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1、第21讲圆的基本性质1圆的基本概念及性质 (1)基本概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作O. 弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦 圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角 圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 (2)性质： 对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任一条直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心 旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合2垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于
2、弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 3弦、弧、圆心角的关系定理及推论 弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等
3、的圆周角所对的弧相等 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 注意：圆周角定理运用在“同圆或等圆”中，一条弦对应两条弧，对应两个互补的圆周角；一条弧只对应一个圆心角，对应无数圆周角5四边形和圆 圆内接四边形的对角互补，如图，DB180，AC180. 考点1：垂径定理【例题1】（2018浙江衢州3分）如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A3cmB cmC2.5cmD cm【答案】D【考点】垂径定理【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即
4、可【解答】解：连接OB，AC是O的直径，弦BDAO于E，BD=8cm，AE=2cm在RtOEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，OB=3+2=5，EC=5+3=8在RtEBC中，BC=OFBC，OFC=CEB=90C=C，OFCBEC，即，解得：OF= 故选D归纳：1垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧2圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解3事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，
5、就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长考点2：圆周角定理及其推论【例题2】(2017临沂)如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DEDB；(2)若BAC90，BD4，求ABC外接圆的半径【解析】：(1)证明：AD平分BAC，BE平分ABC，BAECAD，ABECBE.DBCBAE.DBECBEDBC，DEBABEBAE, DBEDEB.DEDB.(2)连接CD.，CDBD4.BAC90，BC是直径BDC90.BC4.ABC外接圆的半径为2.归纳：利用圆周角定理在解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理进行角度的相关计算
6、，常作的辅助线有：已知直径，作其所对的圆周角；已知90圆周角作其所对弦，即直径同圆的半径相等，有时需要连接半径，用它来构造等腰三角形， 再根据等腰三角形等边对等角以及三线合一来进行证明和计算.考点3：圆内接四边形【例题3】如图，PQR是O的内接正三角形，四边形ABCD是O的内接正方形，BCQR，则DOR的度数是（）A60B65C72D75【答案】D【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角POR和POD，二者的差就是所求【解答】解：连结OD，如图，PQR是O的内接正三角形，PQ=PR=QR，POR=360=120，四边形ABCD
7、是O的内接正方形，AOD=90，DOP=90=45，AOQ=PORDOP=75故选D归纳：1找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质2在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍一、选择题：1. （2017四川眉山）如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=5cmA6 B4 C3 D5【答案】D【解答】解：连接OA，OCAB，AD=AB=4cm，设O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+
8、OD2，R2=42+（R2）2，解得R=5OC=5cm故答案为52. （2018山东青岛3分）如图，点A、B、C、D在O上，AOC=140，点B是的中点，则D的度数是（）A70B55C35.5D35【答案】D【解答】解：连接OB，点B是的中点，AOB=AOC=70，由圆周角定理得，D=AOB=35，故选：D3. （2018浙江临安3分）如图，O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交O于B、C点，则BC=（）A6B6C3D3【答案】A【解答】解：设OA与BC相交于D点AB=OA=OB=6OAB是等边三角形又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD= =3所以BC=6故选：A4.
9、 （2018山东菏泽3分）如图，在O中，OCAB，ADC=32，则OBA的度数是（）A64B58C32D26【答案】D【解答】解：如图，由OCAB，得=，OEB=902=32=21=232=643=64，在RtOBE中，OEB=90，B=903=9064=26，故选：D5. 已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A2cm B4cmC2cm或4cmD2cm或4cm【答案】C【解答】解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm
10、，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选：C二、填空题：6. 如图，在O中，弦ABCD，若ABC=40，则BOD=80【答案】80【解答】解：ABCD，C=ABC=40，BOD=2C=80故答案为807. （2018济宁）如图，点B，C，D在O上，若BCD=130，则BOD的度数是 .【答案】100【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，点A、B，C，D在O上，BCD=130，BAD=50，BOD=100，8. （2018南通模拟）如图，AB是O的
11、直径，点C是O上的一点，若BC=3，AB=5，ODBC于点D，则OD的长为 【答案】2【解答】解：AB是O的直径，ACB=90，AC=4，ODBC，BD=CD，而OB=OA，OD为ABC的中位线，OD=AC=4=2故答案为29. 已知O的半径为10cm，AB，CD是O的两条弦，ABCD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm【答案】2或14【解答】解：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，AB=16cm，CD=12cm，AE=8cm，CF=6cm，OA=OC=10cm，EO=6cm，OF=8cm，EF=OFOE=2cm；当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，AB=16cm，C
12、D=12cm，AF=8cm，CE=6cm，OA=OC=10cm，OF=6cm，OE=8cm，EF=OF+OE=14cmAB与CD之间的距离为14cm或2cm故答案为：2或14三、解答题：10. 如图，AB和CD分别是O上的两条弦，过点O分别作ONCD于点N，OMAB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角CON中，CN=，O
13、NCD，CD=2CN=2，OMAB，AM=AB=x，在AOM中，OM=，OM=CD11. 已知O是ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若A30，求BC的长；(2)如图2，若A45：求BC的长；若点C是的中点，求AB的长；(3)如图3，若A135，求BC的长 图1 图2 图3【点拨】连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解【解答】解：(1)连接OB，OC.BOC2A60，OBOC，OBC是等边三角形BCOB4.(2)连接OB，OC.BOC2A90，OBOC，OBC是等腰直角三角形OBOC4，BC4.点C是的中点，ABCA45.ACB90.AB是O的直径
14、AB8.(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.A135，D45.BOC2D90.OBOC4，BC4.12. （2017山东临沂）如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若BAC=90，BD=4，求ABC外接圆的半径【分析】（1）由角平分线得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出，由圆周角定理得出DBC=CAD，证出DBC=BAE，再由三角形的外角性质得出DBE=DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，BDC=90，由勾股定理求出BC= =4，即可得出ABC外
15、接圆的半径【解答】（1）证明：BE平分BAC，AD平分ABC，ABE=CBE，BAE=CAD，DBC=CAD，DBC=BAE，DBE=CBE+DBC，DEB=ABE+BAE，DBE=DEB，DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，CD=BD=4，BAC=90，BC是直径，BDC=90，BC=4，ABC外接圆的半径=4=213. 如图所示，AB为O的直径，CD为弦，且CDAB，垂足为H.(1)如果O的半径为4，CD4，求BAC的度数；(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由【解析】：(1)AB为O的直径，CDAB，CHCD2.在RtCOH中，sinCOH，COH60.BACCOH30.(2)证明：点E是的中点，OEAB.又CDAB，OECD.ECDOEC.又OEOC，OECOCE.OCEDCE，即CE平分OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，236，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个