22二次函数的图象与性质.ppt

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1、二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质本课内容本节内容2.2板场中学 崔康说一说说一说 画二次函数画二次函数 的图象的图象.21=2yx列表列表：由于自变量：由于自变量x可以取任意实数，因此让可以取任意实数，因此让x取取 0 和一些负数，一些正数，并且算出相应和一些负数，一些正数，并且算出相应 的函数值，列成下表：的函数值，列成下表：x- -3- -2.5- -2- -1- -0.500.5122.534.53.12520.50.12500.125 0.523.125 4.521=2yx描点描点：在平面直角坐标系内，以：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐取的值为横坐 标，相应的函数值为纵坐

2、标标，相应的函数值为纵坐标.描出相应的点描出相应的点. 如图如图2-3的的( (1).).观察和分析观察和分析：从图：从图2-3的的( (1) )看出，点看出，点A和点和点A，点，点 B和点和点B，它们有什么关系？，它们有什么关系？ABAB 点点A和点和点A关于关于y轴对称，点轴对称，点B和点和点B也是也是 由此你能作出什么猜测？由此你能作出什么猜测？ 我猜测我猜测 的图象关于的图象关于y轴对称轴对称.21=2yx 从图从图2-3的的( (1) )还可看出，还可看出，y轴右边描出的轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？纵坐标随着增大纵坐标随着增

3、大.我猜想都有这一性质我猜想都有这一性质. 的图象在的图象在y轴右边的所有点都具有轴右边的所有点都具有这样的性质吗？这样的性质吗？21=2yx 可以证明上述两个猜测都是正确的，即可以证明上述两个猜测都是正确的，即 的图象关于的图象关于y轴对称；图象在轴对称；图象在y轴右边的轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为简称为“右升右升”.”.21=2yx连线连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把 原点和原点和y轴右边各点顺次连接起来；轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在然后利用对称性，画出图

4、象在y轴左边的部分轴左边的部分( (把把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来顺次连接起来) )，这样就得到了，这样就得到了 的图象的图象. 如图如图2-3的的( (2) ).21=2yx观察观察 我们已经正确地画出了我们已经正确地画出了 的图象，因的图象，因此，现在可以从图象此，现在可以从图象( (见图见图2-3的的( (2)看出看出 的其他一些性质的其他一些性质( (除了上面已经知道的关于除了上面已经知道的关于y轴轴对称和对称和“右升右升”外外) )：21=2yx21=2yx对称轴与图象的交点是对称轴与图象的交点是 ；图象的开口向图象的开口向 ；

5、图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而值的增大而 ， 简称为简称为“左降左降”；当当x= 时，函数值最时，函数值最 .O( (0，0) )上上减小减小0小小 类似地，当类似地，当a0时，时，y=ax2的图象也具有上的图象也具有上述性质述性质. 于是我们在画于是我们在画y=ax2( (a0) )的图象时，可以的图象时，可以先画出图象在先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在画出图象在y轴左边的部分轴左边的部分. 在画右边部分时，只要在画右边部分时，只要“列表、描点、连线列表、描点、连线”三个步骤就可以

6、了三个步骤就可以了( (因为我们知道了图象的性质因为我们知道了图象的性质).).例例1 画二次函数画二次函数y=x2的图象的图象.举举例例解解 列表列表：x00.511.523y = x200.2512.2549描点和连线描点和连线：画出图象在：画出图象在y轴右边的部分轴右边的部分. 如图如图 利用对称性，画出图象在利用对称性，画出图象在y轴左边的部分轴左边的部分.这样我们得到了这样我们得到了y=x2的图象的图象.如图如图1. 二次函数二次函数y=6x2的性质有：的性质有：练习练习（1）对称轴是）对称轴是 ；（2）图象的开口向）图象的开口向 ；（3）图象在对称轴右边的部分，函数值随自变）图象在

7、对称轴右边的部分，函数值随自变 量取值的增大而量取值的增大而 ；在对称轴；在对称轴 左边的部分，函数值随自变量取值的增大左边的部分，函数值随自变量取值的增大 而而 .x = 0上上增大增大减小减小2. 在同一直角坐标系中画出二次函数在同一直角坐标系中画出二次函数y=2x2 及及 的图象的图象.21=4yx3. 比较函数比较函数y=2x2的图象与的图象与 的图象，的图象， 有什么共同点和不同点？有什么共同点和不同点？ 21=4yx答：对称轴相同，均为答：对称轴相同，均为x=0；图象的开口；图象的开口 方向均向上；函数方向均向上；函数y=2x2的图象的开口的图象的开口 比比 的开口窄；有相同的增、

8、减的开口窄；有相同的增、减 性性.21=4yx探究探究 我们已经画出了我们已经画出了 的图象，能不能从它的图象，能不能从它得出二次函数得出二次函数 的图象呢？的图象呢？21=2yx21=2yx- - 在在 的图象上任取一点的图象上任取一点 ，它关，它关于于x轴的对称点轴的对称点Q的坐标是的坐标是 ，如图，如图2-5所所示示.21=2yx212P a a, ,212a a- -, , 从点从点Q的坐标看出，点的坐标看出，点Q在在 的图象上的图象上.21=2yx- -图图2-5 由此可知，由此可知， 的图象与的图象与 的图象的图象关于关于x轴对称，因此只要把轴对称，因此只要把 的图象沿着的图象沿着

9、x轴轴翻折并将图象翻折并将图象“复印复印”下来，就得到下来，就得到 的的图象图象. 如图如图2-5.21=2yx- -21=2yx21=2yx21=2yx- -观察观察 我们已经正确地画出了我们已经正确地画出了 的图象，的图象，因此现在可以从图象因此现在可以从图象( (见图见图2-5) )看出看出 的性质：的性质：21=2yx- -21=2yx- -对称轴是对称轴是 ，对称轴与图象的交点是对称轴与图象的交点是 ；图象的开口向图象的开口向 ；y 轴轴O( (0，0) )下下 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而取值的增大而 ，简称为右，简称为右

10、 ； 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而取值的增大而 ，简称为左，简称为左 ；当当x= 时，函数值最时，函数值最 .减小减小降降增大增大升升0大大 当当a0时，时，y=ax2的图象也具有上述性质的图象也具有上述性质. 于是今后画于是今后画y=ax2( (a0) )的图象时，可以直的图象时，可以直接先画出图象在接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在性，画出图象在y轴左边的部分轴左边的部分. 在画右边部分时，只要在画右边部分时，只要“列表、描点、连线列表、描点、连线”三个步骤就可以了三个步骤就可以了.

11、举举例例解解 列表列表：x012340- -1- -4例例2 画二次函数画二次函数 的图象的图象. 21=4yx- -21=4yx- -14- -94- -描点和连线描点和连线：画出图象在画出图象在y轴右边的部分轴右边的部分. 利用对称性画出利用对称性画出y轴左边的部分轴左边的部分.这样我们得到了这样我们得到了 的图象的图象.21=4yx- -说一说说一说 观察图观察图2-6， 的图象跟实际生活中的的图象跟实际生活中的什么相像？什么相像？21=4yx- -图图2-6 的图象很像掷铅球时，铅球在空中的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线经过的路线.21=4yx- - 以铅球在空中经过的路线的最

12、高点为原点建以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，立直角坐标系，x轴的正向水平向右，轴的正向水平向右，y轴的正向轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为形式为y=ax2( (a0) )的图象的一段，由此受到启的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述概念：发，我们引进下述概念： 一般地，二次函数一般地，二次函数y=ax2的图象叫做的图象叫做抛物线抛物线. 二次函数二次函数y=ax2的图象关于的图象关于y轴对称轴对称. 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点顶点. 抛物线抛物线y=ax2的

13、顶点是原点的顶点是原点.1. 画出二次函数画出二次函数y=- -x2 的图象的图象.练习练习2. 二次函数二次函数y=- -10 x2的性质有：的性质有：（1）对称轴是）对称轴是 ，顶点是，顶点是 ；（2）图象的开口向）图象的开口向 ；（3）抛物线在对称轴右边的部分，函数值随抛物线在对称轴右边的部分，函数值随 自变量取值的增大而自变量取值的增大而 ； 在对称轴左边的部分，函数值随自变量在对称轴左边的部分，函数值随自变量 取值的增大而取值的增大而 .y轴轴原点原点O( (0，0) )下下减小减小增大增大3. 在同一直角坐标系中，分别画出函数在同一直角坐标系中，分别画出函数 y=- -0.3x2与

14、与y=- -8x2的图象，并分别说出的图象，并分别说出 它们的共同点和不同点它们的共同点和不同点.探究探究 把二次函数把二次函数 的图象的图象E向右平移向右平移1个个单位，得到图形单位，得到图形F，如图，如图2-7.21=2yxl图图2-7 由于平移不改变图形的形状和大小，因此由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向右平移在向右平移1个单位后：个单位后：原原 象象象象抛物线抛物线E： 图象图象F也是抛物线也是抛物线E的顶点的顶点O( (0，0) )点点 O( (1，0) )是是F的顶点的顶点E有对称轴有对称轴l( (与与y轴轴重合重合) )直线直线l( (过点过点O与与y轴平行轴平行) )是是

15、F的对的对称轴称轴E开口向上开口向上F也开口向上也开口向上21=2yx 抛物线抛物线F是哪个函数的图象呢？是哪个函数的图象呢？ 在抛物线在抛物线 上任取一点上任取一点 ，它在，它在向右移向右移1个单位后，个单位后，P的象点的象点Q的坐标是什么？的坐标是什么？21=2yx212P a a, , 把点把点P的横坐标的横坐标a加上加上1，纵坐标纵坐标 不变，即象点不变，即象点Q的坐的坐标为标为 .212a21+1 2aa, , 记记b=a+1，则，则a=b- -1. 从而点从而点Q的坐标为的坐标为 ，这表明：点这表明：点Q在函数在函数 的图象上的图象上.2112b b, (), ()- -21=12

16、yx()()- -由此得出，抛物线由此得出，抛物线F是函数是函数 的图象的图象.21=12yx()()- - 这样我们证明了：函数这样我们证明了：函数 的图象是的图象是抛物线抛物线F，它的顶点是，它的顶点是 ，它的对称轴是，它的对称轴是过点过点 且平行于且平行于y轴的直线轴的直线l. 21=12yx()()- - 1 0 O( , )( , ) 1 0 O( , )( , ) 直线直线l是由横坐标为是由横坐标为1的所有点组成的，我的所有点组成的，我们把直线们把直线l记做直线记做直线 x=1. 抛物线抛物线 的开的开口向上口向上.21=12yx()()- -结论结论 函数函数y=a( (x- -

17、h) )2的图象是抛物线，它的对的图象是抛物线，它的对称轴是直线称轴是直线x=h，它的顶点坐标是，它的顶点坐标是( (h，0) ). 当当a0时，时， 抛物线的开口向上；抛物线的开口向上； 当当a0时，开口向下时，开口向下. 由于我们已经知道了函数由于我们已经知道了函数y=a( (x- -h) )2的图象的的图象的性质，因此今后在画性质，因此今后在画y=a( (x- -h) )2的图象时，只要先的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分利用对称性，画出左边的部分. 在画图象的右边部分时，只需要在画图象的右边部分

18、时，只需要“列表，描列表，描点，连线点，连线”三个步骤就可以了三个步骤就可以了.举举例例解解 抛物线抛物线y=( (x- -2) )2的对称轴是的对称轴是x=2， 顶点坐标是顶点坐标是( (2，0) ). x22.5345y=( (x- -2) )200.25149例例3 画函数画函数y=( (x- -2) )2的图象的图象. 列表列表：描点和连线描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:这样我们得到了函数这样我们得到了函数y=( (x- -2) )2 的图象的图象.练习练习1. 分别画出二次函数

19、分别画出二次函数 y=- -( (x- -1) )2， 的图象的图象.21=+12()()yx2. 填空：填空：（2）y=- -3( (x+2) )2的对称轴是的对称轴是 ， 顶点是顶点是 .（1） 的对称轴是的对称轴是 ， 顶点是顶点是 ；21=53yx- -()()x = 5( (5，0) )x=- -2( (- -2，0) )探究探究 如何画二次函数如何画二次函数 的图象？的图象？+21=132()()yx- - 我们来探究二次函数我们来探究二次函数 与与 之间的关系之间的关系.21=1 +32()()yx- -21=12()()yx- -二次函数二次函数图象上的点图象上的点横坐标横坐标

20、纵坐标纵坐标aa21=12()()yx- -21=1 +32()()yx- -2112()()a- -211 +32()()a- - 从此表看出：把二次函数从此表看出：把二次函数 的图象的图象向上平移向上平移3个单位，就得到函数个单位，就得到函数 +3 +3的的图象图象.21=12()()yx- - 二次函数二次函数图象上的点图象上的点横坐标横坐标纵坐标纵坐标aa21=12()()yx- -2+1=132()()yx- -2112()()a- -2+1132a()()- -21=12()()yx- -二次函数二次函数图象上的点图象上的点横坐标横坐标纵坐标纵坐标aa21=12()()yx- -2

21、1=1+32()()yx- -2112()()a- -211+32()()a- - 因此，二次函数因此，二次函数 的图象也是抛物的图象也是抛物线，它的对称轴为直线线，它的对称轴为直线x=1( (与抛物线与抛物线 的的对称轴一样对称轴一样) )，顶点坐标为，顶点坐标为( (1，3)()(它是由抛物线它是由抛物线 的顶点的顶点( (1 ，0) )向上平移向上平移3个单位得到个单位得到) )，它的开口向上它的开口向上.21=1 +32()()yx- -21=12()()yx- -21=12()()yx- -结论结论 函数函数y=a( (x- -h) )2+k的图象是抛物线，它的对的图象是抛物线，它的

22、对称轴是直线称轴是直线x=h，它的顶点坐标是，它的顶点坐标是( (h，k) ). 当当a0时，抛物线的开口向上；时，抛物线的开口向上； 当当a0时，开口向下时，开口向下. 由于我们已经知道了函数由于我们已经知道了函数y=a( (x- -h) )2+k的的图象的性质，因此画图象的性质，因此画y=a( (x- -h) )2+k的图象的步的图象的步骤如下：骤如下：第一步第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平写出对称轴和顶点坐标，并且在平 面直角坐标系内画出对称轴，描出面直角坐标系内画出对称轴，描出 顶点；顶点；第二步第二步 列表列表( (自变量自变量x从顶点的横坐标开始取值从顶点的横坐标开始取值)

23、)， 描点和连线，画出图象在对称轴右边的部描点和连线，画出图象在对称轴右边的部 分；分；第三步第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部利用对称性，画出图象在对称轴左边的部 分分( (这只要先把对称轴左边的对应点描出这只要先把对称轴左边的对应点描出 来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和 顶点顶点).).举举例例解解 对称轴是直线对称轴是直线x=- -1，顶点坐标为，顶点坐标为( (- -1，- -3) ).x- -10123- -3- -2.5- -11.55列表列表：自变量自变量x从顶点的横坐标从顶点的横坐标- -1开始取值开始取值.例例4 画二次函数画

24、二次函数 的图象的图象. 21=+132yx- -()()21=+132yx- -()()描点和连线：描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样我们得到了函数这样我们得到了函数 的图象的图象.21=+132yx- -()()练习练习1. 画二次函数画二次函数 的图象的图象. 21=1 +32yx-()()2. 说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点 坐标和开口方向：坐标和开口方向：22 1 =9 +75（ ）()()；yx- -21 2 =+1813.3

25、yx（ ）()()-答：对称轴：答：对称轴：x=9，顶点，顶点( (9，7) )，开口向上，开口向上.答：对称轴：答：对称轴：x=- -18， 顶点顶点( (- -18，- -13) )，开口向下，开口向下.如何画二次函数如何画二次函数y=- -2x2+6x- -1 的图象？的图象？动脑筋动脑筋 把把- -2x2+6x- -1配方成配方成- -2( (x-h) )2+k，我们会画，我们会画y=- -2( (x-h) )2+k的图象的图象.举举例例解解配方：配方：例例5 画二次函数画二次函数y=- -2x2+6x- -1的图象的图象. 2= 2+61y xx-2= 231xx-()()22233

26、= 2 3 +122xx- - -239= 2 +2124x- 237= 2 + .22x-x233- -1对称轴是直线对称轴是直线 ，顶点坐标是，顶点坐标是 .3=2x3722 , ,列表：列表：自变量自变量x从顶点的横坐标从顶点的横坐标 开始取值开始取值.32237= 2 +22yx-325272723292- -描点和连线：描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.这样就得到了函数这样就得到了函数y=- -2x2+6x- -1的图象的图象. 从图从图2-10看出，当看出，当x等于多少时，

27、函数等于多少时，函数y=- -2x2+6x- -1的值最大？这个最大值是多少？的值最大？这个最大值是多少？说一说说一说图图2-10 当当x等于顶点的横坐等于顶点的横坐标标 时，函数值最大；这时，函数值最大；这个最大值等于顶点的纵坐个最大值等于顶点的纵坐标标 .3272 从图从图2-9看出，二次函数看出，二次函数 ，当当x等于多少时，函数值最小？这个最小值等等于多少时，函数值最小？这个最小值等于多少？于多少？21=+132yx- -()()图图2-9一般地，有下述结论：一般地，有下述结论： 二次函数二次函数y=ax2+bx+c，当，当x等于顶点的等于顶点的横坐标时，达到最大值横坐标时，达到最大值

28、( (当当a0) )或最小值或最小值 ( (当当a0) )，这个最大，这个最大( (小小) )值等于顶点的纵值等于顶点的纵坐标坐标.举举例例解解配方：配方：21= +212y xx-例例6 求函数求函数 的最大值的最大值. 21=+212yxx-2221= 4 +2212xx()()-211= 2 +4 122()()-x21= 2 +1.2x-()()顶点坐标是顶点坐标是( (2，1) )，于是当，于是当x=2时，时，y达到最大值达到最大值1.配方：配方：2= +y axbx c一般地，对于二次函数一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，222= +22bbba xxcaaa- -222=

29、 + +24bba xacaa- -224= + .24bac ba xaa- -顶点坐标是顶点坐标是 2424bac baa- - - , ,因此，当因此，当 时，函数达到最大值时，函数达到最大值( (当当a0) )或最小值或最小值( (当当a0) )：=2bxa- -24.4ac ba- -练习练习1. 画二次函数画二次函数y=x2- -2x- -1的图象的图象.2. 求下列二次函数的图象的顶点坐标：求下列二次函数的图象的顶点坐标：（1） y=x2- -3x+2；（2） y=- -2x2- -8x- -3.答：答：y= - -2( (x+2) )2+5 顶点顶点( (- -2，5) ).3

30、124- - , , 答：答： 顶点顶点 .23124y = x ()()-3. 用配方法求第用配方法求第2题中各个二次函数的最大题中各个二次函数的最大 值或最小值值或最小值.2.（1） y=x2- -3x+2；（2） y=- -2x2- -8x- -3.答：答：y= - -2( (x+2) )2+5 当当x=- -2时，时，y最大最大=5.32x=.14- -答：答： 当当 时，时，y最小最小=23124y = x ()()-中考中考 试题试题例例1 把抛物线把抛物线y=- -x2向左平移向左平移1个单位，然后向上平个单位，然后向上平移移3个单位，则平移后抛物线的解析式为个单位，则平移后抛物

31、线的解析式为 （ ） A. y=- -( (x- -1) )2- -3 B. y=- -( (x+1) )2- -3 C. y=- -( (x- -1) )2+3 D. y=- -( (x+1) )2+3D解析解析 抛物线抛物线y=- -x2的顶点的顶点( (0，0) )先向左平移先向左平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移3个单位得到个单位得到( (- -1，3) )，该点为所求抛物线的顶点，故选该点为所求抛物线的顶点，故选D. .中考中考 试题试题例例2 抛物线抛物线y=x2- -3x+2与与y轴交点的坐标是（轴交点的坐标是（ ） A. ( (0，2) ) B. ( (1，0) ) C. ( (0，-3) ) D. ( (0，0) )A解析解析 当当x=0时，时，y=2，所以抛物线与，所以抛物线与y轴的交点坐标是轴的交点坐标是( (0，2) )，故选，故选A. .中考中考 试题试题例例3 把抛物线把抛物线y=2x2向上平移向上平移5个单位，所得抛个单位，所得抛物线的解析式为（物线的解析式为（ ） A. y=2x2+5 B. y=2x2- -5 C. y=2( (x+5) )2 D. y=2( (x- -5) )2A解析解析 y=2x2向上平移向上平移5个单位，则解析个单位，则解析式为式为y=2x2+5，故选，故选A. .结结 束束