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2、esNewRoman字体，其他同中文8正文中数字序号全部用阿拉伯数字，如：11.11.1.1等9论文一级标题：四号黑体加粗；二级下面标题类全部小四号黑体加粗；文中有定理等类似的全部用小四号黑体加粗，定理等内容详细部分全部小四号宋体，除此以外正文其他内容全部用小四号宋体，行距1.5倍10文中出现的所有数学字母、符号全部在word自带的公式编辑器里编写，避免软件不兼容造成的错误；非数学字母的英文字母用TimesNewRoman字体11参考文献用项目编号编写，格式参考模板12致谢另起一页，置于论文最后；“致谢两字四号黑体加粗，居中间隔二字；内容小四号楷体；行距1.5倍13页码下方居中；页边距上下各2
3、.5，左3.5，右2.514其他未尽事宜请与办公室联络解决。数学与信息科学学院分类号O15陕西师范大学学士学位论文nm矩阵的广义迹作者单位数学与信息科学学院指导教师曹怀信作者姓名王秀英专业、班级数学与应用数学专业02级1班提交时间二OO六年五月 (空一行,小四)矩阵的广义迹(空一行,小四)王秀英(数学与信息科学学院2002级1班)指导老师曹怀信教授(空一行,小四)摘要:本文首先讨论了矩阵迹的若干重要性质，包括:可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等,并且证实了矩阵迹的唯一性然后,利用分块矩阵的思想及辗转相除法(带余除法),引入了一般矩阵的广义迹的概念,它是方阵迹的一个自然推广,研究了这种广义
4、迹的一系列重要性质最后,给出了详细实例讲明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法,并对各条性质给予了验证关键词:矩阵;广义迹;分块矩阵;带余除法(空一行,小四)GeneralizedtracesofmatricesWANGXiu-ying(Class1,Grade2002,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:ProfessorCAOHuai-xin(空一行,小四)Abstract:Inthispaper,aseriesofimportantpropertiesoftheusualtraceofmatricesaregiven,inclu
5、ding:additivity,ofanmatrixandthedivisionalgorithm,theconceptofgeneralizedtraceofamatrixisintroducedSomeimportantpropertiesofthisgeneralizedtracearegiven.Finally,someexamplesaregiveninordertoillustratetheconcept,computationandpropertiesofthegeneralizedtrace.Keywords:matrix;generalizedtrace;block-matr
6、ix;divisionalgorithm(空一行,小四)矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是阶矩阵的一个重要的数量特征在普通高校的高等代数教科书中,只是给出了一个行列的矩阵算子迹(方阵对角线元素之和,其中,为方阵对角线上的元素)的定义及其某些重要的性质，参见文献1-3,文献文献4得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形文献5-7中,研究了Hilbert空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质十分地,文献5给出了迹类算子的若干不等式,并证实了Hilbert空间中的Bellman不等式对及任二正的迹类算子与成立同时还证实了当时,对任一迹类算子,不等式也成立文献
7、6将JanR.Magnus关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert空间上算子迹的相应命题,由此得到一个证实算子迹的H?lder不等式的方法,同时得到关于算子迹的H?lder不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的Minkowski不等式的一个证实文献8,9中，定义了在C*-代数上的矩阵迹是一个知足下面条件的正线性映射：()(),(AMUuAMAnn?,给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证实了:假如是可交换的C*-代数，则映射是上的矩阵迹当且仅当中存在一个元素使得,其中本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地矩阵上，给出一般矩阵广义算子迹的概念,并证实矩阵广义迹的一系列重要性质(空一行,小四)1
8、预备知识1.1矩阵的迹及其性质在本文中，假定为数域上全体矩阵之集十分的为数域上全体阶矩阵之集,则关于矩阵的运算,为数域上向量空间，表示所有自然数之集，表示矩阵的转置矩阵定义1.1.1设,则称的所有主对角线元素之和为的迹,记为，即矩阵迹有下列基本性质(其中,为阶矩阵):定理1.1.1设,则(1),其中为的特征值;(2);(3)，;(4);(5); (6)若和为两个类似的方阵,则,即类似矩阵有一样的迹证实(1)设,则根据2中的定理知:A的特征方程是.在nnnnnnnnaaaaaaaaAI-=?-?=-111111111001的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积展开式中其余各项,至多包含个主对
9、角线上的元素,它对的次数最多是因而,特征多项式中含的次与次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是()12211=+-=-nnnnaaaAE在特征多项式中令,即得常数项:因而,假如只写出特征多项式得前两项与常数项,就有()()AaaaAEnnnnn112211-+-=-由根与系数的关系可知,的全体特征值的和(2)设，假定)(),(,ijnmcCFMCBAC=+=?,则BAbabacCBAniiiniiiniiiiiniiitrtr)(tr)(tr1111+=+=+=+=(3)设，则有AkakkakAniiiniiitr)(tr11=(4)设,则因而有(5)设,;,假定)(),(,ijij
10、dDCCBADABC=,则=ninkkiikniiibaCAB111)(tr,=ninkkiikniiiabDBA111)(tr由求和的交换性即可证得:(6)由于类似矩阵有一样的特征多项式,特征多项式一样则特征值一样,则矩阵的各个多项式的和(重根按重数记)一样因而根据性质1),矩阵的迹等于它的各个特征值的和,则这两个矩阵的迹一样(即)证毕.下面的定理将以上的性质(5)推广到非方阵的情况.定理1.1.2设和分别为,矩阵,则证实令为矩阵,为矩阵,设，,其中,),2,1,(1mjiabdnkkjikij=.所以=?=nimkkiiknimkkiikniiibabacAB11111)tr(,=?=ni
11、mkkiiknkmiikkiminkkiikmiiibabaabdBA1111111)tr(,进而通过以上的讨论,我们可知若定义数域F上阶矩阵集合到F的一个迹映射,则具有以上的众多性质定理1.1.3那么若定义是一个映射,而且知足下列条件:(1)对任意的阶矩阵,;(2)对任意的阶矩阵,和F中数,;(3)对任意的阶矩阵,;(4),则对一切上的阶矩阵成立.证实设为阶基础矩阵,由于,所以由条件1)和条件4)知:nEfEfEfEEEfIfnnnnn=+=+=)()()()()(22112211又由条件3)知:)()()()(jjijjijiijiiEfEEfEEfEf=，所以另一方面,若,则0)0()(
12、)()(1111=fEEfEEfEfjijiij,得,与条件4)矛盾若,则由上知)(tr)()()(1,AaEfaEafAfniiiijnjiijnjiijij=1.2广义矩阵的分块用(矩阵行与行之间的)横线及(列与列之间的)竖线将一个矩阵分成若干块，这样得到的矩阵就称为分块矩阵一个矩阵能够有各种各样的分块方法，究竟如何分比拟好，要根据详细情况及详细需要而定1.2.1矩阵分块的原则必须使分块后的矩阵的运算可行必须使分块后的矩阵的运算较不分块简便.例1.2.1考虑矩阵?=110000005400000200000010000001A根据它本身的特点,我们能够将如虚线所示的那样分块,若记,则矩阵除
13、了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，这种分块成对角形状的矩阵，称为分块对角阵设?=565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbB为了进行运算，我们对的分块必须与的分块完全一致，即如图中虚线所示使与的各对应子块都是同型的设，为使的运算可行，的分块必须参照的分块来进行，即的列分与的行分一致，而的列分，则可视的详细情况来定，不受的分法的影响如下所示：?=646362615453525144434241343332312423222114131211ccccccc
14、cccccccccccccccccC1.2.2分块矩阵的运算视分块矩阵中的每一子块为一个元素，则分块矩阵的运算法则与普通矩阵的运算法则完全一样分块矩阵的转置:?=?rssrrrsrrsAAAAAAAAAAAA12121112111211例1.2.2设,53000120003000003?=B,将,适当分块,并求解根据,的特点及乘法运算的要求,可将,如虚线所示分块记,其中,则,所以(空一行,小四)2.广义矩阵的迹2.1矩阵广义迹的定义引理2.1.1(辗转相除法,欧几里得Euclid除法)对,其中,反复作带余除法,有,(1),(2),(3),(n)(n+1)由于每进行一次带余除法,余数至少减少1,
15、而是有限的,所以致多进行次带余除法,就能够得到一个余数为零的等式定义2.1.1设,则由引理2.1.1知对反复作带余除法能够得到一个余数为零的等式,定义矩阵的迹等于矩阵的所有分块方阵的迹的和由(1)式可把矩阵分成块,?=+-+-+-nmmqmmqmmqmmmmnmqmqmqmnmqmqmqmaaaaaaaaaaaaaaaaaaA,1,1)1(,1,21,2,21)1(,2,21,2,11,1,11)1(,1,11,1111111111;记;在矩阵的分块矩阵中,最多只要矩阵不是方阵若为方阵,则矩阵的迹能够求得;若不是方阵,则由2)式可把矩阵分成块,记为 ()111121111212111+=qqq
16、qqqqAAAAA;在矩阵的分块矩阵1111211121211,+qqqqqqAAAA中,最多只要矩阵不是方阵若为方阵,则矩阵的迹能够求得;若不是,则由3)式可把矩阵分成块如此继续,最终,可把矩阵分成块根据引理2.1.1可知广义矩阵一定能够被分成个方阵(),其中若方阵只包含一个数字它的迹即为那个数因而+=+=+=+=121111111trtrtrtrnnqiqiqiqiqiiAAAA(2.1)2.2矩阵的广义迹的性质对广义矩阵先研究比拟特殊的,即矩阵的行数与列数知足的情形,在此条件下根据(2.1)式有)(trtr1)1(,1=+-+=+=miimliimiiiliiaaaAA定理2.2.1,证
17、实设,则有矩阵?+=mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111为矩阵和矩阵的和因而可得,又由于,则=+-+=miimliimiiiccc1)1(,)(=+-+-+=miimliimliimiimiiiiibababa1)1(,)1(,)(=+-+=+-+=miimliimiiimiimliimiiibbbaaa1)1(,1)1(,)()(由此我们得出了与方阵算子迹的基本性质(2)一样,即定理2.2.2,证实根据矩阵与数的数量乘积的定义:用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上因而可得.tr)()()tr()1(,1,)1(,1,Ak
18、aaakkakakakAimliimimiiiimliimimiii=+=+=+-+=+-+=得证定理2.2.3,证实根据矩阵的转置的定义:设,所谓矩阵的转置就是指矩阵根据我们对矩阵分块的方法,可以以把矩阵分成个方阵,同时能够得到AaaaAmiimliimiiitr)(tr1)1(,=+=+-+得证定理2.2.4,证实令,为矩阵,则为矩阵,设，,其中,),2,1,(1mjiabdnkkjkiij=所以=?=nimkikiknimkikikniiibabacBA11111)tr(,=?=nimkikiknkmikikiminkkikimiiibabaabdAB1111111)tr(,进而定理2.2.5,证实给定矩阵和矩阵,由矩阵加法的定义能够得知,