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1、核心素养测评四十二 数列与函数、不等式的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每题5分,共25分)1.递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn0,那么()A.a10,0q1B.a11C.a10,0q0,q1【解析】选A.因为Sn0,所以a1an,且|an|an+1|,那么-an-an+10,那么q=(0,1),所以a10,0q0是“S4 + S62S5的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由S4+S6-2S5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知当d0时,有S4+S6-2S50,即S4+S62S5,反之,假设S4+S62
2、S5,那么d0,所以“d0是“S4 + S62S5的充分必要条件.【名师点睛】此题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S6-2S5=d, 结合充分必要性的判断,假设pq,那么p是q的充分条件,假设pq,那么p是q的必要条件,该题“d0“S4+S6-2S50,故互为充要条件.3.数列an是等比数列,数列bn是等差数列,假设a2a6a10=3,b1+b6+b11=7,那么tan 的值是()A.1B.C.-D.-【解析】选D.因为是等比数列,所以a2a6a10=3,所以a6=.因为bn是等差数列,所以b1+b6+b11=3b6=7.所以b6=,所以tan=tan =tan
3、=-tan =-tan =-.4.数列an满足an=n2+kn+2,假设不等式ana4恒成立,那么实数k的取值范围是()A.-9,-8B.-9,-7C.(-9,-8)D.(-9,-7)【解析】选B.由得n2+kn+24k+18,即(4-n)kn2-16,其中nN*.当n=1,2,3时,k(-n-4)min=-7;当n=4时,等号成立;当n5时,k(-n-4)max=-9,所以实数k的取值范围是-9,-7.5.数列an满足a1+a2+a3+an=n2+n(nN*),设数列满足:bn=,数列的前n项和为Tn,假设Tn(nN*)恒成立,那么实数的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.数列an满
4、足a1+a2+a3+an=n2+n,当n2时,a1+a2+a3+an-1=(n-1)2+(n-1),-得an=2n,故an=2n2,数列满足:bn=那么:Tn=,由于Tn(nN*)恒成立,故:,因为y=在nN*上单调递减,故当n=1时,=,所以.二、填空题(每题5分,共15分)6.f(x)=,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=f(an).假设a2 010=a2 012,那么a20+a11的值是_.【解析】因为an+2=f(an)=,a1=1,所以a3=,a5=,a7=,a9=,a11=,又a2 010=a2 012,即a2 010=+a2 010-1=0,所以a2 010=.又a2
5、 010=,所以1+a2 008=,即a2 008=,依次类推可得a2 006=a2 004=a20=,故a20+a11=+=.答案:7.an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)数列an的通项公式为_.(2)数列的前n项和为_.【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3.又an是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,故an=2+(n-2)=n+1.(2)设数列的前n项和为Sn,Sn=+,Sn=+,-得Sn=+-=+-=+-,所以Sn=+-=2-.答案:(1)an=n+1(2)2-8.(2022成都模拟)数列是等差数列,a1=1,公差d,且a
6、4+a10+a16=15,那么实数的最大值为_.【解析】因为a4+a10+a16=15,所以a1+3d+(a1+9d)+a1+15d=15,令=f(d)=-2,因为d,所以令t=1+9d,t10,19,因此=f(t)=-2,当t10,19时,函数=f(t)是减函数,故当t=10时,实数有最大值,最大值为f(10)=-.答案:-三、解答题(每题10分,共20分)9.(2022北京高考)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通项公式.(2)求+.【解析】(1)由,设an的公差为d,那么a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,
7、所以d=ln 2,所以an的通项公式为an=ln 2+(n-1)ln 2=nln 2(nN*).(2)由(1)及,=enln 2=(eln 2)n=2n,所以+=21+22+2n=2n+1-2(nN*).10.(2022武汉模拟)数列an满足:+=n2+n,nN*.(1)求an的通项公式.(2)设bn=,数列bn的前n项和为Sn,求满足Sn的最小正整数n.【解析】(1)因为+=n2+n,n=1时,可得a1=4,n2时,+=(n-1)2+n-1.与+=n2+n.两式相减可得=(2n-1)+1=2n.所以an=2n(n+1),当n=1时,也满足,所以an=2n(n+1).(2)bn=,所以Sn=.又Sn,所以n9,所以最小正整数n为10.- 6 -