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1、 小学数学的思想方法 人民教育出版社小学数学室王永春 数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想既有认识论方面的内容，如数学的理论和知识；又有方法论方面的内容，如处理各种问题的意识和策略。数学方法主要是方法论方面的内容，如表示、处理各种问题的手段和途径。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想是数学的灵魂。那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 课程标准修改稿一、总体目标通过义务教育阶段的数学学
2、习，学生能：1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。一、符号化思想1. 符号化思想概念。符号化思想概念。 数学符号是数学的语言，数学世界是一个数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的了数学的
3、普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。是一般化的思想方法，具有普遍的意义。2. 如何理解符号化思想。如何理解符号化思想。 第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。 如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：并归纳出长方形的面
4、积公式，并用符号表示：Sab。这是一个符号化的过程，同时也是一。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。个模型化的过程。 第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量
5、关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。 第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。3. 符号化思想的具体应用。符号化思想的具体应用。（1）数的表示、运算和关系。）数的表示、运算和关系。 数字数字09、+、 、 b，bc，所以ac。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。 (2) 合情推理。归纳推理，是从特殊
6、到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方
7、法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。2. 推理思想的重要意义。传统的数学大纲比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而现行的课程标准又矫枉过正，过于强调合情推理，在逻辑推理能力方面有所淡化。就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可或缺的。据了解，课程标准修改稿在这方面有比较合理的处理，明确了推理的范围及作用“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性”。人们在利用数学解
8、决各种实际问题的过程中，虽然大量的计算和推理可以通过计算机来完成。但是就人的思维能力构成而言，推理能力仍然是至关重要的能力之一，因而培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一。4推理思想的教学。 就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生
9、的年龄特征提出不同程度的要求”。 根据以上课程标准关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点。第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。在小学数学中，除了运算是数学的基本方法外，推理也是常用的数学方法。无论是低年级的找规律、总结计算法则，还是高年级的面积、体积公式的推导，无不用到推理的思想方法。因而，广大教师要牢记推理思想从一年级就要开始渗透和应用，是一个长期的培养过程。第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论，演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。二者在数学中的作用都
10、是很重要的。第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。推理能力的发展与各领域知识的学习是一个有机的结合过程，因而在教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时要考虑学生的认知水平和接受能力。 案例1：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？99分析：此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式，每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，是一个奇数，等于的平方；（）是前个奇数相加，等于的平方；（）是前个奇数相加，等于的平方
11、；（）是前个奇数相加，通过与前面算式进行类比，猜想应该等于的平方；（）,，猜想正确。那么最后的算式是前个奇数相加，等于的平方。 案例：观察下面的一组算式，你能发现什么规律？14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=121 分析：通过观察算式，能够发现这样一些规律：所有的算式都是两位数加两位数，每个算式的两个加数中的一个加数的个位和十位数互换，变成另一个加数。再进一步观察，所有算式的得数有两位数也有三位数，它们有什么共同的规律呢？把它们分别分解质因数发现，每个数都是11的倍数。这样就可以大胆猜想并归纳结论：两个互换个位数和十位数的两位数相加，结
12、果是11的倍数。再举例验证：57+75=1321112，69+96=165=1115，初步验证猜想是正确的。那么如何进行严密的数学证明呢？可设任意一个两位数是ab(a和b是19的自然数)，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，从而证明了结论的正确。案例：如下左图，两条直线相交形成4个角，你能说明2=4吗？分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等。那么，在小学阶段，如何根据已有知识进行简单的证明呢？我们已经知道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证明。下面给出最简单的证明：因为1和2、1和4分别组成平角，所
13、以1+2=180、1+4=180，根据加减法各部分间的关系，可得 2=180-1、4=180-1，根据等量代换，可得2=4。再看右上图，在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在小学阶段同样可以类似地得到证明。五、方程和函数思想 1方程和函数思想的概念。方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是应用数学解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。(1)方程思想。含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是等式。如有些小学老师经常有疑
14、问的判断题：=0 和=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。(2)函数思想。设集合、是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，如果对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是的函数，记作y()。其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，y叫做函
15、数或因变量，与相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围叫做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：rh。半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。函数思想的核心是事物的
16、变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的观点。2. 方程和函数的关系。(1)方程和函数的区别。从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程。算术研究具体的确定的常数以及它们之间的数量关系。方程研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系。函数研究变量之间的数量关系。方程和函数虽然都是表示数量关系的，但是它们有本质的区别。如二元一次不定方程中的未知数往往是常量，而一次函数中的自变量和因变量一定是变量，因此二者有本质的不同。方程必须有未知数，未知数往往是常量，而且一定用等式的形式呈
17、现，二者缺一不可，如246。而函数至少要有两个变量，两个变量依据一定的法则相对应，呈现的形式可以有解析式、图象法和列表法等，如集合为大于等于1 、小于等于10的整数，集合为小于等于20的正偶数。那么两个集合的数之间的对应关系可以用y2表示，也可以用图象表示，还可以用如下的表格表示。12345678910 y2468101214161820人们运用方程思想，一般关注的是通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求出方程的解，从而解决数学问题和实际问题。人们运用函数思想，一般更加关注变量之间的对应关系，通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题。方程中的未知数往往是静态的，
18、而函数中的变量则是动态的。方程已经有3000多年的历史，而函数概念的产生不过才300年。bcba(2)方程和函数的联系。方程和函数虽然有本质的区别，但是它们也有密切的联系。如二元一次不定方程abyc0和一次函数ykb之间。如果方程的解在实数范围内，函数的定义域和值域都是实数。那么方程abyc0经过变换可转化为y ,在直角坐标系里画出来的图象都是一条直线。因此，可以说一个二元一次方程对应一个一次函数。如果使一次函数ykb中的函数值等于0，那么一次函数转化为kb0，这就是一元一次方程。因此，可以说求这个一元一次方程的解，实际上就是求使函数值为0的自变量的值，或者说求一次函数图象与轴交点的横坐标的值
19、。一般地，就初等数学而言，如果令函数值为0，那么这个函数就可转化为含有一个未知数的方程；求方程的解，就是求使函数值为0的自变量的值，或者说求函数图象与轴交点的横坐标的值。 3. 方程和函数思想的重要意义。 16世纪以前，人们主要是应用算术和方程方法解决现实生活中的各种实际问题，方程与算术相比，由于未知数参与了等量关系式的构建，更加便于人们理解问题、分析数量关系并构建模型，因而方程在解决以常量为主的实际问题中发挥了重要作用。到了17世纪，随着社会的发展，传统的研究常量的算术和方程已经不能解决以探究两个变量之间的关系为主的经济、科技、军事等领域的重要问题，这时函数便生产了。函数为研究运动变化的数量
20、之间的依存和对应关系和构建模型带来了方便，从而能够解决比较复杂的问题。 概括地说，方程和函数思想是中小学数学，尤其是中学数学的重要内容之一。方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面，发挥着重要的不可替代的作用。 案例1：妈妈买了3千克香蕉和2千克苹果，一共花了16元。苹果的价格是香蕉的2倍多元，苹果和香蕉的单价各是多少？分析：题目涉及的是商品的数量、单价和总价的关系，根据数量关系“单价数量总价”进行分析，题中出现了两种商品，总价也是两种商品的总价。所以等量关系应为“香蕉的单价香蕉的数量苹果的单价苹果的数量总价”。再根据这个等量关系找出题中已知的量，总价16元、香蕉的数量3千克和苹果的数
21、量2千克。未知的是香蕉和苹果的单价，也就是题目中要求的量。设香蕉的单价是元千克，苹果的单价是y元千克。根据题意，可列出如下方程。32y16，y21。根据等量代换的原理，两个方程可合并成一个方程，32(21)16。这是在小学数学中遇到含有有关系的两个未知数的方程时能够直接列出一个方程的依据。如和倍、差倍、鸡兔同笼等问题，用方程解决也是利用了这个原理。解方程，2, y5。案例2：小明家的果园供游人采摘桃，每千克10元。请写出销售桃的总价(总收入)y元与数量(千克数) 之间的关系式。如果某天的销量是50千克，这天的总收入是多少？如果上个月的总收入是12000元，上个月的销量是多少千克？分析：此题涉及
22、的也是商品的单价、数量和总价的关系，仍然要根据数量关系“单价数量总价”进行分析。根据题意，已知的量是单价，未知的量是总价和数量，题目已经告诉我们分别用y和表示。因为桃的单价一定，所以它的总价与数量成正比例，可列关系式：y10。某天的销量是50千克，总收入是500元。上个月的总收入是12000元，销量是1200千克。案例2和案例1相比较，都有两个量分别用y和表示。案例1中的y和虽然是未知的量，但是它们实际上是具体的静止的常量，都有一个确定的值，通过解方程可以得到它们的值。案例2的两个量y和则是相关联的变化的量，的取值可以是一定范围内 (果园内桃子总质量的最大值以内) 的任何一个数，y随的变化而变
23、化。只有y和中的一个量取一个具体的值时，另一个量才会相应地取一个具体的值。如案例2中的具体问题的解答。979799749974案例3:无限循环小数0.777和0.747474如何化成分数？你能发现什么规律？分析：根据小数和分数的关系，有限小数化分数比较容易进行。由于无限小数的特点，不能直接用有限小数化分数的方法进行。根据循环小数的循环节不断重复出现的特点，循环节是几位数字，就把这个循环小数乘10的几次方；它的左起第一个循环节就变成了整数部分，而循环小数部分不会改变；二者的小数部分相同，二者的差为循环节变成的整数部分。因此，可利用差倍问题的原理，列方程解决问题。如设0.777，那么107.777
24、,求它们的差，107，解方程，所以0.777。同理可得，10074，所以0.747474。无限循环小数化分数的规律是，把循环节作为分子，循环节有几位数字，分母就是由几个9组成的几位数。六、数形结合思想 1. 如何理解数形结合思想。如何理解数形结合思想。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上。尤其是直角坐标系与几何的结合，是数形结合的完美体现。小学数学阶段主要是利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。2. 2. 数形
25、结合思想的具体应用。数形结合思想的具体应用。（1 1）数的表示和运算。）数的表示和运算。 数和运算的实物化、数和运算的实物化、图形化和操作化，便于图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算。人们直观理解数和计算。 摆小棒、画图形等。摆小棒、画图形等。（）解决问题中的形。（）解决问题中的形。画线段图表示数量关系。画线段图表示数量关系。案例：上海版五上列方程解决问题案例：上海版五上列方程解决问题上海浦东中银大厦的总高度为上海浦东中银大厦的总高度为258米，比上海国际饭店的米，比上海国际饭店的3倍倍还高还高24米，上海国际饭店高多少米？米，上海国际饭店高多少米？上海国际饭店浦东中银大厦？米258米24
26、米设上海国际饭店的高度为x米，易于找等量关系和理解逆向思考的数量关系。解决问题的直观策略。解决问题的直观策略。利用坐标系中的图像直观理解正比例关系。（3）统计中的图形。）统计中的图形。各种统计图表。各种统计图表。（4）空间与图形中的数。）空间与图形中的数。图形的周长、面积图形的周长、面积 和体积公式。和体积公式。图形中边之间的关系。图形中边之间的关系。 图形变换中的数图形变换中的数。 坐标与变换坐标与变换 七、集合思想1. 一般地，把研究的对象称为元素；把一些元素组成的总体， 称为集合。2. 集合理论是数学的理论基础。如数的概念及运算，都可以从集合的角度来定义。自然数可以理解为一类可数等价集合
27、的基数（元素的个数）。加法可以理解为两个互不相交的集合的并集。函数就是在集合的基础上定义的。3. 集合理论的引入，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。数学的各个分支都有自己的研究领域，如数论在整数范围内研究整数的有关性质，而质数和合数在正整数范围内讨论。又如数系的不断扩充，从自然数到实数。4. 集合沟通了代数(数)和几何之间的关系。如y = kx + b , 既是一次函数，又表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足y = kx + b 的有序实数对所组成的点的集合。 5.两个集合无法直接比较大小，也就是说一般不说两个集合谁大谁小。集合之间可以比较基数的大小，
28、也就是元素的个数的多少。如果有两个集合A、B，当且仅当它们有完全相同的元素时，称A、B相等，记为A=B。 如A=2，3，5，7，B= x|x是小于10的素数 集合间还有包含关系。如C=2, 3, 5, 7, 11, 则A是C的真子集。只要两个集合元素间能够建立一一对应的关系，那么就说两个集合的元素个数相等，就是基数相等，即等势或等基。 如果A是的真子集, 就说A的基数小于的基数。 案例：正整数集合与正偶数集合，它们的基数相等吗？分析：只要满足一一对应就基数相等。 八、一一对应思想 1. 一一对应思想与函数思想的关系。一一对应思想与函数思想的关系。一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）
29、的一对一的对应，也就是说集合中的任一元素a，在集合中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合中的任一元素b，在集合中也有唯一的元素a与之对应。函数是两个数集之间的一种数与数的对应关系，但这种对应不一定是一一对应。（）数集之间的一一对应。设非自然数集,正偶数集，在两个集合之间建立如下的一一对应。（）其他集合之间的一一对应。如五（）班有个男生，个女生，如果把男生和女生各自的总数看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应。再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合。这两个集合之间可以建立一一对应。九、分类讨论思想1. 分类讨论思想的概
30、念。人们有时面对比较复杂的问题，无法通过统一研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之，各个击破，综合归纳”。其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。 2. 分类讨论思想的重要意义。课程标准在总目标中要求学生能够有条
31、理地思考，这种条理性就是一种逻辑性，分类讨论就是具有逻辑性的思考方法。因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而全面地思考和解决问题。另外，分类讨论思想还是统计与概率知识的重要基础。2 2的倍数的特征：的倍数的特征：（1 1）从生活情境）从生活情境“双号双号”引入。引入。（2 2）观察）观察2 2的倍数的个位的倍数的个位数，总结出数，总结出2 2的倍数的特征。的倍数的特征。（3 3）介绍奇数和偶数的概）介绍奇数和偶数的概念。念。（4 4）
32、可让学生随意找一些）可让学生随意找一些数进行验证，但不要求严数进行验证，但不要求严格的证明。格的证明。质数和合数的概念：质数和合数的概念：（1 1）根据）根据2020以内各数的以内各数的因数个数把数分成三类：因数个数把数分成三类：1 1、质数、合数。、质数、合数。（2 2）可任出一个数，让）可任出一个数，让学生根据概念判断其为学生根据概念判断其为质数还是合数。质数还是合数。三角形按角分类三角形按角分类任意找一些三角形任意找一些三角形引导学生自己分类引导学生自己分类启发学生想怎样用集合圈启发学生想怎样用集合圈表示几种三角形之间的关系表示几种三角形之间的关系教师归纳、概括教师归纳、概括三角形按边分
33、类三角形按边分类思路同前思路同前也可以同时进行分类也可以同时进行分类更加开放更加开放等腰三角形的特征等腰三角形的特征案例1:下面四张卡片上分别写有数字0、1、2、3，可以利用它们组成多少不同的四位数？分析：把所有能组成的四位数分成三类，再依从小到大的顺序列表如下。 （1）1023 1032 1203 1230 1302 1320 （2）2013 2031 2103 2130 2301 2310（3）3012 3021 3102 3120 3201 3210案例2:把1张一角的人民币换成零钱，现有足够的1、2、5分币。有多少种换法？分析：方法可多种，可以按只有一种、二种、三种硬币的方法进行分类组
34、合。只有一种硬币：10个1分，5个2分, 2个5分,3种换法;只有两种硬币:8个1分和1个2分, 6个1分和2个2分, 4个1分和3个2分, 2个1分和4个2分, 5个1分和1个5分, 5种换法;只有三种硬币:1个1分、2个2分和1个5分， 3个1分、1个2分和1个5分，2种换法。共计10种换法。还可以按照币种的范围分类讨论。案例3:下图中有多少个三角形？ 分析：此题如果直接数，很容易数错。设最小的三角形面积为1，则面积为1的三角形有22个；面积为4的三角形有10个；面积为9的三角形有2个，因此共有34个三角形。十、变换思想变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图
35、形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。1. 初等几何变换的概念。初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。(1)平移变换。将平面上任一点P变换到P，使得：(1) 射线PP的方向一定；(2) 线段PP的长度一定，则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等
36、。平移变换有以下一些性质：把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为和，则有。在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为和，则有。在解初等几何问题时，常利用平移交换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。小学阶段：直观认识平移现象。小学阶段：直观认识平移现象。物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变(2)旋转变换。在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X，使得：(1)OX=OX；(2)XOX=(定
37、角)；则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心，定角为旋转角。当0时，为逆时针方向旋转；当0，且为常数)，则称为相似变换。通俗地说就是一个图形按照一定比例放大或缩小，图形的形状不变。其中的K称为相似比或相似系数，当K1时，即为合同变换。相似变换有以下一些性质：两个图形的周长的比等于相似比。两个图形的面积的比等于相似比的平方。两条直线的夹角保持不变。生活中的许多现象都渗透着相似变换的思想，如物体和图形在光线下的投影、照片和图片的放大或缩小、零件的图纸等等，因而利用相似变换可以解决生活中的一些几何问题。形状不变，大小改变（图形形状不变，大小改变（图形的放大、缩小）的放大、缩小）2. 几何变换思想的
38、重要意义。课程改革以来，几何的教学已经由传统的注重图形的性质，周长、面积和体积等的计算、演绎推理能力转变为培养空间观念、计算能力、推理能力及观察、操作、实验能力并重的全面的、和谐的发展。其中推理不仅仅重视演绎推理，还特别强调合情推理。也就是说，新课程的理念在几何的育人功能方面注重空间观念、创新精神、探索能力、推理能力、计算能力、几何模型等全面、和谐的发展。而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法之一，在几何的育人功能方面发挥着非常重要的作用。图形变换来源于生活中物体的平移、旋转和轴对称的这些运动现象，因而了解图形的变换，有利于我们认识生活中丰富多彩的生活空间和形成初步的空间观念。利用图形变换
39、设计美丽的图案，有利于感受、发现和创造生活的美，有利于认识图形之间的关系和发展空间观念。利用图形变换把静止的几何问题通过运动变换，找到更加简捷的解决问题的方法。3.教学中需要注意的问题。第一，对一些概念要准确把握。平移、旋转、轴对称变换与生活中物体的平移、旋转和轴对称现象不是一个概念。数学来源于生活，但不等于生活，是生活现象的抽象和概括。生活中的平移和旋转现象往往是物体的运动，如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体的运动，都可以称之为平移现象或旋转现象。而中小学中的几何变换都是指平面图形在同一个平面的变换，也就是说原图形和变换后的图形都是平面图形，而且都在同一个平面内。几何中的平移、旋转和
40、轴对称变换来自于生活中物体的平移现象、旋转现象和轴对称现象，如果把生活中这些现象画成平面图形，并且在同一平面上运动，就可以说成是几何中的平移、旋转和轴对称变换了。一个变换是不是合同变换或相似变换，要依据概念进行判断。如课程标准要求小学阶段的平移限于水平方向和竖直方向，实际上平移也可以沿斜线方向平移，只要满足平移的两个条件。如高山索道、滑雪等都可以看成平移现象，画成平面图形就是平移变换。再如旋转，象旋转门、螺旋桨、水龙头等都可以看成旋转现象，但是要注意它的严密性：一是旋转中心必须固定，二是物体不能变形，三是旋转的角度可大可小，可以是1度，也可以是300度。这样的旋转运动画成平面图形在同一平面的运
41、动才是旋转变换。另外，几何意义上的变换都是从图形的对应点及其连线的几何性质进行描述的，与图形的颜色等无关。案例1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？分析：严格来说，物体的平移应该保证物体不变形而且物体上的点在物体上的位置是固定的，轮胎在转动时汽车的运动就不是平移了，轮胎抱死滑行就是平移。因此，前者不是平移，后者是平移。案例2：一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？分析：直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨在转动，但是它的旋转中心一直在移动，没有固定，因此不能看成几何意义上的旋转
42、，只能说它是生活中的旋转现象。当它停在陆地上时螺旋桨的转动就可以看成旋转了。案例案例3：下面的图形是轴对称图形吗？：下面的图形是轴对称图形吗？图(1)图(2)分析：一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够分析：一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，这样的图形才是轴对称图形，而光有四周或轮完全重合，这样的图形才是轴对称图形，而光有四周或轮廓重合是不够的。图廓重合是不够的。图(1)从三角形的顶点向底边作一条垂从三角形的顶点向底边作一条垂线，垂线两边的轮廓能够重合，但是小方格没有对应的重线，垂线两边的轮廓能够重合，但是小方格没有对应的重合的部分，因此，它不是轴对称图形。图合的部分，因
43、此，它不是轴对称图形。图(2)是轴对称图是轴对称图形。形。第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。小学几何中的很多平面图形都是轴对称图形，如长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时加强对这些图形的对称轴和轴对称的有关性质的认识；另一方面要在学习这些图形的概念和性质时进一步体会它们的轴对称特点。案例4: 如图所示，三个同心圆的最大的圆的两条直径相互垂直，最大的圆的半径是2cm，求阴影部分的面积。分析：此题从表面上看，阴影部分比较分散，没有足够的数据计算每部分阴影的面积。再根据两条直径相互垂直可以得出每个圆都被平均分成了4份，每一份旋转90度都可以与相邻
44、的部分重合。因此，可以把最外圈阴影部分的四分之一大圆绕圆心顺时针旋转90度，把中间阴影部分的四分之一圆绕圆心逆时针旋转90度，使阴影经过旋转集中在右上角四分之一大圆里。阴影的面积为：2=(cm)。41案例5: 人教版及上海版教材, 求三角形和梯形的面积。把两个完全相同的三角形和梯形拼成平行四边形，利用变换原理为：先把一个图形旋转180度，再平移。十一、概率思想概率思想。生活中有很多现象是必然的，如也有很多是偶数的。偶然现象，也叫随机现象，表面上看可能无规律，但大量地收集数据或重复实验可能具有某种规律性，概率统计主要是用数学方法揭示这种统计规律性。（1）事件的分类。必然事件确定事件事件不可能事件
45、随机事件（2）频率与概率的区别，概率的类型。古典概型随机事件频数频率概率几何概型古典概率模型：基本事件的个数有限每个基本事件出现的可能性相等几何概率模型：每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例（3）概率的正确理解。概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中发生与否是随机的，大量的试验就会体现出规律性。随机中有精确，精确中有随机。案例1：连续两次抛掷一枚硬币，一定是一次正面朝上、一次反面朝上吗？案例2：某种彩票的中奖概率是1/1000，那么买1000张彩票一定能中奖吗？案例3：天气预报说降水概率是80%，一定下雨（雪）吗？ 十二、 统计思想现实生活中大量的数据
46、需要收集和研究，不可能考察所有对象，用样本估计总体，进行统计推断和决策，是统计思想的核心。有两种估计方法：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数字特征(如平均数、中位数、众数)估计总体的数字特征。 1.总体：所要考察对象的全体叫做总体。2.个体：总体中每一个考察对象叫做个体。 3.样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4. 统计调查的两种基本形式：全面调查和抽样调查。5.频率分布：每组数据的频数除以样本容量。 都是反映一组数据集中趋势的量数。平均数：是统计中最常用的数据代表值，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分，所以比较可靠和稳定。平均数既可以描述一组数
47、据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。 中位数：作为一组数据的中间水平的代表，有“分水岭”的作用，它只利用了部分数据，所以可靠性比较差。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。 众数：作为一组数据的多数的代表，它也只利用了部分数据，所以可靠性也比较差。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。 案例：某公司案例：某公司1010名销售员，去年完成的销售额情况如下表：名销售员
48、，去年完成的销售额情况如下表：销售额销售额（单位：万元）（单位：万元） 1 销售员人数销售员人数（单位：人）（单位：人）1 1 3 3 2 1 1 （1 1）求销售额的平均数、中位数和众数；）求销售额的平均数、中位数和众数； （2 2）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，采取超）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，采取超额奖励的策略，请根据（额奖励的策略，请根据（1 1）的结果，通过比较，合理确定今年每）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的标准销售额是多少万元？个销售员统一的标准销售额是多少万元？ 解答解答:(1):(1)平均数为平均数为7.47.4万元，中位数为万元，中
49、位数为7 7万元，众数为和万元，众数为和7 7万元。万元。 （2 2）若确定平均数）若确定平均数7.47.4万元为标准，则多数人超额完成有难度万元为标准，则多数人超额完成有难度；若确定众数；若确定众数6 6万元为标准，则绝大多数人不必努力就可以超额完万元为标准，则绝大多数人不必努力就可以超额完成，不利于调动员工积极性；如果确定中位数和众数万元为标准成，不利于调动员工积极性；如果确定中位数和众数万元为标准，多数人能完成或超额完成，少数人经过努力也能完成，所以万，多数人能完成或超额完成，少数人经过努力也能完成，所以万元为标准比较合理。元为标准比较合理。 案例案例2:2:某商场搞促销活动某商场搞促销
50、活动, ,购物满购物满300300元抽一次奖元抽一次奖, ,宣称人人有奖宣称人人有奖, ,平均奖金达平均奖金达4040元。小张购物后抽得元。小张购物后抽得1010奖金，下表是抽奖情况记录。奖金，下表是抽奖情况记录。奖金奖金( (元）元）2500 50 20 10 人数（个）人数（个）1 1 11 37 61 （1 1）商场宣称的奖金的平均数与实际相符吗）商场宣称的奖金的平均数与实际相符吗? ? （2 2）你觉得商场用平均数来表示中奖金额的平均水平合适吗）你觉得商场用平均数来表示中奖金额的平均水平合适吗? ?解答解答: :（1 1）平均数确实为）平均数确实为4040元。元。 （2 2）此次中奖人