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1、圆的基本概念与性质中考说明内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题自检自查必考点1 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径2 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距弧：圆
2、上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作，读作弧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧3 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。中考必做题一 与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( )（2）弦是直径 ( )（3）半圆是弧 ( )（4）弧是半圆 ( )（5）长度相等的两条弧是等弧 ( )（6）等弧的长度相等 ( )（7）两个劣弧之和等于半圆 ( )（8）半径相等的两个圆是等圆 ( )（9）两个半圆是等弧 ( )（10）圆的半径是，则弦
3、长的取值范围是大于且不大于 ( )【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）【例2】 如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，则下列格式中正确的是( )A B C D【答案】B【例3】 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线于、两点，连接若，则1的大小为_【答案】72【例4】 如图，内接于，是边上一点，是优弧的中点，连接、，当的长度为多少时，是以为底边的等腰三角形？并加以证明【答案】解：当时，是以为底边的等腰三角形证明：是优弧的中点 在与中， ，即时，是以为底边的等腰三角形【例5】 如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两
4、端放在正方形的相邻的两边上同时滑动如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为_【答案】 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点到正方形各顶点的距离都为1，故点所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点所经过的路线围成的图形的面积为正方形的面积减去4个扇形的面积二 垂径定理及其应用【例6】 如图，是的直径，是弦，于，交弧于（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若，求的半径【答案】（1）不同类型的正确结论有： （2）， 设的半径为，则，在中，由勾股定理
5、得： 解得： ，的半径为5【例7】 如图，在中，则圆心到的距离=_【答案】【例8】 如图，内接于，为线段的中点，延长交于点, 连接则下列五个结论,，正确结论的个数是( )A2 B3 C 4 D5【答案】A【例9】 如图，为的直径，为弦, ,如果,那么的大小为（ ）A B C D【答案】B【例10】 如图，是的在直径，弦于点，若，,则的直径为（ ）A B C D【答案】A【例11】 如图，是的外接圆，若的半径为2，则弦的长为（ ） A1 B C2 D【答案】D【例12】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个
6、镜面的半径是（ ）A2 B C D3 【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆 如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为圆镜的圆心，连结,由图可知 ，由勾股定理得半径【例13】 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且CD = 24 m，OECD于点E已测得（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ AOBECD【答案】（1）OECD于点E，CD=24， ED =12 在RtDOE中，sinDOE=， OD =13（m） （2）OE= 将水排
7、干需：小时【例14】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ） A5米 B 8米 C7米 D米【答案】B【例15】 如图，为的直径，弦,垂足是,连接，若,则_【答案】2【例16】 一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径,截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ） A16 B10 C8 D6【答案】A【例17】 已知，如图，与坐标轴交与（1,0）、( 5，0)两点，点的纵坐标为，求的半径。【答案】过 作,垂足为,则有由（1,0）、( 5，0)，得，在 中，的纵坐标为。的半径 = =【例18】 已知的直径是，的两条平行弦，求弦与间的距离【
8、答案】本题有两种情况：（1），在圆心的同侧，当，在圆心的同侧时，作于，交于如右图所示，由垂径定理知：，连结与，与之间的距离（2），在圆心的两侧如右图所示，与之间的距离【例19】 在半径为的中，弦的长分别为和，则的度数为_【答案】此题分两种情况讨论：（1）若在圆心的同侧，如图连结，过点分别作，垂足分别为则，（2）若在圆心的异侧，如图根据圆的对称性，综上所述，的度数为或【例20】 如图，是的直径，是弦，于,交于,（1）请写出四个不同类型的正确结论。（2）连接,设,试找出与之间的关系，并给与证明。【答案】(1);；;（2）答案不唯一，（如；;等也可）（） 同弦所对的圆周角相等或互补【例21】 问题探
9、究（1）在图的半径为的半圆内（含弧），画出一边落在直径上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？（2）在图的半径为的半圆内（含弧），画出一边落在直径上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？问题解决（3）如图，现有一块半径的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？ 【答案】如图 （1） ；（2） ；（3）36【例22】 如图，有一木制圆形脸谱工艺品，两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点处打一小孔现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点的位置（画出图形表示
10、），并且分别说明理由【答案】方法一：如图，画的垂线L交于，则点就是的中点，依据是垂径定理；方法二：如图，分别过点画与相交于点，过点画直线交于点，则点就是的中点，由画图知，易得，又，所以点在的中垂线上，所以；方法三：如图（原理同方法二）课后作业【题1】 如图，已知是的弦，半径，则 _ 【答案】作于，则平分.，【题2】 如图，海边立有两座灯塔，暗礁分布在经过两点的弓形（弓形是的一部分）区域内，为了避免触礁，轮船与的张角的最大值为_【答案】【解析】当点在优弧上时，的值最大，等于【题3】 如图，是 的直径，点都在上，连结已知 ，则的长是_【答案】6【解析】【题4】 如图，点为优弧所在圆的圆心，。点在延
11、长线上，则_【答案】【解析】 【题5】 如图，所对的（图中）的度数为，的半径为5，则弦的长为_ 【答案】【解析】连结，过作于所对的的度数为，又在中，由垂径定理得弦【题6】 如图，的两条弦互相垂直，垂足为，且，已知，则 的半径是_ 【答案】【解析】如图，作于，于，由垂径定理得，连结，在中，由勾股定理得，【题7】 高速公路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（ ） A5 B7 C D【答案】D【解析】考查了垂径定理、勾股定理特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算 解：,根据垂径定理和勾股定理可得由垂
12、径定理得米，设圆的半径为，则结合勾股定理得，即，解得米【题8】 如图，已知是的弦，半径求的面积【难度】4星【解析】如图，作于，则作于点，则有在中，所以，所以【答案】【题9】 如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，市位于点的北偏东75方向上，距离点480千米（1）说明本次台风是否会影响市；（2）若这次台风会影响市，求市受台风影响的时间【答案】（1）作于点在中，由条件知，本次台风会影响B市（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束由（1）得，由条件得， 台风影响的时间 故B市受台风影响的时间为5小时