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1、专题15：应用题一、选择题1.（2017湖南长沙第11题）中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A24里 B12里 C6里 D3里【答案】C【解析】试题分析：设第一天走了x里，则根据题意知，解得x=192，故最后一天的路程为里.故选：C考点：等比数列2.（2017山东临沂第8题）甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相
2、等，求甲、乙每小时各做零件多少个.如果设乙每小时做个，那么所列方程是（ ）A B C D【答案】B考点：分式方程的应用3.（2017浙江台州第9题）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
3、A 10分钟 B13分钟 C. 15分钟 D19分钟【答案】D考点：1、列代数式，2、二元一次方程的应用，3、根据数量关系列出方程二、填空题1.(2017北京第12题)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为_学-科网【答案】 .【解析】试题分析：由题意得：4个篮球和5个足球共花费435元，可列方程：4x+5y=435,篮球的单价比足球的单价多3元，可列方程：x-y=3,联立方程即可.考点：二元一次方程组的应用.2.(2017山东滨州第9题)某车间有27名工人，生产
4、某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）A22x16(27x)B16x22(27x)C216x22(27x)D222x16(27x)【答案】D【解析】设分配x名工人生产螺栓,则（27-x）人生产螺母,根据一个螺栓要配两个螺母可得方程222x=16（27-x），故选D.3.(2017辽宁沈阳第15题)某商场购进一批单价为20元的日用商品.如果以单价30元销售，那么半月内可销售出 400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减
5、少20件，当销售量单价是 元时，才能在半月内获得最大利润.【答案】35.考点：二次函数的应用.4.（2017江苏苏州第17题）如图，在一笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则 （结果保留根号）【答案】 .【解析】试题分析：作 ,垂足为 在 中， , 开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等， .考点：特殊角三角函数的应用 .5. (2017浙江金华第16题)在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不
6、能进人小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.(1)如图，若，则 (2)如图,现考虑在(1)中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域,使之变成落地为五边的小屋,其它条件不变.则在的变化过程中,当取得最小值时，边长的长为 【答案】.【解析】试题分析：（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，4为半径的个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的个圆；所以S= ；（2）设BC=x,则AB=10-x，=（-10x+250），当x=时，S最小，即BC=.6. （2017浙江台州第14题）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少定为 元/
7、千克【答案】10【解析】试题分析：设售价至少应定为x元/千克，依题可得方程x（1-5%）80760，从而得出x10.故答案为：10.考点：一元一次不等式的应用三、解答题1.(2017天津第22题)如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔120海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求和的长（结果取整数）.参考数据：，取.【答案】BP=153；BA=161.【解析】试题分析：如图，过点P作PCAB，垂足为C，由题意可知，A=64，B=45，PA=120,在RtAPC中，求得PC、AC的长；在RtBPC中，求得BP、BC的长，即可得BA的长.试题解析：如图，过点P
8、作PCAB，垂足为C，由题意可知，A=64，B=45，PA=120,在RtAPC中，sinA=，PC=PAsinA=120sin64， AC=PAcosA=120cos64，在RtBPC中，sinB=，BP= BC=BA=BC+AC=120sin64+120cos641200.90+1200.44161答：BP的长约有153海里，BA的长约有161海里2.(2017天津第23题)用纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.设在同一家复印店一次复印文件的页
9、数为（为非负整数）.（1）根据题意，填写下表：一次复印页数（页）5102030甲复印店收费（元）2乙复印店收费（元）（2）设在甲复印店复印收费元，在乙复印店复印收费元，分别写出关于的函数关系式；（3）当时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由.【答案】（1）1，3，1.2，3.3.（2）=0.1x（x0）；当0x20时，=0.12x，当x20时，=0.1220+0.09（x-20），即=0.09x+0.6.(3) 当x70时，顾客在乙复印店复印花费少，理由见解析.【解析】试题分析：(1)根据在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元和在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每
10、页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元计算填空即可；（2）根据在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元和在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元，直接写出函数关系式即可；（3）当x70时，有=0.1x，=0.09x+0.6，计算出-的结果，利用一次函数的性质解决即可.试题解析：（1）1，3，1.2，3.3.（2）=0.1x（x0）；当0x20时，=0.12x，当x20时，=0.1220+0.09（x-20），即=0.09x+0.6.3.(2017福建第20题)我国古代数学著作孙
11、子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足问鸡兔各几何”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解【答案】鸡有23只，兔有12只.【解析】试题分析：设鸡有x只，兔有y只，由等量关系：鸡兔共有35只，共有足94足，列出方程组，解方程组即可得.试题解析：设鸡有x只，兔有y只，由题意得： ，解得 ，答：鸡有23只，兔有12只.4.(2017河南第19题)如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船.此时，船在船的正南方向5海
12、里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向.已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：，）【答案】C船至少要等待0.94小时才能得到救援.【解析】试题分析：过点C作交AB的延长线于点D，可得CDA=90，根据题意可知CDA=45，设CD=x，则AD=CD=x，在RtBDC中，根据三角函数求得CD、BC的长，在RtADC中，求得AC的长，再分别计算出B船到达C船处约需时间和A船到达C船处约需时间，比较即可求解.试题解析：过点C作交AB的延长线于点D，则CDA=90已知CDA=45，设CD=x，则AD=CD=xBD=AD-
13、AB=x-5在RtBDC中，CD=BDtan53，即x=（x-5）tan53 BC= B船到达C船处约需时间：2525=1（小时）在RtADC中，AC=1.4120=28.2A船到达C船处约需时间：28.230=0.94（小时）而0.941，所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.考点：解直角三角形的应用.5.(2017河南第21题)学校“百变魔方”社团准备购买，两种魔方.已知购买2个种魔方和6个种魔方共需130元，购买3个种魔方和4个种魔方所需款数相同.（1）求这两种魔方的单价；（2）结合社员们的需求，社团决定购买，两种魔方共100个（其中种魔方不超过50个）.某商店有两种优惠活动，如图
14、所示.请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.【答案】(1) A、B两种魔方的单价分别为20元、15元；(2) 当45m50时，活动二更实惠；当m=45时，活动一、二同样实惠；当0m45（或0m时，10m+600-10m+1500，所以m45；=时，10m+600=-10m+1500，所以m=45；时，10m+600-10m+1500，所以m45；当45m50时，活动二更实惠；当m=45时，活动一、二同样实惠；当0m45（或0m90解这个不等式得，x为非负整数x至少为18答：小明至少答对18道题才能获得奖品.考点：一元一次不等式的应用.18. (2017江苏宿迁第21题)（本题满分
15、6分）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点处测得正前方小岛的俯角为，面向小岛方向继续飞行到达处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）【答案】【解析】试题分析：过点C作CHAB，垂足为H，则CH的长度即为飞机飞行的高度.设CH=xkm，在RtACH中，用x表示出AH的长；在RtACH中，BHC=90，可得BH=CH=x，根据为AH+HB=AB=10列出方程，解方程求得x的值，即可得飞机飞行的高度.试题解析：过点C作CHAB，垂足为H，则CH的长度即为飞机飞行的高度.设CH=xkm，在RtACH中，AHC=90，CAH=30，因
16、为tanCAH=,所以AH=，又在RtACH中，BHC=90，CBH=45，所以BH=CH=x因为AH+HB=AB=10,所以，解得 ，答：飞机飞行的高度为19. (2017江苏宿迁第23题)（本题满分8分）小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书某天早上，小强从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留分钟，校车行驶途中始终保持匀速当天早上，小刚从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早分钟到学校站点他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程（千米）与行驶时间（分钟）之间的函数图象如图所示（1）求点的纵坐标的值；学科网（2）小刚
17、乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程【答案】（1）；（2）当小刚乘坐出租车出发后经过5分钟追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程千米【解析】试题分析：试题解析：(1)因为校车的速度为：34=（千米/分钟），所以m=.(2)因为 ，所以A(8,),B(10,)因为 ，所以C(16,9),E(15,9),F(9,0)设线段BC的解析式为（10x16），所以 ，解得：，所以（10x16）设线段EF的解析式为（9x15），所以 ，解得：，所以（9x15）联立得：，解得因为14-9=5（分钟），（千米）答：当小刚乘坐出租车出发后经过5分钟追到小强所乘坐的
18、校车，此时他们距学校站点的路程千米20. （2017江苏苏州第22题）（本题满分6分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）是行李质量（）的一次函数已知行李质量为时需付行李费元，行李质量为时需付行李费元（1）当行李的质量超过规定时，求与之间的函数表达式；（2）求旅客最多可免费携带行李的质量【答案】（1）求与之间的函数表达式为；（2）【解析】试题分析：（1）用待定系数法求一次函数的表达式；（2）旅客最多可免费携带行李的质量就是 时x的值 .考点：一次函数的实际应用21. (2017山东菏泽第19题)列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照
19、控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按元销售时，每天可销售个；若销售单价每降低元，每天可多售出个.已知每个玩具的固定成本为元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？【答案】这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润元.【解析】试题分析：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润元,根据销售单价每降低元，每天可多售出个可得现在销售160+2(480-x)个，再利用获利润元，列一元二次方程解求解即可.试题解析：【解】解：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润元，由题意得,(x-360)160+2(480-x)=20000（x-3
20、60）(1120-2x)=20000（x-360）(560-x)=10000这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润元.22. (2017山东菏泽第18题)如图，某小区号楼与号楼隔河相望，李明家住在号楼，他很想知道号楼的高度，于是他做了一些测量.他先在点测得点的仰角为60，然后到42米高的楼顶处，测得点的仰角为30，请你帮李明计算号楼的高度.【答案】63.【解析】试题分析：作AECD, 设AE=BD=x，先求出，再列方程得，最后CD=.试题解析：【解】作AECD,设AE=BD=x,在直角AEC中,AE=x，CAE=30在直角BDC中BD=x，CAE=60AB=DE=42CD=23. (
21、2017浙江舟山第22题)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽.小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成（），身体前倾成（），脚与洗漱台距离（点在同一直线上）.（1）此时小强头部点与地面相距多少？（2）小强希望他的头部恰好在洗漱盆中点的正上方，他应向前或后退多少？（，结果精确到）【答案】(1) 他头部E点与地面DK相距约144.5cm；（2）他应向前10.5cm.【解析】试题分析：（1）过点F作FNDK于点N，过点E作EMFN于点M，他头部E点与地面DK的距离即为MN，由EF+FG=166，FG=100，则EF=66，由角的正弦值和余弦值即可解答；（2）过点E作EPAB于
22、点P，延长OB交MN于点H，即求OP=OH-PH，而PH=EM，OH=OB+BH=OB+CG+GN，在RtEMF求出EM，在RtFGN求出GN即可.试题解析：过点F作FNDK于点N，过点E作EMFN于点M，EF+FG=166，FG=100，EF=66，FGK=80，FN=100sin8098，又EFG=125，EFM=180-125-10=45，FM=66cos45=3346.53，MN=FN+FM144.5.他头部E点与地面DK相距约144.5cm。（2）解：过点E作EPAB于点P，延长OB交MN于点H。AB=48，O为AB的中点，AO=BO=24，EM=66sin4546.53，即PH46
23、.53GN=100cos801,8，CG=15，OH=24+15+18=57OP=OH-PH=57-46.53=10.4710.5，他应向前10.5cm。考点：解直角三角形24. (2017浙江舟山第24题)如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年 月 日，天气：阴；能见度：1.8千米11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地交叉潮
24、的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：s=，（是常数）刻画.（1）求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？学科网（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）.【答案】（1）m=30，0.4；（2）小红5分钟后与潮头相遇；（3）小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.【解析】试题分析：（1）11:
25、40到12:10的时间是30分钟，由图3可得甲乙两地的距离是12km，则可求出速度；（2）此题是相遇问题，求出小红出发时，她与潮头的距离；再根据速度和时间=两者的距离，即可求出时间；（3）由（2）中可得小红与潮头相遇的时间是在12:04，则后面的运动过程为12:04开始，小红与潮头并行6分钟到12:10到达乙地，这时潮头开始从0.4千米/分加速到0.48千米/分钟，由题可得潮头到达乙后的速度为v=， 在这段加速的过程，小红与潮头还是并行，求出这时的时间t1，从这时开始，写出小红离乙地关于时间t的关系式s1，由s-s1=1.8，可解出的时间t2（从潮头生成开始到现在的时间），所以可得所求时间=6
26、+t2-30。试题解析：（1）解：11:40到12:10的时间是30分钟，则B（30,0），潮头从甲地到乙地的速度=0.4（千米/分钟）.（2）解：潮头的速度为0.4千米/分钟，到11:59时，潮头已前进190.4=7.6（千米），此时潮头离乙地=12-7.6=4.4（千米），设小红出发x分钟与潮头相遇，0.4x+0.48x=4.4，x=5,小红5分钟后与潮头相遇.（3）解：把（30,0），C（55,15）代入s=，解得b=，c=,s=.v0=0.4，v=,当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即v=0.48时，=0.48，t=35，当t=35时，s=，从t=35分钟（12:15时）开
27、始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头.设小红离乙地的距离为s1,则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h(t35)，当t=35时，s1=s=,代入得：h=,所以s1=最后潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，所以,，解得t1=50,t2=20（不符合题意，舍去）t=50,小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50-30=26分钟，小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟. 考点：二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题25. (2017浙江金华第21题)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点上正方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式已知点与球网的水平距离为，球网的高度为（1）当时，求的值通过计算判断此球能否过网（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值【答案】（1）h=;此球能过网，理由见解析；（2）a= .【解析】试题分析：（1）利用a=，（0，1）代入解析式即可求出h的值；利用x=5代入解析式求出y，再与1.55比较大小即可判断是否过网；（2）将点（0，1），（7，）代入解析式得到一个二元