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1、弹塑性力学试题考试科目：弹塑性力学试题班号研班姓名成绩一、概念题1最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数知足已知位移边界条件。2最小余能原理等价于应变协调方程和位移边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先知足平衡微分方程和静力边界条件。3弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以应力为基本未知量。二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为：利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p作用，试求该问题的应力和位移分量的解。解：边界条件为：ar=
2、时：pr-=；0=rbr=时：0=ru；0=u。将上述边界条件代入公式得：解上述方程组得：则该问题的应力和位移分量的解分别为：三、已知弹性半平面的o点受集中力p利用上述解答求在弹性半平面上作用着n这些力到所设原点的距离分别为iy,y解：由题设条件知，第i个力ip在点x，y处产生的应力将为：故由叠加原理，n个集中力构成的力系在点x，y处产生的应力为：四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，弹簧系数为k,承受分布荷载)(xq作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。解：第一步：全梁总应变能为：dxdxwdEIwdvUlv202221?=外力
3、做功为：?=-=llxkwqwdxT02|21总势能为：lxllkwqwdxdxdxwdEITU=?+-?=-=|212122022第二步：由最小势能原理可知：0=等价于平衡微分方程和静力边界条件。lxllwkwwdxqdxdxwddxwdEI=?+-?=|022022*其中=?dxdxwddxwdEIl22022dxdxdwdxddxwdEIl?022将其代入*式并整理可得：由于当0=x时，0=dxdw，022=dxwd；所以平衡微分方程为：0)(2222=-?xqdxwdEIdxd0xly静力边界条件为：?=?=?-=002222lxlxdxwddxwdEIdxdkw五、已知空间球对称问题
4、的一般解为：BREAEBREAERBRAuTRR332)1(21)1(221+-=+-=+=其中R是坐标变量，Ru是径向位移，R,baqq,q时的解答。解：1相应空心球受均匀内外压baqq,时的边界条件为：aR=：aRq-=bR=：bRq-=将上述边界条件代入得：可解得：故空心球受均匀内外压baqq,时的解为：2当无限大体中有球形孔洞，半径为a，内壁受有均匀压力q时，即在上式中令qqa=、0=bq、b，则可得：六、已知推导以位移分量表示的平衡微分方程。解：由)(21,ijjiijuu+=得将上述两式代入ijijije2+=，得到代入0,=+ijijF得而jijkikijkjkuuu,=，ijj
5、jijuu,=故平衡方程可写成b由由于iiijjjijxeeuu?=,)()(；iijjijjiuuzyxuu2222222,)()(?=?+?+?=所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：0)(2=+?+?iiiFxeu。七、证实弹性力学功的互等定理用张量标记。证实：1先证可能功原理考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实际荷载和边界约束没有必然的联络。第一状态全用力学量()siF、()siP、()sij来描绘，它在域内知足平衡方程并在全部边界条件上知足力的边界条件：第二状态全用几何量()()kikiju,来描绘。它在域内知足几何方程且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处
6、的值。进而利用力的边界条件和高斯积分定理，可得利用平衡方程，式*右端第一项可化为第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成即式*成为式*即为可能功原理。2考虑同一物体的两种不同真实状态，设第一状态的体力和面力为()1iF和()1iP，相应的应力、应变状态为()()()111,iijiju；第二状态则为()2iF、()2iP和()()()222,iijiju。由于都是真实状态，所以两个状态都同时是静力可能状态和变形可能状态，且都知足广义虎克定律根据可能功原理令s=1、k=2有对于线弹性体，有弹性张量的对称性得即积分后ab两式的右端相等，相应地左端也应相等，故得到八、证实受均匀内压的厚壁球壳，当处于
7、塑性状态时，用Mises屈从条件或Tresca屈从条件计算将得到一样的结果。证实：1、厚壁球壳的弹性应力分布采用球坐标系平衡方程：02=-+rdrdrr几何方程：drdur=，ru=?物理方程：()()?+-+=+-+=rrrEE)21)(1(21)21)(1(022=+udtdudtdu，特征方程为：022=-+kk解得：?+-=?+-=331211221rBEAErBEAEr引入边界条件：1|parr-=，0|=brr可得：最大周向拉应力为：()pabba3333max22)(-+=2、塑性分析Mises屈从准则：()()()22132322212s=-+-+-Tresca屈从准则：?-sss133221在球坐标下，球对称厚壁球壳内部无剪应力，故r、?即为三个主应力，有对称性可知=?，代入两屈从准则便可得到一样的形式：sr-，故原结论得证。