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1、等差数列的几个性质等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多.【性质1】 等差数列an，m、p、qN*，假设存在实数使 (-1),那么.证明：由等差数列an的通项公式an=dn+a1-d的几何意义：点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线，由斜率公式得，因为，所以.所以(am-aq)=ap-am.所以(1+)am=ap+aq，即.评析：特别地,当=1时，2am=ap+aq，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式.【性质2】 等差数列an，ni，miN*，i=
2、1,2,3,k,假设.那么.证明：设等差数列an的公差为d.根据ani=ami+(ni-mi)d，i=1,2,3,k,那么.所以推论：等差数列an，ni，mN*，i=1,2,3,k,假设.那么. 评析：本性质实质上是等差中项性质的推广.【性质3】 等差数列an的前n项和为Sn，公差为d.n，mN*,那么.证明:因为=所以.评析：实质上数列是公差为的等差数列.【性质4】 等差数列an的前n项和为Sn，公差为d.n，mN*,那么S m+n=Sm+Sn+mnd. 证明：因为Sm+n=Sn+(an+1+an+2+an+m)=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+(am+nd)=Sn+(a1+a2+am)+mnd=Sm+Sn+mnd，所以Sm+n=Sm+Sn+mnd.【性质5】 等差数列an前n项和为Sn，假设m=p+q(m、p、qN*且pq),那么有.证明：设等差数列an的公差为d.因为Sp-Sq=pa1+p(p-1)d-qa1- q(q-1)d=(p-q)a1+(p+q-1)d，所以.又因为且m=p+q，所以有.推论：等差数列an前n项和为Sn，假设m+t=p+q(m、t、p、qN*且mt,pq),那么.【性质6】 等差数列an前n项和为Sn.(1)当n=2k(kN*)时，S2k=k(a k+ak+1);(2)当n=2k-1(kN*)时，S2k-1=kak.