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1、一、二次函数的定义cbxaxy2定义：）是常数，、0(acba，其中是二次函52332xxy21xy、练习：xxy222、25100 xy、数的有个2 2.当当m_时时,函数函数是二次函数是二次函数.12) 1(2xxmymm2二、二次函数的几种形式：二、二次函数的几种形式：y=ax2 (a0) y=ax2+c (a0) y=a(x-h)2+k (a0) y=ax2+bx+c(a0) y=a(x-x1)(x-x2) (a0)三、二次函数的图象及性质三、二次函数的图象及性质抛物线抛物线开口开口方向方向对称轴对称轴 顶点顶点坐标坐标最最值值增增减减性性y = ax2y = ax2 + ky = a
2、(x h )2y = a(x h )2 + ka0向上向上a0向下向下y轴轴直线直线x=h直线直线x=hy轴轴( 0 , 0 )( 0 , k )( h , 0 )( h , k )abacababx44,222顶点坐标是：，对称轴为：直线二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0) abacabxa44)2(221.抛物线抛物线y=(x3)2的开口方向的开口方向 ,对称轴对称轴是是 ，顶点坐标为，顶点坐标为 ，在对称轴左，在对称轴左侧，即侧，即x 时，时，y随随x增大而增大而 ；在对；在对称轴右侧，即称轴右侧，即x 时，时，y随随x增大而增大而 ，当当x= 时，时，y有最有最 值为值为 .2
3、.二次函数二次函数y=a(x+k)2+k(a0)，无论，无论k取取什么实数，图象顶点必在（什么实数，图象顶点必在（ ）.A.直线直线y=-x上上 B.x轴上轴上 C.直线直线y=x上上 D.y轴上轴上上3x直线)0 , 3(3减小3增大3小0A4.函数函数y=-2x2+8x-8的顶点坐标为的顶点坐标为 .3.3.将函数将函数y=-xy=-x2 2-2x-2x化为化为y=y=a a( (x x-h-h) ) 2 2+k+k的形式的形式为为 . .对称轴为对称轴为 .1) 1(2xy)0 , 2(2x直线2、顶点式：已知抛物线顶点坐标（、顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）或对）或对称轴称轴X=
4、 h ，通常设抛物线解析式为，通常设抛物线解析式为_3、交点式、交点式:已知抛物线与已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为析式为_ y=ax2+bx+c(a0) y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2) (a0)四、求抛物线解析式的三种方法四、求抛物线解析式的三种方法练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；三点；(2
5、)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)， 且经过点且经过点(3，1) ；(3)、图象经过、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3 。xxy21127)1 (23)2(2)2(2xyxxy2121)3(例例1 1、已知二次函数、已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的最大值是的最大值是2 2，图，图象顶点在直线象顶点在直线y=x+1y=x+1上，并且图象经过点上，并且图象经过点（3 3，-6-6）。求：二次函数的解析式。）。求：二次函数的解析式。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物
6、线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4xa a、b b、c c的意义：的意义：(1)a(1)a决定抛物线的开口方向、大小及最值决定抛物线的开口方向、大小及最值aa越大开口越小越大开口越小; a; a越小开口越大越小开口越大a0a0顶点为最低点顶点为最低点, ,有最小值有最小值开口向上开口向上a0aOcO抛
7、物线交抛物线交y y轴正半轴轴正半轴cOc0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0-2（5 5）、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的几个的几个特例：特例：1 1）、当）、当x=1 x=1 时，时，2 2）、当）、当x=-1x=-1时，时，3 3）、当）、当x=2x=2时，时，4 4）、当）、当x=-2x=-2时，时，y= y=y=y=6）、2a+b 0. xyo 1-12 02212baabab5）、b-4ac 0. a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+cxy、二次函数、二次函数y=axy=ax2
8、 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如图的图象如图 所示，则所示，则a a、b b、c c的符号为（）的符号为（） A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 0 BACooo练习：练习：熟练掌握熟练掌握a，b， c，与抛物
9、线图象的关系与抛物线图象的关系(上正、下负）上正、下负）(左同、右异左同、右异) c c4.4.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象经过原点和的图象经过原点和 二、三、四象限，判断二、三、四象限，判断a a、b b、c c的符号情况：的符号情况： a a 0,b0,b 0,c0,c 0. 0. xyo=6.二次函数二次函数y=ax2+bx+c中，如果中，如果a0，b0，c7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（ ）A
10、1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、轴、y轴的轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。交点的位置，注意运用数形结合的思想。1x 如图，在同一坐标系中，函数如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与与 y=ax2+bx(ab0)的图象只可能是（的图象只可能是（ ）xyoABxyoCxyoDxyoD8 8、二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)与一与一次函数次函数y=ax+cy=ax+c在同一
11、坐标系内的大在同一坐标系内的大致图象是（）致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)C C六、抛物线的平移左加右减，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向 平移平移 个单位，个单位，再向再向 平移平移 个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的的图象。图象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+
12、3)2-4 y=2(x+1)2+2 2 2、由二次函数、由二次函数y=xy=x2 2的图象经过如何平移可的图象经过如何平移可以得到函数以得到函数y=xy=x2 2-5x+6-5x+6的图象的图象. .y=x2-5x+6 41)25(2 xy=x241)25(2 xy练习练习1.函数函数y=5(x3)22的图象可由函数的图象可由函数y=5x2的图象沿的图象沿x轴向轴向 平移平移 个单位，再沿个单位，再沿y轴向轴向 平移平移 个单位得到个单位得到.右3下2二次函数y=axbxc的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程axbxc=0的解。二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx
13、+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情轴交点有三种情况况: :(1)(1)有两个交点有两个交点(2)(2)有一个交点有一个交点(3)(3)没有交点没有交点b2 4ac 0b2 4ac= 0b2 4ac 0若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有交点轴有交点,则则b2 4ac 0七、二次函数与一元二次方程的关系七、二次函数与一元二次方程的关系例例(1)(1)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m =0-2x+m =0有两个相有两个相等的实数根等的实数根, ,则则m=m=, ,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m-2x+m与与x x轴有个交点轴有个交点. .(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 2 8x +c 8x +c的顶点在的顶点在 x x轴上轴上, ,则则c=c=. .1 1116 (3) (3)一元二次方程一元二次方程 3 x3 x2 2+x-10=0+x-10=0的两个根的两个根是是x x1 1= -2 ,x= -2 ,x2 2= , = , 那么二次函数那么二次函数y= 3 y= 3 x x2 2+x-10+x-10与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是. .（-2、0）35)035( ，