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有一样的构造时，就能够把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的?一些考试中，往往利用这一点设置陷阱例题一、判定方程根的情况【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：122340xx+-=；2216924yy+=；3()2
4、5170xx+-=。【例2】不解方程，判别方程22220xkxk+=的根的情况。【例3】解关于x的方程()21230mxmxm-+=【例4】已知关于x的方程2(1)10nxmx-+=有两个相等的实数根求证：关于y的一元二次方程222440mymymn-+=必有两个相等的实数根【稳固】已知0a，bac+，判定关于x的方程20axbxc+=的根的情况，并给出必要的讲明.【稳固】(1998年山东省竞赛)设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程220axbxc+=，220bxcxa+=，220cxaxb+=，不可能都有2个相等的实数根二、应用题【例5】2006湛江市近年来，我市开展以“四通五改
5、六进村为载体，以生态文明为主要特色的新农村建设活动获得了明显成效下面是市委领导和市民的一段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民提出的问题结果准确到0.1%领导市民【稳固】2006新疆20XX年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市创办区内初中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生某市20XX年9月招收区内初中班全市一共有13233个自然村，20XX年已建成生态文明村2315个，计划到20XX年全市生态文明村数要到达自然村总数的24.4%领导，按这个计划，从20XX年到20XX年，平均每年生态文明村增长率约是多少？学生50名，并计划在20XX年9月招生结束后，使区内初中班
6、三年招生总人数到达450名若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率一样，求这个增长率【例6】2006重庆市机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.1甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？2乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率
7、，并且发如今技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%.这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克.问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？【例7】2006南安某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件1求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？2设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，
8、观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【例8】2006诸暨市有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多4尺;把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多2尺;把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?【例9】2006广东省将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于212cm吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请讲明理由三、韦达定理【例10】(2006广安市)已知:ABC?的
9、两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程()2223320xkxkk+=-的两个实数根,第三边BC的长为5.试问:k取何值时,ABC?是以BC为斜边的直角三角形?【例11】已知关于x的一元二次方程()2120xmxm-+=.(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；(2)若方程的两实数根之积等于292mm-+，求6m+的值【稳固】已知关于x的方程222(1)30xmxm-+-=1当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？2设1x、2x是方程的两根，且21212()()120xxxx+-+-=，求m的值。【例12】2006济南市已知关于x的方程2210kxx+-=有两个不相等的实数根2xx1，且知
10、足212()1xx+=，求k的值【例13】已知1x、2x是关于x的一元二次方程2244(1)0xmxm+-+=的两个非零实数根，问：1x与2x能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请讲明理由。【稳固】证实：方程2199719970xx-+=无整数根。【例14】已知1x、2x是一元二次方程24410kxkxk-+=的两个实数根。1能否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx-=-成立？若存在，求出k的值；若不存在，请讲明理由。2求使12212xxxx+-的值为整数的实数k的整数值。【稳固】已知关于x的方程230xxa+=的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程2(1)32
11、0kxxa-+-=有实根，且k为正整数，求代数式12kk-的值。作业题1已知关于x的方程2(21)10kxkxk+-+-=只要整数根，且关于y的一元二次方程2(1)30kyym-+=的两个实数根为1y、2y。1当k为整数时，确定k的值。2在1的条件下，若m2，求2212yy+的值。2已知1x、2x是关于x的一元二次方程2244(1)0xmxm+-+=的两个非零实根，问：1x、2x能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请讲明理由。3设1x、2x是方程2420xx-+=的两根，则1211xx+；12xx-；12(1)(1)xx+。4以方程2240xx-=的两根的倒数为根的一元二次
12、方程是。5已知方程2450xmx-+=的两实根差的平方为144，则m。6已知方程230xxm-+=的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是。7反比例函数kyx=的图象经过点Pa、b，其中a、b是一元二次方程240xkx+=的两根，那么点P的坐标是。8已知1x、2x是方程2310xx-+=的两根，则21241211xx+的值为。9不解方程，判别下列方程的情况：123420xx+-=；22256yy+=；3()4130pp-=；4()()222280xx-+-=；523220xx-+=；6232620tt-+=10练习：不解方程，判别下列方程的根的情况。1()22100axaxa-=；222222
13、0xxk-+=；3()2221210mxmx+-+=11南通市据20XX年5月8日（南通日报）报道：今年“五一黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如下图，其中住宿消费为3438.24万元。1求我市今年“五一黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？2对于“五一黄金周期间的旅游消费，假如我市20XX年要到达3.42亿元的目的，那么20XX年到20XX年的平均增长率是多少？20XX年南通市“五一黄金周旅游各项消费分布统计图：122006永州市李大伯承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质油桃，今年已进入第三年收获期今年收获油桃6912千克，已知李大伯第一年收获的油桃重量为4800千克试求去年和今年两年油桃产量的年平均增长率，照此增长率，估计明年油桃的产量为多少千克？13已知关于x的方程22(12)30xaxa-+-=有两个不相等的实数根，且关于x的方程22210xxa-+-=没有实数根，问：a取什么整数时，方程有整数解？