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1、玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学选填题高端精品 专题三、函数的几何综合问题【考法综述】1.对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象注意：函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上2.一次函数的性质：k0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k0，y随x的
2、增大而减小，函数从左到右下降由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴学=科网k0，b0y=kx+b的图象在一、二、三象限；k0，b0y=kx+b的图象在一、三、四象限；k0，b0y=kx+b的图象在一、二、四象限；k0，b0y=kx+b的图象在二、三、四象限3. 二次函数y=ax2+bx+c（a0）二次项系数a决定抛物线的开口方向
3、和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点二次函数的解析式有三种常见形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的
4、交点坐标是（0，c）；顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）4. 反比例函数的性质（1）反比例函数（k0）的图象是双曲线；（2）当k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点反比例函数（k为
5、常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在y=k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|【典例剖析】考点一、一次函数的综合问题例1如图，已知直线l：，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A（0，128）B（0，256）C（0，512）D（0，1024）【解析】试题分析：根据所给直线解析式可得
6、l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A4坐标即可试题解析：直线l的解析式为；y=x，l与x轴的夹角为30，ABx轴，ABO=30，OA=1，OB=2，AB=，A1Bl，ABA1=60，A1O=4，A1（0，4），同理可得A2（0，16），A4纵坐标为44=256，A4（0，256）故选B【点评】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3的点的坐标是解决本题的关键&变式训练&变式1.1如图，直线l：y=x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB
7、1=OA1；过点B1作A2B1x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2=B1A2；过点B2作A3B2x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3=B2A3；记OA1B1面积为S1，B1A2B2面积为S2，B2A3B3面积为S3，则S2017等于（）A24030B24031C24032D24033【解析】试题分析：根据已知条件得到OA1B1，B1A2B2，B2A3B3是等腰直角三角形，根据最新的解析式得到A1（0，1），求得B1（1，0），得到OB1=OA1=1，根据三角形的面积公式得到S1=11=12，同理S2=22=22，S3=44=42；得到Sn=22n2=22n3
8、，于是得到结论试题解析：OB1=OA1；过点B1作A2B1x轴，B1B2=B1A2；A3B2x轴，B2B3=B2A3；OA1B1，B1A2B2，B2A3B3是等腰直角三角形，y=x+1交y轴于点A1，A1（0，1），B1（1，0），OB1=OA1=1，S1=11=12，同理S2=22=22，S3=44=42；Sn=22n2=22n3，S2017=2220173=24031，故选B【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键变式1.2如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，
9、过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，则点A2017的横坐标是试题解析：由直线l：y=x与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（0，），OB1=1，OB1D=30，如图所示，过A1作A1AOB1于A，则OA=OB1=，学=科网即A1的横坐标为=，由题可得A1B2B1=OB1D=30，B2A1B1=A1B1O=60，A1B1B2=90，A1B2=2A1B1=2，过A2作A2BA1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1=，过A3作A3CA2
10、B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2=，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4=，由此可得，An的横坐标为，点A2017的横坐标是，故答案为：变式1.3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作AB1AB交x轴于点B1，过点B1作B1A1x轴交直线l于点A2依次作下去，则点Bn的横坐标为【答案】【解析】试题解析：由直线l：y=x+1交x轴于点B，交y轴于点A，可得A（0，1），B（，0），tanABO=，即ABO=30，BA=2AO=2，又AB1AB交x轴于点B1，AO=1，AB1=，RtBAB1中，B
11、B1=；由题可得BA1=，A1B2=，RtBA1B2中，BB2=；由题可得BA2=，A2B3=，RtBA2B3中，BB3=，以此类推，BBn=，又BO=，OBn=，点Bn的横坐标为，故答案为：【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点的坐标变化规律问题，解题的关键是依据含30角的直角三角形的性质得出BBn=考点二、一次函数的实际应用问题例2高速公路上依次有3个标志点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从ABC，乙车从CBA，甲、乙两车离B的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象如图所示观察图象，给出下列结论：A、C之间的路程为690千
12、米；乙车比甲车每小时快30千米；4.5小时两车相遇；点E的坐标为（7，180），其中正确的有 （把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】故A、C之间的路程为690千米是正确的；45052404=9060=30（千米/小时）故乙车比甲车每小时快30千米是正确的；690（4505+2404）=690（90+60）=690150=4.6（小时）故4.6小时两车相遇，原来的说法是错误的；（450240）（45052404）=210（9060）=21030=7（小时），45057450=630450=180（千米）故点E的坐标为（7，180）是正确的，故其中正确的有故答案为：【点评】本题考查了一次函数
13、的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题&变式训练&变式2.1甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示下列说法：a=40；甲车维修所用时间为1小时；两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A
14、0个B1个C2个D3个【答案】A【解析】试题分析：由图象的数量关系，由速度=路程时间就可以直接求出结论；先由图象条件求出行驶后面路程的时间，然后可求出维修用的时间；由图象求出BC和EF的解析式，然后由其解析式构成二元一次方程组就可以求出t的值；当t=3时，甲车行的路程为120km，乙车行的路程为：80（32）=80km，两车相距的路程为：12080=40km故正确，如图：甲车维修的时间是1小时，B（4，120）乙在甲出发2小时后匀速前往B地，比甲早30分钟到达E（5，240）乙行驶的速度为：2403=80，乙返回的时间为：24080=3，F（8，0）两车在途中第二次相遇时t的值为5.25小时，
15、故弄正确，当t=3时，甲车行的路程为：120km，乙车行的路程为：80（32）=80km，两车相距的路程为：12080=40千米，故正确，故选：A学=科网【点评】本题是一道一次函数的综合试题，考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与二元一次方程组的运用，解题的关键是理解图象，找准图象中的数量关系来源:Zxxk.Com变式2.2甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象则下列结论：（1）a=40，m=1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比
16、乙迟h到达B地；（4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km正确的个数是（）A1B2C3D4【答案】C试题解析：（1）由题意，得m=1.50.5=1120（3.50.5）=40（km/h），则a=40，故（1）正确；（2）120（3.52）=80km/h（千米/小时），故（2）正确；（3）设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y=kx+b，由题意，得解得：y=40x20，根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，把y=260代入y=40x20得，x=7，乙车的行驶速度：80km/h，乙车的行驶260km需要26080=3.25h，7（2+3.25）=h，甲比乙迟h到
17、达B地，故（3）正确；（4）当1.5x7时，y=40x20设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=kx+b，由题意得解得：y=80x160当40x2050=80x160时，解得：x=当40x20+50=80x160时，解得：x=2=，2=所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故（4）错误故选（C）变式2.3甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象则下列四种说法：甲的
18、速度为1.5米/秒；a=750；乙在途中等候甲100秒；乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】试题解析：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则甲的速度是：900600=1.5米/秒，故正确；甲跑500秒时的路程是：5001.5=750米，故正确；CD段的长是900750=150米，时间是：560500=60秒，则乙速度是：15060=2.5米/秒；甲跑150米用的时间是：1501.5=100秒，则甲比乙早出发100秒乙跑750米用的时间是：7502.5=300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500300100=100秒
19、，故正确；甲每秒跑1.5米，则甲的路程与时间的函数关系式是：y=1.5x，乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则AB段的函数解析式是：y=2.5（x100），根据题意得：1.5x=2.5（x100），解得：x=250秒乙的路程是：2.5（250100）=375（米）甲出发250秒和乙第一次相遇，此时乙跑了375米，故正确故选（D）考点三、反比例函数的几何问题例3如图，已知动点P在函数y=（x0）的图象上运动，PMx轴于点M，PNy轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=x+1交于点E，F，则AFBE的值为（）A4B2C1D【答案】C在直角三角形BNF中，NBF=45（OB=OA=1，三角形O
20、AB是等腰直角三角形），NF=BN=1，F点的坐标为（1，），同理可得出E点的坐标为（a，1a），AF2=（11+）2+（）2=，BE2=（a）2+（a）2=2a2，AF2BE2=2a2=1，即AFBE=1故选C【点评】本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值&变式训练&变式3.1如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，OAB和BCD都是等腰直角三角形，OAB=BCD=90，若函数y=（x0）的图象经过点D，则OAB与BCD的面积之差为（）A12B6C3D2【答案】C【解析】
21、试题分析：根据OAB和BCD都是等腰直角三角形，可得OA=AB，CD=BC设OA=a，CD=b，则点D的坐标为（a+b，ab），根据反比例函数y=在第一象限的图象经过点D，即可得到a2b2=6，进而得出OAB与BCD的面积之差学=科网试题解析：OAB和BCD都是等腰直角三角形，OA=AB，CD=BC设OA=a，CD=b，则点D的坐标为（a+b，ab），反比例函数y=在第一象限的图象经过点D，（a+b）（ab）=a2b2=6，OAB与BCD的面积之差=a2b2=6=3故选：C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a2b2的值是解题的
22、关键变式3.2如图，在反比例函数y=的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动，若tanCAB=2，则k的值为（）A3B6C9D12【答案】B【解析】试题分析：连接OC，过点A作AEx轴于点E，过点C作CFy轴于点F，通过角的计算找出AOE=COF，结合“AEO=90，CFO=90”可得出AOECOF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tanCAB=2，可得出CFOF的值，进而得到k的值试题解析：如图，连接OC，过点A作AEy轴于点E，过点C作CFy轴于点F，由直线AB与反比例函数y=的对称性可知
23、A、B点关于O点对称，AO=BO又AC=BC，COABAOE+AOF=90，AOF+COF=90，AOE=COF，又AEO=90，CFO=90，AOECOF，=，tanCAB=2，CF=2AE，OF=2OE又AEOE=，CFOF=|k|，k=6点C在第二象限，k=6，故选：B【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CFOF=6解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论变式3.3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k0）分别交反比例函数y=和y=在第一
24、象限的图象于点A，B，过点B作 BDx轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC若ABC是等腰三角形，则k的值是【答案】或【解析】试题分析：根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论AB=BC，AC=BC，即可解题点C横坐标为，纵坐标为=，点C坐标为（，），BAAC，若ABC是等腰三角形，AB=BC，则=3，解得：k=；AC=BC，则=3，解得：k=；故答案为 k=或【点评】本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键考点四、一次函数与反比例函数的交点综合问题例4如图，一次函数y=x+b的图象与反比
25、例函数y=的图象交于点A（3，6）与点B，且与y轴交于点C，若点P是反比例函数y=图象上的一个动点，作直线AP与x轴、y轴分别交于点M、N，连结BN、CM若SACM=SABN，则的值为 _【答案】2或4试题解析：把A（3，6）代入到一次函数y=x+b与反比例函数y=中，得：b=3，k=18，y=，y=x+3，C（0，3），则，解得：，B（6，3），分两种情况：当点P在第一象限时，如图1，SACM=SABN，SMNCSACN=SACN+SBCN，SMNC=2SACN+SBCN，NCOM=2NC3+NC6，OM=6+6=12，M（12，0），直线AM的解析式为：y=x+8，N（0，8），则，解得：
26、x=3或9，P（9，2），AN=，AP=2，=2；当点P在第三象限上时，如图2，SACM=SABN，SACN+SMNC=SACN+SBCN，SMNC=SBCN，NCOM=NC6，OM=6，M（6，0），直线AM的解析式为：y=x+4，N（0，4），则，解得：x=3或9，P（9，2），AN=，AP=4，=4，综上所述，则的值为2或4；故答案为：2或4【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，还考查了函数图象上点的特征、三角形面积、动点问题、勾股定理及解析式的确定，有难度，并采用了分类讨论的思想，根据已知三角形面积相等列等式是关键&变式训练&变式4.1一次函数（k是自然数的常数）的图象与两
27、坐标轴所围成的图形的面积为Sk，则S1+S2+S3+S100的值是（）A50B101CD【答案】D变式4.2当x2时，函数y=2x+b的图象上至少有一点在函数y=的图象下方，则b的取值范围为（）学+科网AbBbCb3D2【答案】B【解析】试题分析：先根据x的取值，求得直线与双曲线的交点坐标，再根据函数y=2x+b的图象上至少有一点在函数y=的图象下方，即可得到b的取值范围试题解析：在函数y=中，令x=2，则y=；令x=，则y=2；若直线y=2x+b经过（2，），则=4+b，即b=；若直线y=2x+b经过（，2），则2=1+b，即b=3，直线y=2x+在直线y=2x+3的上方，当函数y=2x+b
28、的图象上至少有一点在函数y=的图象下方时，直线y=2x+b在直线y=2x+的下方，b的取值范围为b故选：B【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数与系数的关系，解题时注意：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴变式4.3方程x2+3x1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x2+2x1=0的实数根x0所在的范围是（）A1x00B0x01C1x02D2x03【答案】B【解析】试题分析：
29、方程x2+2x1=0的实数根可以看作函数y=x+2和y=的交点，判断各个选项中的自变量的值对应的点是否在交点的同侧还是异侧即可判断试题解析：方程x2+2x1=0的实数根可以看作函数y=x+2和y=的交点函数大体图象如图所示：A由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于2，故1x00错误；B当x=1时，y1=1+2=3，y2=1，而31，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故0x01正确；C当x=1时，y1=1+2=3，y2=1，而31，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故1x02错误；D当x=2时，y1=2+2=4，y2=，而4，根据函数的增减性可知，第一象
30、限内的交点的横坐标小于2，故2x03错误故选：B【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，运用数形结合思想是关键求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点考点五、二次函数的性质问题例5抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点是点A（3，0），其部分图象如图，则下列结论：2a+b=0；b24ac0；一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的另一个解是x=1；点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x10x2，则y1y2其中正确的结论是_（把所有正确结论的序号都填在横线上）
31、【答案】【解析】试题分析：根据对称轴列式可得；由抛物线与x轴交点的个数判定；由对称性得；分四种情况进行讨论：因为对称轴的左右增减性不同，分为在同侧，两侧时，两侧时还要分在对称点左右时，与图形相结合作出判断试题解析：因为二次函数的对称轴为x=1，所以=1，即b=2a，2a+b=0，故正确；由图象知抛物线与x轴有两个不同的交点，即一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，此时b24ac0，故错误；【点评】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：来源:学科网ZXXK当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；当a与b同号时（即ab0），对称
32、轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点抛物线对称轴x=；a0时，抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小；a0时，抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大，左侧，y随x的增大而减小；第条在应用时较难，注意利用数形结合的思想&变式训练&变式5.1关于二次函数y=ax2+bx+c图象有下列命题：（1）当c=0时，函数的图象经过原点；（2）当c0
33、时，函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；（3）当b=0时，函数图象关于原点对称其中正确的个数有（）A0个B1个C2个D3个【答案】C【解析】试题分析：当b=0时，函数解析式缺少一次项，对称轴x=0，是y轴；当c=0时，缺少常数项，图象经过（0，0）点；当c0时，图形交y轴正半轴，开口向下，即a0，此时ac0，方程ax2+bx+c=0的0试题解析：根据二次函数的性质可知：（1）当c=0时，函数的图象经过原点，正确；（2）当c0时，函数的图象开口向下时，图象与x轴有2个交点，所以方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根，正确；（3）当b=0时，函数图象关于原点对称，错误
34、有两个正确故选C变式5.2设函数y=kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当xm时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A2B2C1D0【答案】B【解析】试题分析：先根据函数的解析式，再由对于任意负实数k，当xm时，y随x的增大而增大可知m，故可得出m的取值范围，进而得出m的最大整数值试题解析：对于任意负实数k，当xm时，y随x的增大而增大，k为负数，即k0，函数y=kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，对于任意负实数k，当xm时，y随x的增大而增大，x=m=k0，0，m对一切k0均成立，m，m的最大整数值是m=2故选：B变式5
35、.3二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，下列四个结论：4a+c0；m（am+b）+ba（m1）；关于x的一元二次方程ax2+（b1）x+c=0没有实数根；ak4+bk2a（k2+1）2+b（k2+1）（k为常数）其中正确结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个【答案】D试题解析：因为二次函数的对称轴是直线x=1，由图象可得左交点的横坐标大于3，小于2，所以=1，b=2a，当x=3时，y0，即9a3b+c0，9a6a+c0，3a+c0，a0，4a+c0，所以此选项结论正确；抛物线的对称轴是直线x=1，y=ab+c的值最大，即把x=m（m1）代入得：y=am2+bm+cab+c，来源:
36、学+科+网Z+X+X+Kam2+bmab，m（am+b）+ba，所以此选项结论不正确；ax2+（b1）x+c=0，=（b1）24ac，a0，c0，ac0，4ac0，（b1）20，0，关于x的一元二次方程ax2+（b1）x+c=0有实数根；【点评】本题考查二次函数与系数关系，在解题时，注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴，特殊点的关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型考点六、二次函数的综合问题例6 已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程x2bxc=0在1x3的范围内有实数根，则c的取值范围是（）Ac=4B5c4C
37、5c3或c=4D5c3或c=4【答案】D【解析】试题分析：由对称轴x=2可求出b的值，然后分别求出x=1和x=3时的函数值，列出不等式即可求出c的范围试题解析：由对称轴x=2可知：b=4，抛物线y=x24x+c令x=1时，y=c+5x=3时，y=c3关于x的一元二次方程x2bxc=0在1x3的范围有实数根，当=0时，即c=4，此时x=2，满足题意当0时，（c+5）（c3）0，5c3当c=5时，此时方程为：x2+4x+5=0解得：x=1或x=5不满足题意，当c=3时，此时方程为：x2+4x3=0解得：x=1或x=3此时满足题意，故5c3或c=4故选（D）学科=网【点评】本题考查抛物线与x轴的交点
38、，解题的关键将分情况讨论，从而求出c的范围，本题属于难题&变式训练&变式6.1小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为_cm【答案】248【解析】试题分析：先建立直角坐标系，过A作AGOC于G，交BD于Q，过M作MPAG于P，根据ABQACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物
39、线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离又水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得，解得，抛物线为y=x2+x+24，又点E的纵坐标为10.2，令y=10.2，则10.2=x2+x+24，解得x1=6+8，x2=68（舍去），点E的横坐标为6+8，又ON=30，EH=30（6+8）=248故答案为：248【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二
40、次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题变式6.2在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，6），若抛物线y=ax2+（a+2）x+2与线段AB有且仅有一个公共点，则a的取值范围是 【答案】5a1【解析】试题分析：把A，B代入y=ax2+（a+2）x+2，求出a的值，即可解答试题解析：如图，当抛物线过A点，B点时为临界，代入A（2，0）则4a2（a+2）+2=0，解得：a=1，代入B（1，6），则a+（a+
41、2）+2=6，解得：a=5，则5a1故答案为5a1【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，之前的理解题意是解题的关键变式6.3定义a，b，c为二次函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为2m，1m，1m的函数的一些结论：当m=3时，函数图象的顶点坐标是（，）；当m=时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；当m0时，函数在x时，y随x的增大而减小；当m0时，函数图象恒过定点其中正确的结论有_（将所有正确结论的序号都填上）【答案】【解析】试题分析：利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、顶点坐标的
42、求法，这往往是进一步研究二次函数的性质的基础【实战演练】1. （2017浙江嘉兴第10题）下列关于函数的四个命题：当时，有最小值10；为任意实数，时的函数值大于时的函数值；若，且是整数，当时，的整数值有个；若函数图象过点和，其中，则其中真命题的序号是（ ）ABCD 【答案】C【解析】试题解析：y=x2-6x+10=（x-3）2+1，当x=3时，y有最小值1，故错误；当x=3+n时，y=（3+n）2-6（3+n）+10，当x=3-n时，y=（n-3）2-6（n-3）+10，（3+n）2-6（3+n）+10-（n-3）2-6（n-3）+10=0，n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故错误；抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，a=10，当x3时，y随x的增大而增大，当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10，当x=n时，y=n2-6n+10，（n+1）2-6（n+1）+10-n2-6n+10=2n-4，n是整数，2n-4是整