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1、【课标要求课标要求】2.2.3 对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质掌握对数函数的概念、图象和性质掌握对数函数的概念、图象和性质能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质质，把握指数函数与对数函数关系的实质了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数，了解互了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数，了解互为反函数图象间的关系为反函数图象间的关系123两个函数描述的对应关系是一回事，自变量和函数值换了一两个函数描述的对应关系是一回事，自变量和函数值换了一个位置，我们说它们两个互为个位置，我们说它们两
2、个互为_(inverse function)为了保持用为了保持用_表示自变量的习惯，自变量和函数值换位置表示自变量的习惯，自变量和函数值换位置的时候就把的时候就把x和和y也对调一下也对调一下要找寻函数要找寻函数yf(x)的反函数，可以先把的反函数，可以先把x和和y_，写成，写成xf(y)，再试图把，再试图把y解出来表成解出来表成yg(x)的形式如果这种形式是的形式如果这种形式是唯一确定的，就得到了唯一确定的，就得到了f(x)的反函数的反函数_既然既然yg(x)是从是从xf(y)解出来的，必有解出来的，必有f(g(x)_，这个等式也可以作为反，这个等式也可以作为反函数的定义函数的定义自学导引自学
3、导引1反函数反函数x换位换位g(x)x若若f(x)和和g(x)互为反函数，则它们的图象关于直线互为反函数，则它们的图象关于直线_对称两对称两者中一个递增另一个也者中一个递增另一个也_ ，一个递减另一个也，一个递减另一个也_ 把由对数运算确定的函数把由对数运算确定的函数_(x0，a0，a1)叫作叫作(以以a 为底的为底的)对数函数对数函数(logarithmic function)，它是，它是(以以a为底为底的的)指数函数指数函数_的反函数当然，指数函数的反函数当然，指数函数yax也是对数函也是对数函数数_的反函数这时，指数函数的反函数这时，指数函数yax的定义域的定义域R成了对成了对数函数数函
4、数ylogax的的_；而指数函数；而指数函数yax的值域，却成了对数的值域，却成了对数函数函数ylogax的的_因为对数函数是指数函数的反函数，它们的图象关于直线因为对数函数是指数函数的反函数，它们的图象关于直线_轴对称，所以将指数函数的图象以直线轴对称，所以将指数函数的图象以直线_为对称轴作反射，为对称轴作反射，就得到对数函数图象由指数函数的增减性，也可以得到对数就得到对数函数图象由指数函数的增减性，也可以得到对数函数的函数的_234yx递增递增递减递减ylogaxyaxylogax值域值域定义域定义域yxyx增减性增减性指数函数指数函数yax对数函数对数函数ylogax定义域定义域(，)_
5、值域值域(0，)_图形经过点图形经过点(0，1)_增减性增减性当当a1时，递增；时，递增；0a1时，时，_；0a0，且，且a1)中，底数中，底数a对其图象的影对其图象的影响是怎样的？响是怎样的？提示提示无论无论a取何值，对数函数取何值，对数函数ylogax(a0，且，且a1)的图的图象均过点象均过点(1，0)，且由于定义域的限制，函数图象穿过点，且由于定义域的限制，函数图象穿过点(1，0)落在第一、四象限，随着落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，的逐渐增大，ylogax(a0，且，且a1)的图象绕的图象绕(1，0)点在第一象限由左向右顺时点在第一象限由左向右顺时针排列也就是当针排列也就是当a1
6、时，随着时，随着a的值增大，函数的图象越的值增大，函数的图象越靠近靠近x轴；当轴；当0a0，且，且a1)的值域为的值域为R，则，则x的取的取值范围是值范围是_解析解析由已知得由已知得x10，x1.答案答案(1，)答案答案13求单调区间求单调区间解决与对数函数有关的函数的增减性问题的关键：一是看解决与对数函数有关的函数的增减性问题的关键：一是看底数是否大于底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数，当底数未明确给出时，则应对底数a是否是否大于大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其增减性；三要进行讨论；二是运用复合法来判断其增减性；三要注意其定义域注意其定义域比较大小比较大小比较对数的大小，一
7、般遵循以下几条原则：比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：(1)如果两对数的底数相同，则由对数函数的增减性如果两对数的底数相同，则由对数函数的增减性(底数底数a1为增；为增；0a0，a11，a20，a21)当当a1a21时，曲线时，曲线y1比比y2的图象的图象(在第一象限内在第一象限内)上升得上升得慢即当慢即当x1时，时，y1y2；当；当0 xy2.而在第一象限而在第一象限内，图象越靠近内，图象越靠近x轴，对数函数的底数越大轴，对数函数的底数越大当当0a2a11时，时，y1y2；当；当0 xy2，即在第四象，即在第四象限内，图象越靠近限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小轴的对数函数的底数越
8、小(3)如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较进行比较题型一题型一定义域问题定义域问题【例例1】典例剖析典例剖析点评点评(1)求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有，若分母中含有x，还，还要考虑不能使分母为零要考虑不能使分母为零(2)函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不能丢掉，然后求解对于像能丢掉，然后求解对于像f(x22)的复合函数，必须先的复合函
9、数，必须先求得函数求得函数f(x)，这时才能求，这时才能求f(x)的定义域以上所谈的两的定义域以上所谈的两点，都是易犯错误的地方，解题时请予以特别注意点，都是易犯错误的地方，解题时请予以特别注意【变式变式1】 比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：(1)log67与与log76; (2)log32与与log20.8；(3)log23与与log0.50.2; (4)log57与与log67.解解(1)因为因为log671，log76log76.(2)因为因为log320，log20.8log20.8.题型题型二二比较大小问题比较大小问题【例例2】点评点评(1)应充分利用图象
10、确定所要比较的值的大致范围；应充分利用图象确定所要比较的值的大致范围；(2)当不能直接比较时，可考虑借助适当的中介值当不能直接比较时，可考虑借助适当的中介值(如如0，1等等)作为作为“桥梁桥梁”进行间接比较；进行间接比较；(3)当底数有某种联系或真数相同时，可考虑利用对数的运当底数有某种联系或真数相同时，可考虑利用对数的运算法则或换底公式将其化为同底；算法则或换底公式将其化为同底；(4)当有三个或三个以上的数要比较大小时，可先比较其中当有三个或三个以上的数要比较大小时，可先比较其中的两个，然后再与其他的数比较的两个，然后再与其他的数比较 比较下列各组中两个值的大小：比较下列各组中两个值的大小：
11、(1)log0.52.7，log0.52.8；(2)log34，log65；(3)loga，logae(a0且且a1)解解(1)00.51，对数函数对数函数ylog0.5x在在(0，)上是递减函数上是递减函数又又2.7log0.52.8.(2)ylog3x在在(0，)上是递增函数，上是递增函数，log34log331.ylog6x在在(0，)上是递增函数，上是递增函数，log65log65.【变式变式2】(3)当当a1时，时，ylogax在在(0，)上是递增函数上是递增函数e，logalogae.当当0ae，loga1时，时，logalogae；当当0a1时，时，logalogae. 已知已知
12、ylg x的图象，作出的图象，作出y|lg x|和和ylg |x|的图象，的图象，并解答以下问题：并解答以下问题：(1)对函数对函数ylg |x|的说法正确的是的说法正确的是 ()A是偶函数，在区间是偶函数，在区间(，0)上单调递增上单调递增B是偶函数，在区间是偶函数，在区间(，0)上单调递减上单调递减C是奇函数，在区间是奇函数，在区间(0，)上单调递增上单调递增D是奇函数，在区间是奇函数，在区间(0，)上单调递减上单调递减(2)设函数设函数y|lg x|，若，若0af(b)证明：证明：ab1.题型题型三三图象问题图象问题【例例3】解解分别作出分别作出ylg |x|和和y|lg x|的图象如图
13、的图象如图(1)(2)所示所示(1)从图象可以看出，选项从图象可以看出，选项B正确；正确；(2)若若0abf(b)，ab1成立；成立；若若0a1f(b)lg alg blg alg b0，即，即lg ab0，ab1；若；若1ab，则，则f(a)f(b)相矛盾综相矛盾综上可知上可知ab0且且a1)，下列说法不，下列说法不正确的是正确的是 ()A两者的图象关于直线两者的图象关于直线yx对称对称B前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C两函数在各自的定义域内的增减性相同两函数在各自的定义域内的增减性相同Dyax的图象经过平移可得到的图象经过平移可得到yl
14、ogax的图象的图象答案答案D【变式变式4】 函数函数ylogax(a0，且，且a1)在在2，4上的最大值与最小上的最大值与最小值的差是值的差是1，求，求a的值的值误区警示误区警示因忽略底数对对数函数的单调性影响而出错因忽略底数对对数函数的单调性影响而出错【例例5】错因分析错因分析此题错误是把此题错误是把ylogax在在2，4上直接变成了上直接变成了增函数，但底数增函数，但底数a不定，所以函数的单调性也不定，应分不定，所以函数的单调性也不定，应分类讨论才行类讨论才行纠错心得纠错心得在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑
15、意对底数进行分类讨论，一般考虑a1与与0a0，且，且a1)的单调性的影响就会出的单调性的影响就会出现漏解或错解现漏解或错解在对数函数在对数函数ylogax(a0，且，且a1)中，底数中，底数a对其图象的影对其图象的影响响无论无论a取何值，对数函数取何值，对数函数ylogax(a0，且，且a1)的图象均过的图象均过点点(1，0)，且由于定义域的限制，函数图象穿过点，且由于定义域的限制，函数图象穿过点(1，0)落落在第一、四象限，随着在第一、四象限，随着a的逐渐增大，的逐渐增大，ylogax(a0，且，且a1)的图象绕的图象绕(1，0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且点在第一象限由左向右顺时针排
16、列，且当当0a1时，函数单调递增时，函数单调递增比较两个对数值的大小比较两个对数值的大小(1)比较同底数的两个对数值的大小例如，比较比较同底数的两个对数值的大小例如，比较logaf(x)与与logag(x)的大小其中的大小其中a0，且，且a1.课堂总结课堂总结12若若a1，f(x)0，g(x)0，则，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)f(x)g(x)若若0a0，g(x)0，则则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)；logaf(x)g(x)(2)比较同真数的两个对数值的大小例如比较比较同真数的两个对数值的大小例如比较logaf(x)与
17、与logbf(x)的大小，其中的大小，其中ab0，a1，b1.若若ab1，如图，如图，当当f(x)1时，时，logbf(x)logaf(x)；当当0f(x)logbf(x)若若1ab0，当当f(x)1时，时，logbf(x)logaf(x)；当当1f(x)0时，时，logaf(x)logbf(x)若若a1b0，当当f(x)1时，则时，则logaf(x)0logbf(x)；当当0f(x)1时，则时，则logaf(x)00，且，且a1)与对数函数与对数函数ylogax(a0，且，且a1)是两类不同的函数二者的自变量不同前者以指数是两类不同的函数二者的自变量不同前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量但是，二者也有一定为自变量，而后者以真数为自变量但是，二者也有一定的联系，的联系，yax(a0，且，且a1)和和ylogax(a0，且，且a1)互为互为反函数；前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义反函数；前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域二者的图象关于直线域二者的图象关于直线yx对称对称 3