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1、义务教育教科书（义务教育教科书（ RJRJ ）八年级数学下册）八年级数学下册第十七章第十七章 勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么a2+ +b2= =c2题设（题设（条件条件）：）：直角三角形直角三角形的的两直角边长为两直角边长为a，b，斜边长为，斜边长为c 结论：结论：a2+ +b2= =c2 1 1回忆勾股定理的内容回忆勾股定理的内容 形形数数abc 据说据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的长绳打上等距离的13 个结，然后以个结，
2、然后以3 个结间距，个结间距，4 个结个结间距、间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角你认为结论正确吗？形，其中一个角便是直角你认为结论正确吗？（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 探究一、探究一、具体做法：具体做法：把一根绳子打上等距离把一根绳子打上等距离的的1313个结，然后把第个结，然后把第1 1个结和第个结和第1313个结用木桩钉在一起，再分别用木个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第桩把第个结和第个结和第个结钉牢（拉个结钉牢（拉直绳子）。这
3、时构成了一个三角形，直绳子）。这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角其中有一个角是直角 。 实验操作：实验操作： 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直），它们是直角三角形吗？角三角形吗？ 2. .5，6，6. .5； 4，7.5，8.5 动手画一画动手画一画（1）这二组数都满足）这二组数都满足222cba 吗？吗？（2）它们都是直角三角形吗？）它们都是直角三角形吗？ （3）提出你的猜想：）提出你的猜想：那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形。2
4、22cba探究二、命题探究二、命题 2 2 ：如果三角形的三边如果三角形的三边长长a a 、b b 、c c满足满足命题命题与与勾股定理勾股定理的题设和结论有何关系的题设和结论有何关系? ?勾股定理：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a a，b b，斜，斜边为边为c c，那么，那么 。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满满足足 ， 那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2观察观察:这两个命题的题设和结论有何关系这两个命题的题设和结
5、论有何关系?命题命题2：逆命题：逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，题设和结论正好相反的两个命题， 叫做叫做互逆命题互逆命题其中一个叫做其中一个叫做原命题原命题，另一个叫做原命题的，另一个叫做原命题的逆命题逆命题 互逆命题已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形？证明结论证明结论 C是直角ABC是直角三角形ABCa b c 证明：作证明：作RtABC，使使C=900，AC=b，BC=aABC ABC(SSS)C= C=900 ABC是直角三角形则则22222ABBCACab 222abc 22A BcA Bc 取取正正得得ABCA B C 在在和和
6、中中A CA CB CB CA BA B C B aA bcACaBbc已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形 探究三、探究三、勾股定理的逆勾股定理的逆定理定理：如果三角形的三边如果三角形的三边长长a a、b b、c c满足满足 ，那么这个三角那么这个三角形是直角三角形。形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2w一个一个命题命题是真命题是真命题, ,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. .我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:1、勾股定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理,2、两直线平
7、行、两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.w想一想:w互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理其中一个定理称另一个定理的称另一个定理的逆定理逆定理.定理与逆定理定理与逆定理w一个一个命题命题是真命题是真命题, ,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. .我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:1、勾股定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理,2、
8、两直线平行、两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.w想一想:w互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个其中一个定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理. 分析：分析：根据勾股定理的逆定理根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不判断一个三角形是不是直角三角形是直角三角形, 只要看两条较少边长的平方和是否等于只要看两条较少边长的平方和是否等于最大边长的平方最大边长的平方.探
9、究四探究四 例例1 1：判断由线段判断由线段a a，b b，c c组成的三角形是不是组成的三角形是不是直角直角 三角形三角形? ?(1) a=15(1) a=15，b=17b=17，c=8; (2) a=13c=8; (2) a=13，b=15b=15，c=14c=14 解解:(1)最大边为最大边为17 152+82=225+64 =289172 =289 152+82 =172 以以15, 8, 15, 8, 1717为边长为边长的三角形的三角形是是直角三角形直角三角形 (2)最大边为最大边为15 132+142=169+196=365152 =225 132+ 142 152 以以13,
10、15, 14为边长的为边长的三角形三角形不是不是直角三角形直角三角形 像像15,17,8,15,17,8,能够成为直角三角形能够成为直角三角形三条边长的三个三条边长的三个正整数正整数，称为，称为勾股数勾股数. .说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题是真说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题是真命题吗？命题吗？ （1）两条直线平行，内错角相等；）两条直线平行，内错角相等； 逆命题：逆命题：内错角相等，两直线平行真命题内错角相等，两直线平行真命题（2）对顶角相等；）对顶角相等； 逆命题：逆命题：相等的角是对顶角假命题相等的角是对顶角假命题（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相）线段垂直平分线
11、上的点到线段两端点的距离相等等 逆命题：逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上真命题垂直平分线上真命题任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题 已知已知ABC中中A、B、C的对边分别是的对边分别是a、b、c，下面以，下面以a、b、c为边长的三角形是不是直为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？角三角形？如果是那么哪一个角是直角？_ _ ；_ _ ；_ _ ；_ _ ；_ _ ；_ _ 不是不是是是是是是是是是是是C=90B=90C=90B=90请写出请写出(1)、(2)两两题的解题过程题的解题过程22(1
12、)12,18,22(2)15,36,39(3)2,2,2(4)1025,64,1023(5) :7:24:25(6)()2abcabcabcabca b cacbac A=90（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作 用？用？（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你 能说出它们之间的关系吗？能说出它们之间的关系吗？（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历 了哪些过程？了哪些过程？经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，经历了从实际问题引入数学问题然后
13、发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。际问题的过程。1. 如果线段如果线段a,b,c能组成直角三角形能组成直角三角形, 则它们的比则它们的比可能是可能是 ( )A.3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.2. 将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是则得到的三角形是 ( )A.是直角三角形是直角三角形; B. 可能是锐角三角形可能是锐角三角形;C. 可能是钝角三角形可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形不可能是直角三角形.
14、BA3. 三角形的三边分别是三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是则此三角形是: ( )A. 直角三角形直角三角形; B. 是锐角三角形是锐角三角形;C.是钝角三角形是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形是等腰直角三角形.4. 已知已知ABC中中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三则此三角形为角形为_三角形三角形, _是最大角是最大角.5. 以以ABC的三条边为边长向外作正方形的三条边为边长向外作正方形, 依次依次得到的面积是得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是则这个三角形是_三角形三角形.A A直角直角直角直角 6.（1） 满足下列条件的满足下列条件的ABC,不是直角三角形的是不是直角三角形的是( ) A.b2=a2-c2 B. a:b:c=3:4:5 C.C=A-B D. A:B : C =3:4:5D（2）若一个三角形的三边长分别为）若一个三角形的三边长分别为: 32, 42, x2 ,则此三角则此三角形是直角三角形的形是直角三角形的x2的值是的值是_222169337x 2221691755 7x 或或3375 7或或