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1、数学建模习题和答案解析课后习题第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：1按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。22.1节中的Q值方法。3dHondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个10为席位数，在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。假如委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分
2、配的结果列表比拟。4你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比方洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。1分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与外表积成正比，还有与w无关的因素。2给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，讲明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算根据放生的鱼的重量给予奖励
3、，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计根据测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大如图。若知道管道长度，需用多长布条可考虑两端的影响。假如管道是其他形状呢。5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。7.举重比赛根据运发动的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下
4、面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。第一部分课后习题答案2.1生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与外表积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又由于形状一定时一般有3/2ws，故商品的价格可表为+=3/2wwC,为大于0的常数。2单位重量价格13/1-+=wwwCc，其简图如下：显然c是w的减函数，讲明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，讲明单价的减少值随着包装的变大是逐步降低的，不要追求太大包装的商品。3.对于同一种鱼不妨以为其整体形状是类似的，密度也大体上一样，所以重量w与身长l的立方成正比，即31lkw=，1k为比例系
5、数。常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，由于它对肥鱼和瘦鱼同等看待。假如只假定鱼的横截面积是类似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是ldkw22=，2k为比例系数。利用数据估计模型中的系数可得1k=0.014，2k=0.0322，将实际数据与模型结果比拟如下表：基本上满意。4.将管道展开如图：可得cosdw=，若d一定，w趋于0，趋于/2；w趋于d，趋于0。若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为dl/w，若考虑两端影响，则应加上dw/sin。对于其它形状管道，只需将d改为相应的周长即可。5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；能够准确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之
6、间均可相切。方案一：圆盘中心按正方形排列，如下列图1，圆盘总数为1N=a/2b/2方案二：圆盘中心按六角形排列，如下列图2，行数m知足2+m-13a，于是m=132+?-a图1图2列数按图2第1行计数n知足：若b为奇数，则各行圆盘数一样为b-1/2；若b为偶数，则奇数行圆盘数为b/2，偶数行圆盘数为b/2-1。圆盘总数为?+-=)2(2/12/)1()1(2/)1(2bmbmN其中1为：m为偶数。2为：m为奇数，b为偶数。两个方案的比拟见下表(表中数字为1N/2N)：当a，b较大时，方案二优于方案一。其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。6.假设处
7、于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的外表积散失，对于一种动物其外表积S与某特征尺寸l之间的关系是2lS，所以饲养食物量2lw。7.假设举重比赛成绩y与运发动肌肉的截面积s成正比，而截面积2lsl是某特征尺寸，体重3lw，于是3/2wy。用举重总成绩检验这个模型，结果如下列图3；假如用举重总成绩拟合wy，可得=0.57，结果如下列图4。图3图4第二部分课后习题1.Malthus模型预测的优缺点。2.阻滞增长模型预测的优缺点。3.简述动态模型和微分方程建模。4.根据你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。5.叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种
8、群的增长规律。6.试比拟连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。第二部分课后习题答案1.优点:短期预报比拟准确;缺点:不合适中长期预报;原因:预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。2.优点:中期预报比拟准确;缺点:理论上很好，实用性不强;原因:预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。3.动态模型:描绘对象特征随时间(空间)的演变经过,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的将来性态,研究控制对象特征的手段；微分方程建模:模根据函数及
9、其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,根据内在规律或用类比法建立微分方程。4.描绘传染病的传播经过,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,根据传播经过的一般规律，用机理分析方法建立模型。5.不同年龄组的繁衍率和死亡率不同,以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1),是一种差分方程模型。6.连续形式:()yt表示某种群t时刻的数量(人口)d(1)dmyyrytN=-离散形式:ny表示某种群第n代的数量(人口)1(1),1,2,nnnnmyyyrynN+-=-=若nmyN=,则12,nnmyyN+=,*myN=是平衡点;1(1)nnnn
10、myyyryN+-=-的平衡点为*myN=.1(1)1(1)nnnmryryyrN+?=+-?+?的平衡点为*111rxrb=-+,其中1,/(1),()(1)nnmbrxryrNfxbxx=+=+=-,此时的差分方程变为1(1)()1,2,nnnnxbxxfxn+=-=.由()(1)xfxbxx=-可得平衡点*11,0xxb=-=.在平衡点*0x=处,由于(0)1fb=,因而,*0x=不稳定.在在平衡点*11xb=-处,因*()(12)2fxbxb=-=-,所以(i)*()13fxb?当3b时,平衡点*11xb=-不稳定;(ii)*()1fx?=+-+=0,12432085862.753ma
11、x12121321321321xxxxxxxxxxtsxxxf?=),2,1(0),2,1(.max)2(11njxmibxatsxcfjnjijijnjjj),2,1;,2,1(.,min321212mjmicyxtsybxafijiinjjjmiii=+=2.将下述线性规划问题化为标准形式。?-=-+-+-+=取值无约束321321321321321,62,063244239232min1xxxxxxxxxxxxxxxZ?+-=无约束yxxyxyxZ,32|max2?-+-=+-+-=无约束321321321321,0,064.22min3xxxxxxxxxtsxxxf?+-=+-+=无约
12、束423143132143214321,0,0,12285327.32max4xxxxxxxxxxxxxxtsxxxxf3.用单纯形法求解线性规划问题。?+=0,18231224.52max21212121xxxxxxtsxxf4.检验函数212212)1()(100)(xxxxf-+-=在Tx)1,1(*=处有*,0Gg=正定，进而*x为极小点。证实G为奇异当且仅当005.0212=-xx，进而证实对所有知足0025.0)(4332min3321+-+-=xxxxz?=+=-+=-+=+-+0,423324222372.65433216233215332143321xxxxxxxxxxxxx
13、xxxxxxxxxxts2令?3.答案：在上述问题的约束条件中参加松弛变量543,xxx，将原问题化成标准形式如下：?=+=+=+-=-=0,18231224.52min521521423121xxxxxxxxxxtsxxff其现成可行基),(543对应的单纯形表如下：换基迭代，得故最优解为TX)0,0,2,6,2(*=，目的函数的最优值为34*=f.4.证实：?-+-=)(20022400400)(21213121xxxxxxxg，?-+-=20040040021200400)(11212xxxxxG，经检验，?-=200400400802)(,0)(*xGxg正定，)(xG奇异当且仅当,0)(=xG即005.0212=-xx。若?+-+-04008000080000021200400221212xxxx，即0005.0221+-xx时，)(xG正定，所以若,0025.0) (