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1、高考数学温习竞赛讲座判别式与韦达定理2020高考数学温习竞赛讲座判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，可以以将一些外表上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1判别式的应用例11987年武汉等四市联赛题已知实数a、b、c、R、P知足条件PR1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证实=2b2-4ac.若一元二次方程有实根，必须证0.由已知条件有2b=-Pc+Ra，代入，得=Pc+Ra2-4ac=Pc2+2PcRa+Ra2-4ac=Pc-Ra2+4acPR-1.Pc-Ra20，又PR1
2、，a0，1当ac0时，有0；2当ac0时，有=2b2-4ac0.1、2证实了0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例21985年宁波初中数学竞赛题如图21-1，k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,xa，且OP2=kPAOA.1k为何值时，x有两个解x1，x2设x1x2；此处无图2若k1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“连接.解1由已知可得x2=ka-xa，即x2+kax-ka2=0，当判别式0时有两解，这时=k2a2+4ka2=a2kk+40.a0，kk+40，故k-4或k0.2x10x2a.例31982年湖北初中
3、数学竞赛题证实不可能分解为两个一次因式之积.分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证实将此式看作关于x的二次三项式，则判别式=显然不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积.例31957年北京中学生数学竞赛题已知x，y，z是实数，且x+y+z=a，求证：0x0y0z分析将代入可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论.证实由得z=a-x-y，代入整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有=16x-a2-164x2-4ax+a200x同理可证：0y，0z.例5设a1，a2，a3，b是知足不等式a1+a2+a322+4b的实数.求证
4、：a1a2+a2a3+a3a13b.证实由已知可得0.设则a3是实数，故0，即有a1+a22-2a1a2+4b+r2-a1+a22+4b.于是a1+a22+2b，a1a2b.同理有a2a3b，a3a1b.三式相加即得a1a2+a2a3+a3a13b.例6设a、b、c为实数，方程组与均无实数根.求证:对于一切实数x都有证实由已知条件能够推出a0，由于若a=0，则方程组至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=x无实根，因而判别式=0，于是b-12+b+1-8ac0.即4ac-b21.2韦达定理的应用例71899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题假设x1、x2是方程x2-a+dx+ad-bc=
5、0的根.证实这时是方程的根.证实由已知条件得=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0，a2x2+b2x+c2=0，都有两个实数根，求证：1这两个实数根都是负值；2方程a1a2x2+b1b2x+c1c2=0也有两个负根.证实方程有两个实数根，0.同理0.又a1、b1、c1都是正数，0，0.由此可知方程的两根是负值.同样可证方程的两根也是负值.显然a1c14a1c1代入，得0，由0，得=0，方程也有两个实数根.又a1a20，b1b20，c1c20，0，0.由此可知方程的两个根也是负值.例91983年上海初中数学竞
6、赛题对自然数n，作x的二次方程x2+2n+1x+n2=0，使它的根为n和n.求下式的值：+解由韦达定理得=而=n3，原式=+=例101989年全国初中联赛试题首项不相等的两个二次方程a-1x2-a2+2x+a2+2a=0及b-1x2-b2+2x+b2+2b=0其中a，b为正整数有一公共根，求的值.解由题得知，a，b为大于1的整数，且ab.设x0是方程的公共根，则x01，否则将x=1代入得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得及所以a，b是关于t的方程相异的两根，因而于是ab-a+b=2，即a-1b-1=3.由或解得或例11仿1986年全国高中联赛题设实数a，b，c知足求证:1a9.证实由得
7、bc=a2-8a+7.-得b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有0，即0，即a-1a-90，1a9.例121933年福建初中数学竞赛题求证：对任一矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数kk1.分析设矩形A及B的长度分别是a，b及x，y，为证实知足条件的矩形B存在，只须证实方程组k，a，b为已知数有正整数解即可.再由韦达定理，其解x，y能够看作是二次方程z2-ka+bz+kab=0的两根.k1，故判别式=k2a+b2-4kabk2a+b2-4k2ab=k2a-b20，上述二次方程有两实根z1，z2.又z1+z2=ka+b0，z1z2=kab0，进而，z
8、10，z20，即方程组恒有x0，y0的解，所以矩形B总是存在的.练习二十一1填空题1设方程的两根为m，nmn，则代数式的值是_;2若r和s是方程x2-px+q=0的两非零根,则以r2+和为根的方程是_;3已知方程x2-8x+15=0的两根能够写成a2+b2与a-b,其中a与b是方程x2+px+q=0的两根,那么|p|-q=_.2.选择题(1)若p,q都是自然数,方程px2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p2+q的值等于().(A)404(B)1998(C)414(D)1996(2)方程的较大根为r,的较小根为s,则r-s等于().(A)(B)1985(C)(D)(3)x2+px+q2
9、=0(p0)的两个根为相等的实数，则x2-qx+p2=0的两个根必为.(A)非实数(B)相等两实数(C)非实数或相等两实数(D)实数4假如关于方程mx2-2m+2x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程m-5x2-2m+2x+m=0的实根个数为(A)2(B)1(C)0(D)不确定31983年杭州竞赛设a10，方程a1x2+b2x+c1=0的两个根是1-a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的两个根是和；a1x2+b1x+c1=0的两根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.4.常数a是知足1a50的自然数.若关于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的两根都是自然数,试求a的值.
10、5.设x2、x2为正系数方程ax2+bx+c=0的两根，x1+x2=m，x1x2=n2，且m，n.求证:(1)假如mn，那么方程有不等的实数根；(2)假如mn，那么方程没有实数根.6求作一个以两正数，为根的二次方程，并设，知足71987年全国初中竞赛题当a，b为何值时，方程x2+1+ax+3a2+4ab+4b2+2=0有实根？81985年苏州初中数学竞赛题试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值.9第20届全苏中学生数学竞赛题方程x2+ax+1=b的根是自然数，证实a2+b2是合数.101972年加拿大试题不用辅助工具解答：1证知足的根在和197.99494949间；2同1证1.41421356.练习二十一1.(1)(2)(3)3.2.CBA.3.4.x=a+2由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5.略6.3x2-7x+2=0.7.由于方程有实根,所以判别式8.设1986=4k+2(其中k是自然数).令=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因此b也能被2整除.取b2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.10.由，可得x2-198x+1=0,其根