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1、高中数学必修五学业质量标准检测学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只要一项是符合题目要求的)1在锐角三角形ABC中，已知A2C，则ac的范围是(C)A(0,2)B(2，2)C(2，3)D(3，2)解析acsinAsinCsin2CsinC2cosC，又ABC，A2C，63(396)99.5ABC的三边分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆的直径为(C)A43B5C52D62解析SABC12acsinB，c42.由余弦定理，得b2a2c22accosB25，b5.由正弦定理，得2RbsinB52
2、(R为ABC外接圆的半径)，故选C6已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和若S84S4，则a10(B)A172B192C10D12解析由题可知：等差数列an的公差d1，由于等差数列Sna1nn(n1)d2，且S84S4，代入计算可得a112；等差数列的通项公式为ana1(n1)d，则a1012(101)1192.故此题正确答案为B7在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且abc，a20，Abc，ABC又ABC，A3，故选C8已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a352，a2a454，则Snan(C)A4n1B4n1C2n1D2n1 解析设公比为q，则a1(1q2)52，
3、a2(1q2)54，q12，a114a152，a12.ana1qn12(12)n1，Sn21(12)n11241(12)n，Snan41(12)n2(12)n12(2n112)2n1.点评用一般解法解出a1、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求Snan，可简明解答如下：a2a4q(a1a3)，q12，Snana1(1qn)1qa1qn11qn(1q)qn1112n1212n12n1.9根据下边框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是(C)Aan2nBan2(n1)Can2nDan2n1解析由程序框图可知a12，a222，a323，an2n.10已知等比数列an中，an0，a5、a95
4、为方程x210x160的两根，则a20a50a80的值为(B)A32B64C256D64解析由条件知a5a9510，a5a9516，an是等比数列，a25016，an0，a504，a20a50a80a35064.11ABC中，AB12，ACB的平分线CD把ABC的面积分成32两部分，则cosA等于(C)A13B12C34D0解析CD为ACB的平分线，点D到AC与点D到BC的距离相等，ACD与BCD的高相等AB12，ACBCSACDSBCD32，ACBC32.由正弦定理，得sinBsinA32，又B2A，sin2AsinA32，2sinAcosAsinA32，cosA34.12若ABC的三边为a
5、，b，c，f(x)b2x2(b2c2a2)xc2，则函数f(x)的图象(B)A与x轴相切B在x轴上方C在x轴下方D与x轴交于两点解析函数f(x)相应方程的判别式(b2c2a2)24b2c2(2bccosA)24b2c24b2c2(cos2A1)0下一页S9919821291827.14三角形一边长14，它对的角为60，另两边之比为85，则此三角形面积为解析设另两边长为8x和5x，则cos6064x225x214280x2，x2，另两边长为16和10，此三角形面积S121610sin60403.15若数列an知足a12，an11an1，则a20211.解析a12，an11an1，a211a112
6、，a311a21，a411a32，a511a412，数列an的值呈周期出现，周期为3.a2021a31.16已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC解析由a2，(2b)(sinAsinB)(cb)sinC及正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)cb2c2a2bc，cosAb2c2a22bc12，A60.在ABC中，a2b2c22bccos60b2c2bc2bcbcbc，(等号在bc时成立)，bc4.SABC12bcsinA124323.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字讲明，证实经过或演算步骤)17
7、(此题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且知足acosBbcosA2ccosC(1)求C；(2)若ABC的面积为23，ab6，求ACB的角平分线CD的长度解析(1)已知acosBbcosA2ccosC，由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，所以sin(AB)2sinCcosC，即sinC2sinCcosC由于0(2)方法一：由已知，得S12absinC34ab23，所以ab8.又ab6，解得?a2b4，或?a4，b2.当?a2b4时，由余弦定理，得c24162241212，所以c23.所以b2a2c2，ABC为直角三角形，B2.由于CD平分
8、ACB，所以BCD6.在RtBCD中，CD2cos6433.当?a4b2时，同理可得CD2cos6433.方法二：在ABC中，由于CD平分ACB，所以ACDBCD6.由于SABCSACDSBCD，所以SABC12bCDsin612aCDsin612CDsin6(ab)14(ab)CD由于SABC23，ab6，即23146CD，解得CD433.18(此题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若m(cos2A2，1)，n(cos2(BC)，1)，且mn.(1)求角A；(2)当a6，且ABC的面积S知足3a2b2c24S时，求边c的值和ABC的面积解析(1)由于mn，所以co
9、s2(BC)cos2A2cos2Acos2A2cos2AcosA120，即2cos2AcosA10，(2cosA1)(coaA1)0.所以cosA12或cosA1(舍去)，即A120.(2)由3a2b2c24S及余弦定理，得tanC33，所以C30.又由正弦定理asinAcsinC，得c23.所以ABC的面积S12acsinB33.19(此题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn32an1(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2log3an21，求1b1b21b2b31bn1bn.解析(1)当n1时，a132a11，a12.Sn32an1，Sn132an11(n2)，得
10、an(32an1)(32an11)，即an3an1，数列an是首项为2，公比为3的等比数列，an23n1.(2)由(1)得bn2log3an212n1，1b1b21b2b31bn1bn1131351(2n3)(2n1)12(113)(1315)(12n312n1)n12n1.20(此题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开场算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解析购买时付款300
11、万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列an，故a110020000.01120(万元)，a2100(2000100)0.01119(万元)，a3100(20001002)0.01118(万元)，a4100(20001003)0.01117(万元)，an1002000100(n1)0.01121n(万元)(1n20，nN*)因而an是首项为120，公差为1的等差数列故a1012110111(万元)，a2012120101(万元)20次分期付款的总和为S20(a1a20)202(120101)2022210(万元)实际要付30022102510(万元)即分期
12、付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2510万元21(此题满分12分)在ABC中，若a2c2b2ac，log4sinAlog4sinC1，SABC3，求三边a，b，c的长及三个内角A，B，C的度数.解析由a2c2b2ac，得cosBa2c2b22ac12.0c时，由，得a62，c62.三边的长分别为a62，b23，c62.由正弦定理，得sinAa2R624sin105.A105，即C15.同理，当a解析(1)解法1：an1Sn1(nN*)，anSn11(n2)，an1anan，即an1(1)an(n2)，10，又a11，a2S111，数列an为以1为首项，公比为1的
13、等比数列，a3(1)2，4(1)1(1)23，整理得2210，得1an2n1，bn13(n1)3n2，解法2：a11，an1Sn1(nN*)，a2S111，a3S21(11)221，4(1)12213，整理得2210，得1an1Sn1(nN*)，anSn11(n2)an1anan，即an12an(n2)，又a11，a22，数列an为以1为首项，公比为2的等比数列，an2n1，bn13(n1)3n2.(2)anbn(3n2)2n1，Tn11421722(3n2)2n12Tn121422723(3n5)2n1(3n2)2n得Tn1132132232n1(3n2)2n132(12n1)12(3n2)2n整理得：Tn(3n5)2n5.