《完整版数学模型第二章习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版数学模型第二章习题答案.docx（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、完整版数学模型第二章习题答案.doc15速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v、S、的关系.解:设P、v、S、的关系为f(P,v,s,)0，其量纲表达式为:P=ML2T3,v=LT1,s=L2,=ML3,这里L,M,T是基本量纲.量纲矩阵为：2123(L)A=1001(M)31(T)(P)(v)(s)(齐次线性方程组为：2y1y22y33y4y1y403y1y2它的基本解为y(1,3,1,1)由量纲Pi定理得P1v3s11，Pv3s11，其中是无量纲常数.16雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流
2、体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,g的关系为f(v,g)=0.其量纲表达式为v=LM0T-1，=L-3MT0，-2-1L-1-1-2-2-2-1-10-2,其中L，M，T是基本量纲.=MLTLTL=MLLTT=LMT，g=LMT量纲矩阵为1311(L)A=0110(M)1012(T)(v)()()(g)齐次线性方程组Ay=0，即y1-3y2-y3y40y2y3-y1-y3-2y4的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲Pi定理得v31g.v3g，其中是无量纲常数.16*雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重
3、力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,，g的关系为f(v,g)0.其量纲表达式为v=LM0T-1，=L-3MT0，其中L，M，T是基本量纲量纲矩阵为-2-1-1-1-2-2-2-1-1，=LM0T00-2=MLTLTLL=MLLTT=LMT，g=LMT.11311(L)A=00110(M)112(T)(v)()()()(g)齐次线性方程组Ay=0即y1y23y3y4y50y3y4y1y42y5的基本解为y1(1,11)2,0,0,2y2(0,312,1,1,)2得到两个互
4、相独立的无量纲量1v1/2g1/223/21g1/2即vg1,3/2g1/211(1,2)0,得1(21)2.由g(3/2g1/21),其中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即如何由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)其量纲表达式为：tL0M0T,lLM0T0,mL0MT0,gLM0T2,kfv1MLT2(LT1)1L0MT1，其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为01010(L)00101(M)A=0021(T)
5、1(t)(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组y2y40y3y5y12y4y5的基本解为Y1(1,1,0,1,0)22Y2(0,1,1,1,1)22得到两个互相独立的无量纲量tl1/2g1/21l1/2m1g1/2k2tl1,1(2),2kl1/2gmg1/2tl(kl1/2)，其中是未定函数.gmg1/2考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,t；l,l;m,m.又tl(kl1/2)gmg1/2当无量纲量ml时，就有tlgl.mltgll三2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr在每个生产周期内，开场的一段时间0tT
6、0一边生产一边销售，后来的一段时间(T0tT)只销售不生产，画出储存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品储存费为c2，以总费用最小为目的确定最优生产周期，讨论kr和kr的情况.解：由题意可得储存量g(t)的图形如下：gg(t)krrOT0TtnT(kr)T0T储存费为c2limg(i)tic20g(t)dtc22t0i1又(kr)T0r(TT0)T0rT,储存费变为c2r(kr)TTk2k于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用单位时间内为C(T)c1c2r(kr)T2c1c2r(kr)TT2kTT2kdCc1c2r(kr)dTT22k.令dC0,得T2c1kdTc2r(
7、kr)易得函数C(T)在T处获得最小值，即最优周期为：2c1kTc2r(kr)当kr时，T2c1.相当于不考虑生产的情况.c2r当kr时，T.此时产量与销量相抵消，无法构成储存量.3在3.3节森林救火模型中，假如考虑消防队员的灭火速度与开场救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度将减小，我们作如下假设:k，(b)b1总费用函数c1t12c12t12(b1)c2t1x(b1)Cx2(kxb)kxbc3x2最优解为c1kb22c2b(b1)(b1)(b1)x2c3k2k1.对于5.1节传染病的SIR模型，证实：1若s01,则
8、i(t)先增加，在s1处最大，然后减少并趋于零；s(t)单调减少至s.2若s01,则i(t)单调减少并趋于零，解：传染病的SIR模型14可写成dii(s1)dtdssidt由ds知ds单调减少.si,0.s(t)dtdts(t)单调减少至s.而s(t)0.lims(t)s存在.t故s(t)单调减少至s.1若s01.由s(t)单调减少.s(t)s0.当1ss0时,s10.di0,i(t)单调增加;dt当s1时,s10.di0,i(t)单调减少.dt又由书上(18)式知i0.即limi(t)0.t当s1时,di0.i(t)到达最大值im.dt2若s01,则st1,进而s-10.di0.dtit单调
9、减少且limit0.即i0.t4在5.3节正规战争模型3中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a4.b初始兵力x0与y0一样.(2)若甲方在战斗开场后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论怎样判定双方的胜负.解:用xt,yt表示甲、乙交战双方时刻t的兵士人数,则正规战争模型可近似表示为:dxaydtdybx,1dtx0x0,y0y0现求(1)的解:(1)0a的系数矩阵为Aba2ab0.abEA1,2b221,2对应的特征向量分别为，11xt2abt2abt.1的通解为C11eC21eyt再由初始条件，得xtx0y0eabtx0y0eabt222又由1可得dybx.dxay其解为ay2bx
10、2k,而kay02bx023(1)当xt10时，yt1kay02bx02y0b31y0.3即乙方取胜时的剩余兵力数为y0.2x0abt1x0abt10.又令由得0,2y0ey0ext122注意到x0y02abt1x02y0.2abt13,t1ln3,得ex0e.2y04b(2)若甲方在战斗开场后有后备部队以不变的速率r增援.则dxayrdtdy4bxdtx(0)x0,y0y0由4得dxayr,即bxdxaydyrdy.相轨线为ay22rybx2k,dybx2r222ry2rbx2k.此相轨线比书图11中的轨线上移了kay00bx.0或ayaarr2r2b2a.乙方取胜的条件为k0,亦即y0aa
11、x0a2.七1.在6.1节捕鱼模型中，假如渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h(1)分别就hrN/4，hrN/4，hrN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况(2)怎样获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同解：设时刻t的渔场中鱼的数量为xt，则由题设条件知：xt变化规律的数学模型为dx(t)xrx(1)hdtN记F(x)rx(1x)hN(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由Fx0，得rx(1x)h0N即rx2rxh01Nr24rhr(r4h)，NNN14hN(1)的解为：x1,2rN2当hrN/4，0，(1)无实根，此时无平衡点；
12、当hrN/4，0，(1)有两个相等的实根，平衡点为x0N.2F(x)r(1x)rxr2rx，F(x0)不能断定其稳定性.NNN但xx0及xx0均有F(x)xrN0dx0x0不稳定；rx(1)，即dtN4当hrN/4，0时，得到两个平衡点：N14hNN14hNx1rN，x2rN22易知：x1N，x2N，F(x1)0，F(x2)022平衡点x1不稳定，平衡点x2稳定.(2)最大持续产量的数学模型为maxhs.t.F(x)0即maxhrx(1x)，N易得x0*N此时hrN，x1N/2x224但x0*N这个平衡点不稳定这是与6.1节的产量模型不同之处2要获得最大持续产量，应使渔场鱼量xN，且尽量接近N
13、，但不能等于22hrN/4hrN/4hrN/4rx1x/NxN22.与Logistic模型不同的另一种描绘种群增长规律的是Gompertz模型：xtrxlnN其x中r和N的意义与Logistic模型一样设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为hEx讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0*解：xt变化规律的数学模型为dxtrxlnNdtExx记F(x)rxlnNExx0，得rxlnNE令FxEx0x0Ner，x0x1平衡点为x0,x1.又FxrlnNrE，Fx0r0,Fx1x平衡点xo是稳定的，而平衡点x1不稳定.yrxlnN
14、xyExrNeyfx0Nx0xe最大持续产量的数学模型为：maxhExNs.t.rxlnEx0,x0.xE由前面的结果可得hENerEEdhNerENer，令dh0.dErdE得最大产量的捕捞强度Emr进而得到最大持续产量hmrN/e，此时渔场鱼量水平x0*N3设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：dx(t)xdtrx(1)N其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数h.10求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,求此时渔场鱼量水平x0*.解：10x(t)变化规律的数学模型为dx(t)rx
15、(1x)hdtN记f(x)rx(1x)h,令rx(1x)h0，即rx2rxh0-1NNN4rh4hN14hNr2r(r，1的解为：x1,2rNN)2N当0时，1无实根，此时无平衡点；当0时，1有两个相等的实根，平衡点为f(x)r(1x)rxr2rx，f(x0)0NNNx)rN但xx0及xx0均有f(x)rx(1N4Nx0.2不能断定其稳定性.0，即dx0x0不稳定；dt当0时，得到两个平衡点：NN4hNN4h11x1rN，x2rN22易知x1Nx2Nf(x1)0，f(x2)，22平衡点x1不稳定，平衡点x2稳定.2最大持续产量的数学模型为：maxh0s.t.f(x)即maxhrx(1x)，易得
16、x0*N此时hrN，但x0*N这个平衡点不稳定.N242要获得最大持续产量，应使渔场鱼量xN,且尽量接近NN22,但不能等于.2第九章2020年12月18日19.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方在法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比方增加一倍，其它条件不变另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻能够同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就能够挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上讲明这种办法比第一种办法好解：两种情况的钩子数均为2m第一种办法是
17、2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为2m1nD112mn当n较小，n1时，有2mD2m11nn11n112m8m24mnD1E，En4m下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对任一只钩对被一名工人接触到的概率是1；m1任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1；m1,q11记p由工人生产的独立性及事件的互不相容性得，任一钩对为空mm的概率为qn，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上件产品的概率为npqn1，其空钩数为m所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为2mqnmnpqn1m2qnnpqn1于是带走产品的平均数是2mm2qnnpqn1，未带走产品的平均数是n2mm2qnnpqn