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1、（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同？ 归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之间关系都可以描述为：对于数集A中的每一个 ，按照某种对应关系 ，在数集B中都有唯一确定的 和它对应，记作： 结论xfy:.fAB1.函数的概念 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合集合A到集合到集合B的一个函数。的一个函数。 记作：y=f(
2、x)，xA 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域（range）值域是集合B的子集 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x 已知函数（1）求函数的定义域；（2）求f（3），f ( )的值；（3）当a0时，求f（a）,f(a1)的值.解：(1) (2) (3)1( )3,2f xxx23 |3,2x xx 且2333(3)1;().383ff 11( )3; (1)2.21f
3、aaf aaaa 1( )3,2f xxx（1）求函数的定义域；（2）求f（3），f ( )的值；（3）当a0时，求f（a）,f(a1)的值.解：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.分析：由题意知，另一边长为 ，且边长为正数，所以0 x40.所以 （0 x40）8 022x802(40)2xsxxx几类函数的定义域： （1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R . （2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 . （3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如
4、果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.(设设a, b为实数为实数,且且ab)闭区间闭区间: :满足满足axb的实数的实数x的集合的集合,记作记作 a,b开区间开区间: :满足满足axb的实数的实数x的集合的集合,记作记作 (a , b)“”不是一个不是一个 数数,表示无限大的变化趋势表示无限大的变化趋势,因此因此作为端点作为端点, 不用方括号不用方括号.半开半闭区间半开半闭区间: :满足满足axb或或axb的实数的实数x 的集合的集合,分别记作分别记作(a, b,a, b).实数集实数集R R记作
5、记作 (- -,+),(设设a，b为实数为实数, ,且且ab) )不等式不等式集合集合区间区间名称名称axbaxbaxbaxbRxaxbxaxb x | a x b x | a x b x | a x b x | a x b x | xR x | x a x | x b x | x a x | x b ( a , b )( a , b a , b ) a , b (- - , + ) a , + )( , b ( a , + )( , b )开区间开区间半开半闭区间半开半闭区间闭区间闭区间【1】把下列不等式写成区间表示】把下列不等式写成区间表示1. - -2x4 4,记作记作:_；(4, +)
6、3. 5x7,记作记作: ；5,74. 2x5,记作记作: ；2,5)5. 1x3,记作记作: _；(1, 36. x- -10,记作记作:_；(- -,- -107.7.x3,3,记作记作:_:_； 8.8.x- -6,6,记作记作:_ :_ ；(- -, - -6)3,+)10. x|- -2x6x|36x|- -5x14 记作记作_;_;14, 6(- -2,8例例3,下列函数中哪个与函数y=x相等？ 分析： 1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2 两个函数相等当
7、且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。32322(1) () ; (2) ();(3); (4).yxyxxyxyx判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ f ( x ) = ；g ( x ) = 1 f ( x ) = x； g ( x ) = f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x0(1)x2x求下列函数的定义域 1( )|f xxx1()11fxx 1 12f xxx 4( )2xfxx( )131f xxx值域为值域为 _.值域为值域为 _;求
8、下列函数的值域：求下列函数的值域：值域为值域为 _R- -1, 0, 1 (,0 )(0, + )0, + )(1)12 ;yx (2)| 1, 2, 1,0,1,2;yxx 值域为值域为 _2(3);2yx (4)2yx 直接法直接法:由函数解析式直接看出由函数解析式直接看出.例例2.2.求下列函数的值域：求下列函数的值域：720,25x 1.2y 故函数的值域为故函数的值域为11(,)(,).22 解：由解：由17(25)2225xyx 522721 x1(5);25xyx 分离常数法分离常数法:可将其分离出一个常数可将其分离出一个常数.(6)y = x22x+3(1x2)解解: 由由y
9、= ( x 1 ) 2 + 2, 1 x 2,xyo11234561234 由图知由图知:2:2y66.故函数的值域为故函数的值域为 2,6.配方法配方法(7)1yxx 解：设解：设 1,tx 则则 x = 1- - t 2 且且 t 0. y = 1- - t 2 + t 251().24t tyo由图知：由图知：5.4y 5(,.4 故函数的值域为故函数的值域为换元法换元法:利用换元化单一函数利用换元化单一函数(8) y=|x+1|1x|解：由解：由 y = | x + 1 | | x 1 |当当x1时时,y=(x+1)+(x1)=2;当当1 1x 1 1时时,y=(,y=(x+1)+(+
10、1)+(x-1) = 2-1) = 2x; ;当当x1时时,y=(x+1)(x1 )=2. 222xy1111 xxxxy1122o由图知由图知:2y2.故函数的值域为故函数的值域为2, 2 .数形结合法数形结合法:利用图象利用图象14223xyx 21133xyx 21;31x 72.23x 22(, )( ,).33 (, 2)( 2,). 2(23)723xx 【3】已知已知y=2=2x2- -x+5(0+5(0 x1515),求值域求值域.225yxx 解解：39,440.8y 23912().48x 423413.yxx 134 x解：设解：设 t = 04132 ttx且且则则tt
11、y 3213227212 tt3)1(212 t xyo由图知：由图知：7.2y 故函数的值域为故函数的值域为),27 1.复习回顾复习回顾三种表示法：解析法、图像法、列表法数学表达式表示两个变量之间的对应关系数学表达式表示两个变量之间的对应关系图像表示两个变量之间的对应关系列出表格表示两个变量之间的对应关系列出表格表示两个变量之间的对应关系例例1.某种笔记本的单价是5元,买 个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数分析：注意本例的设问，此处“ ”有三种含义，它可以是解析表达式，也可以是图象，也可以是对应值表解析式：列表法：( ).y f x( ).y f x(1,2,3,4,5 )x x5 ,
12、1,2,3,4,5.yx x笔记本数x12345钱数y 510152025图像法：yx0函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：是否连线；下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：画出图形第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6例4某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元； （2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加
13、1元（不足5公里按5公里计算）已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象解题过程解:设票价为y元,里程为x公里,同根据题意， 如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是xN*|x19由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式： 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：2345y0551010151519xxxx()xNO Ox xy y5 54 43 32 21 15 5101015151919注意：1
14、 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？人人椅椅票票座位座位对应对应是两个集合的是两个集合的元素之间元素之间的一种的一种关系关系,对对应关系可用图示的方法或文字描述等来表示应关系可用图示的方法或文字描述等来表示.一一个对应由个对应由两个集合两个集合和和对应关系对应关系三部分组成三部分组成.a2)对于坐标平面内的任何一点对于坐标平面内的任何一点,都有唯一的都有唯一的一个有序实数对一个有序实数对(x, y)和它对应和它对应;xyo(x,y)3)3)对于任何一个三角形对于任何一个三角形, ,都有都有唯一的面积和它对应唯一的面积和它对应; ;
15、4)本班每一个学生和教室内的座位对应本班每一个学生和教室内的座位对应;5)本班每一个学生和班主任对应本班每一个学生和班主任对应;6)某人和他的书对应某人和他的书对应.P1)1)对于任何一个实数对于任何一个实数a，数轴上有唯一的点，数轴上有唯一的点P和它对应和它对应.ABA求正弦1222321030045060090一一对对一一开开平平方方AB 94133 22 11 一一对对多多求求平平方方AB 94133 22 11 多多对对一一乘乘以以2 2AB 1232456一一对对一一 观察图观察图(1)、(3)、(4),想一想这三个对应想一想这三个对应有什么共同的特点？有什么共同的特点？ 对于左边集
16、合对于左边集合A中的任何一个元素中的任何一个元素,在右边在右边集合集合B中都有唯一的元素和它对应中都有唯一的元素和它对应. 设设A,B是两个是两个非空的集合非空的集合，如果按某一个，如果按某一个确定的对应关系确定的对应关系f，使对于集合，使对于集合A中的任意一中的任意一个元素个元素x，在集合，在集合B中都有唯一确定的元素中都有唯一确定的元素y与与之对应，那么就称对应之对应，那么就称对应 f :AB为从集合为从集合A到到集合集合B的一个的一个映射映射(mapping). 映射是从集合映射是从集合A到集合到集合B的一种对应关系的一种对应关系,函数是从非空数集函数是从非空数集A到非空数集到非空数集B
17、的映射的映射.由此由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射的映射.映射三要素映射三要素集合集合A集合集合BA到到B的对应关系的对应关系 f对应对应(2)为什么不是映射？为什么不是映射？ 根据映射的定义可知根据映射的定义可知:映射不能一对多映射不能一对多,只能一对只能一对一或多对一一或多对一.(1)映射三要素映射三要素(4)映射概念小结映射概念小结集合集合B中的每一个元素不一定在集合中的每一个元素不一定在集合A A中都有元中都有元素与之对应素与之对应; ;如有也不一定唯一如有也不一定唯一. .集合集合A中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合B B中
18、都有唯一的元中都有唯一的元素与之相对应素与之相对应, ,并且是唯一的并且是唯一的. .A, ,B必须是非空集合必须是非空集合, ,它可以是有限集它可以是有限集, ,也可以也可以是无限集是无限集, ,可以是数集可以是数集, ,也可以是点集或其它集合也可以是点集或其它集合. . A到到B的映射与的映射与B到到A的映射是不同的；的映射是不同的；集合集合A, ,B与对应法则与对应法则f是一个整体是一个整体, ,一个系统一个系统, ,对对应关系应关系f 可以用文字叙述可以用文字叙述, ,也可用一个式子或其他也可用一个式子或其他形式来表示形式来表示. .b1b2b3a1a3a2a4 a1a3a2a4b1b
19、2b3b4 a1a3a2a4b1b2b3b4 (1)(2)(3)24- -1048- -2001-12-20123(4)(5)是是不是不是不是不是是是是是例例1.下面下面7个对应个对应,其中哪些是集合到的映射其中哪些是集合到的映射?是是不是不是(6)三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形 180 360 540 720 f : 内角和内角和f:首都首都中中俄俄美美日日北京北京莫斯科莫斯科华盛顿华盛顿东京东京伦敦伦敦BA（8）是是语文书语文书数学书数学书英语书英语书物理书物理书化学书化学书f : 教科书教科书(7)张三张三李四李四例1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A=P
20、|P是数轴上的点，B=R，对应关系 ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A=P|P是平面直角坐标中的点，集合B=(x,y)|xR,yR,对应关系 ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A=x|x是三角形，B=x|x是圆,对应关系 ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=x|x是新华中学的班级,集合B=x|x是新华中学的学生,对应关系 ：每一个班级都对应班里的学生 ffff(1)是，(2)是，(3)是，(4)不是。例2，画图表示集合A到集合B的对应（集合 A，B各取4个元素） (1) 对应法则是“乘以2”；(2) 对应法则是“求算术平方根”；(3) 对应法则是“求倒数”；(4) 对应
21、法则是“求余弦”1,2,3,4 ,2,4,6,8ABA |0,x xBR|0 ,Ax xBR00| 090 ,|1.AaaBx x 函数实际上就是集合函数实际上就是集合A到集合到集合B的一个映射的一个映射f: :AB, ,其中其中A, ,B都是非都是非空的数集空的数集, ,对于自变量在定义域内的对于自变量在定义域内的任何一个值任何一个值x, ,在集合在集合B中都有唯一的中都有唯一的函数值和它对应函数值和它对应; ;自变量的值是原象自变量的值是原象, ,和它对应的函数值是象和它对应的函数值是象; ;原象的集合原象的集合A就是函数的定义域，象的集合就是函数的定义域，象的集合C就就是函数的值域是函数
22、的值域, ,很显然很显然, ,C B. .2.2.判断映射的方法判断映射的方法1.1.映射的定义、表示方法、象及原象的概念；映射的定义、表示方法、象及原象的概念； 映射映射由三个部分组成由三个部分组成：两个集合和一个：两个集合和一个对应关系；映射的记号是：对应关系；映射的记号是：:fABA中每个元素在中每个元素在B中必有唯一的元素和它中必有唯一的元素和它对应对应.A中元素与中元素与B中元素的对应关系，可以是：中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一一对一，多对一，但不能一对多，但不能一对多.映射有三个要素：两个集合、一个对应关映射有三个要素：两个集合、一个对应关系，三者缺一不可系，三者缺一不可.