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1、毕业论文：关于量子力学中的表象理论关于量子力学中的表象理论理学院物理学物理091本*指导老师：*摘要：表象理论是量子力学中的基础内容之一，而且又是一个比拟抽象的概念。表象与几何学中的坐标系类似，选取适宜的表象能够使问题简单化。在解决微观世界中的量子体系问题时，研究同一个问题能够选择不同的表象，但是其结论不会发生变化。本文从最基本的态、算符及运动方程的表象表示入手，介绍了基础的表象理论，讨论了量子力学中力学量算符和态矢量在动量表象和坐标表象下的形式，并选取相关的例题给予解析，促使读者能更好地认识和理解表象理论，进而引导入门学习。关键词：量子力学，表象理论，力学量算符，动量表象，坐标表象About
2、theRepresentationTheoryofQuantumMechanics*Supervisor:*Abstract:Representationtheoryisoneofthebasiccontentofquantummechanics,anditisarelativelyabstractconcept.Therepresentationissimilartothegeometryofthecoordinatesystem,selecttheappropriaterepresentationcankeepissuessimple.Tostudythesameprobleminsolv
3、ingtheproblemsofthemicroscopicworldofthequantumsystemcanchooseadifferentrepresentation,butitsconclusionswillnotchange.Inthisarticle,fromthemostbasicstate,theoperatorandtheequationsofmotionrepresentation,thispaperintroducesthebasicrepresentationtheory,quantummechanicsmechanicalquantitiesoperatorandth
4、estatevectorinthemomentumrepresentationandcoordinaterepresentationformandselecttherelevantexamplesgivenresolution,promptingthereadertobetterawarenessandunderstandingoftherepresentationtheory,inordertoguidealearningportal.Keywords:Quantummechanics,representationtheory,mechanicalquantitiesoperator,mom
5、entumrepresentation,coordinaterepresentation1引言表象是量子力学的基本概念之一。表象的英文表达形式是“representation，直接翻译出来就是“表示的意思。关于表象的定义，有很多版本，如“态和力学量算符的每一组可能的表示方式称为表象1、“量子力学中态和力学量的详细表示形式称为表象2等，这些讲法都是比拟抽象的。一般来讲表象就是用什么物理量来表示某一物理体系的行为，比方用动量来表示就是动量表象，用能量来表示就是能量表象，在不同表象下研究问题，就好比是在不同的坐标系下研究几何问题，所得的结论不会由于你所选取的表象不同而发生改变。大多数情况下，人们习惯
6、采用坐标表象，是由于坐标表象容易根据物理问题的要求写出波函数知足的边界条件，另外一些常用势在坐标表象中是定域的，表述起来比拟简单3。量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象等4。2常用的表象表示同一个状态的波函数，描绘同一个力学量的算符，在不同的表象中所表现出的形式是不一样的，下面简单介绍量子力学中最常用的两种表象中，表示同一个力学量的算符和同一个状态的波函数的表示形式。2.1坐标表象2.1.1坐标算符在坐标表象中，坐标算符就是坐标本身。坐标算符在直角坐标系中以及它的三个分量分别是：rr=?xx=?yy=?zz=?坐标算符x?在坐标表象本身表象中，坐标本征态本征值x)表示
7、为：()()xxxxxx-=52.1.2动量算符在坐标表象中，动量算符在直角坐标系中以及它的三个分量分别是：?-=ip?xipx?-=?yipy?-=?zipz?-=?动量算符xp?在坐标表象中，动量本征态本征值p)表示为： ()xpipepxx=2152.2动量表象2.2.1坐标算符在动量表象中，坐标算符在直角坐标系中以及它的三个分量分别是：pir?=?xpix?=?ypiy?=?zpiz?=?坐标算符x?在动量表象中，坐标本征态本征值x)表示为： ()xpixexpp-=2152.2.2动量算符在动量表象中，动量算符就是动量本身。动量算符在直角坐标系中以及它的三个分量分别是：pp=?xxp
8、p=?yypp=?zzpp=?动量算符xp?在动量表象本身表象中，动量本征态本征值p)表示为： ()()pppppp-=52.2.3任意力学量算符F?在一维情况下，动量算符本征函数()xpipxexu21=作为基矢，则算符?-xixF，?在动量表象下的矩阵元为：()()dxxuxixFxuFpppp*?-=?，?6力学量坐标表象动量表象任意Q表象坐标()xx-pxixe-=21()dxuxxaqq*?-=动量pxipe21= ()pp-dxueaqpxiq*?=21能量xanansin2= ()xHNenxn2221-=*(,)()nnaxtuxdx=?任意力学量算符在本身表象中表示为函数。2
9、.2.4其他算符根据以上讨论我们可得，如一个算符F?表示为()xpxFF?,?=，在坐标表象中()()?-=xixFpxFxx,?,?，则在动量表象中有()()?=xxxpppiFpxF,?,?，因而我们能够直接写出一般情况下其它力学量算符在动量表象下的表示形式。例如：角动量算符yxxpzpyL?-=，把ypiy?=，zpiz?=代入，得动量表象中角动量算符?-?=yzzyxppppiL?。同样，哈密顿算符()rVpH+=2?2在动量表象中的形式为?+=piVpH2?2。62.3能量表象选取一个包含H?在内的，一个守恒量完全集，它的共同本征态矢量记为n，简写成n。以n作为态矢量空间的基矢组，就
10、得到能量表象。在能量表象下，H?的矩阵元为：mnHnHm=nEmn7亦即H?表示成对角方阵：H=?nEEEE0000000000003217完全集中其他守恒量的矩阵也是对角方阵，对角矩阵元等于其本征值。由于()rUmpH+=2?2，xip?-=?，()rU不同，且H不同。所以坐标和动量只要在特定的能量表象中才有确定的形式。例如，谐振子：222212?xmmpHx+=mnxnn21,1+=+n=0，1，2nnnnximp,1,1+=83态矢在详细表象中的表示在量子力学中，量子态由希尔伯特空间中的矢量表征，称为态矢量。一个量子体系的量子态能够“态矢量来表示。态矢量的英文表述为“statevecto
11、r。态矢量是一种比拟特殊的矢量，但它也允许内积的运算。在Dirac标记方法里，态矢量又称为右括矢量。对应的左括矢量为，是右括矢量的厄米共轭。希尔伯特空间又称为态矢量空间或者态空间。态矢量能够有多种表示形式。在坐标表象中，态矢量能够用一个函数来表示，如()r，称为波函数或状态函数。93.1本征值谱为分立谱假如Q?的本征值谱是分立谱，那么态的表象表示为某一列矩阵。设Q?的本征值谱为nq,相应的本征态的正交完备系为nq，则有mnnmqq=1Iqqnnn?=21式和2式为Q表象的基本方程。设()t是体系任意的一个归一化的态矢，则有()()()taqtqqtInnnnnn=?其中()()tqtann=称
12、为态矢()t沿基矢nq方向的投影或分量，基矢选定后，()tan可以唯一确定态矢()t。正像假如选定直角坐标后，xr、yr、zr能够唯一确定矢量r。则用矩阵表示为 ()()()()()()?=?=tqtqtqtatatann2121称为态在Q表象的表示。由归一化条件得 ()=nnta12若分别取()1qt=，2q，nq，则可得Q表象的基矢在本身表象中的矩阵表示 ()?=?=01112111qqqqqqnQq ()?=?=10222212qqqqqqnQq103.2本征值谱为连续谱若Q?的本征值谱为连续谱，设相应的正交归一完备系nq，那么态的表象就表示为波函数。 ()qqqq-=Idqqq?=?则
13、体系中的任一态矢()t，可表示为 ()()()dqqtqdqtqqt?=,其中()()tqtq=,，同分立谱一样，确定基底后，()tq,能够唯一确定()t，则可以用()tq,来描绘()t所描绘的体系状态。同样的，态矢基矢在本身表象中表为函数。4表象变换在经典物理学以及几何学中，不同的坐标系之间能够相互转换，例如：直角坐标系x，y，z)和球坐标系之间的变换关系：?=?cossinsincossinrzryrx量子力学中，不同的表象之间也是能够进行相应变换的。4.1算符的表象变换假如已知力学量F?在G表象下的态矢a表示F?的本征函数系?i21的第i行本征矢，力学量F?和态矢a在G表象中的矩阵形式是
14、jFiFij=，aiai=ia是a在G表象下的分量形式。当然，我们想直接求出ia，ijF是不可能的，由于力学量F?和态矢a所对应的矩阵是Hilbert空间中的抽象矩阵，假设，假如我们知道力学量F?和态矢a在已知表象Q中的表达形式为mFnFnm=，anan=，n表示力学量F?在Q表象下的本征函数系?n21的第n行本征矢，则问题就转变成了表象之间的变换问题。由已知条件可得出如下的表达式：aiai=3jFiFij=4利用Q的本征矢的完备性：1=nnn 7代入34式：nnnianianniaiaia=1jmFnijmmFnnijFiFnmmnmnij=,令niSin=，那么将所有元素根据行为i列为n排
15、列，则成为一矩阵： ?=?=ninininiSSSSSSininin11111111klni代表knli=，S是厄米矩阵，即*+=SS，利用inni=*7，则矩阵元()inSni=+，34式变为：nmniniaSa=,mjnmmninijSFSF=,进一步表示为：()()QGSaa= ()()+=SSFFQG11可见矩阵S就是态矢a和力学量F?从Q表象到G表象的变换矩阵。4.2态的表象变换在量子力学中，各个表象之间的变换，以及同一态矢量在各种表象中的表示间的变换，称为么正变换，其对应的算符称为么正算符。表象一经选定，它的基矢也就选定，则么正算符就有了它所对应的矩阵形式，称为么正矩阵。么正算符和
16、么正矩阵均要知足所谓的么正条件，即1=+SS。但由于表象有各自的特点，进而导致和表象相联络的么正矩阵，在形式上随相关的表象不同而不同。12设在F表象中用kak=描绘态，在F表象中用=a描绘，则kkk=即把同意态矢在两种表象中的矩阵表示能够用同一个变换矩阵S联络起来：kkkaSa=5式中kSk=是从FF表象的变换，描绘两个表象之间的基矢的关系。5式可以用矩阵形式来表示：?=?212221121121aaSSSSaa可以以简记为：Saa=不难证实S为幺正变换：ISSSS=+76例如，在F表象中，kjjkjkkjjkjkjkSSSSSS=*+)(即ISS=+单位矩阵，而单位矩阵在任何表象中均为单位矩
17、阵，这就证实了式6。可见，同一态矢在两个表象间的表示是由么正矩阵而联络起来的。例如，在xL?的复矢空间，1=l的子空间中，由xL?到xL?表象的么正矩阵为?-=21222122022212221S，由xL?到yL?表象的么正矩阵为?-=21222122022212221iiS。很容易验证，均知足么正条件1=+SS。12例题：设算符Q?在某一表象A中的矩阵为?=-00iieeQ，其中为常数，求：1Q?的本征值和在A表象下的正交归一本征函数2求使矩阵Q?对角化的么正变换S解：设Q?在A表象下的本征方程为：?-00iiee?21aa=?21aa即解久期方程：?-iiee?21aa=0?-iiee=2
18、1=0解得：=1或=1将=1代入久期方程，可得：ieaa21=那么，本征函数为：?=121iea利用归一化条件1=+，可得：2a=21211=?1ie同理可得：当=1时，代入久期方程，可得：?-=1212ie为了找出能使矩阵Q?对角化的么正矩阵S，我们能够将本征函数1，2按2行2列的列矩阵排列，得：?-=1121iieeS所以?-=-+1121iieeS表象变换时，态矢和算符的详细矩阵表示与所选表象有关，但他们所描绘的物理内容则不受表象选择的影响。75相关例题例1、在正交归一化的基矢123(),(),()uxuxux所张开的三维矢量空间中，t=0时的态矢()321212121uuux+=。而物
19、理体系的能量算符H?和另外两个物理量算符A?与B?的矩阵形式为010*H?=?，200001,010Aa?=?010100,001Bb?=?0、a、b均为实数，求1所采用的是什么表象？基矢是什么？2123(),(),()uxuxux表象中波函数态矢的表示；3()x态的能量可能值及相应的概率、H、2H；4()x态中算符A?、B?的可能值及相应的概率。解：1因H?是对角矩阵，故状态及算符采用的是能量表象。注意：此表象的基矢123(),(),()uxuxux固然是能量算符的本征态，但它却是坐标表象表达式，而基矢在能量表象中为11()00uE?=?，20()10uE?=?，30()01uE?=?，()?=?+?+?=+=+=212121100210102100121212121321332211uuuuauauaE2能量表象中：或利用()()()()xuaxuaxuax332211+=，及*()()nnauxxdx=?可得：211=a，212=a，213=a。3由?H的对角矩阵可知：能量取值只能为0、02、02。可见能级02是两度简并的。取0及02的概率分别为21112pa=，2222312paa=+=；故0001132222H=?+?=；