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1、2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学 （正题卷） 2015.01注意事项：1本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用05毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4如需作图，须用2B铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔参考公式：球的体积公
2、式： （其中是球的半径）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1命题“x，”的否定是 2在平面直角坐标系xOy中，准线方程为的抛物线的标准方程是 3若直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为 4函数的单调递减区间为_.5记函数f(x)的导函数为f (x)，则 f (1)的值为 6棱长为2的正方体的各顶点均在球的表面上，则球的体积等于 7“”是“方程 表示焦点在轴上的椭圆”的 条件（“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）8已知函数，则函数的图象在点处的切线方程是_.9如图，棱长为1的正方体中，三棱锥的体积等于_.10
3、过点的直线与圆交于两点，则当的面积最大时，直线的方程是_.11若是三条互不相同的空间直线，是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 (填所有正确答案的序号)若则； 若则；若则； 若则12已知点，直线（为常数），对于上任意一点，恒有，则实数的取值范围是_13已知A是曲线C1：y (a0)与曲线C2：x2y25的一个公共点若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是 14直角坐标平面上，已知点，直线，点是平面上一动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，过点作的垂线，垂足为，则三角形的面积的最大值等于_ _.二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演
4、算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内15(本小题满分14分)已知命题p：任意x，x20，命题q：方程1表示双曲线（）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（）若 “p且q”为真命题，求实数a的取值范围16(本小题满分14分)已知圆关于直线对称，半径为，且圆心在第二象限（）求圆的方程；（）不过原点的直线在轴、轴上的截距相等，且与圆相切，求直线的方程17（本小题满分14分）如图，直三棱柱中，点是上一点.（）若点是的中点，求证平面；（）平面平面，求证.18(本小题满分16分)现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00，不考虑焊接处损失 方
5、案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中间，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积； 方案二：如图 (2)，若从长方形的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值19(本小题满分16分)设,分别是椭圆的左，右焦点，是上一点，与轴垂直，且位于轴上方，直线与椭圆的另一个交点为.（）若直线的斜率为，求椭圆的离心率；（）若直线交轴于点，是正常数，且，求椭圆的方程.（用含的方程表示）20（本小题满分16分）已知函数（）当时， 若的图象与的图象相切于点，求及的值； 若关于的方程在上有解，求的范围；（）当时，若在上恒成立（为正常数），
6、求的取值范围附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）【必做题】第21题、第22题、第23题、第24题，每题10分，共40分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy中，已知A（0，-1），点P是抛物线上的动点，点是线段的中点，求点的轨迹方程22.（本小题满分10分）已知函数在区间上是增函数,求的取值范围. 23.（本小题满分10分）三棱柱在如图所示的空间直角坐标系中，已知，是的中点。(1) 求直线与平面所成角的正弦值；(2) 求二面角的正弦值24.（本小题满分10分）已知抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为,过点作斜
7、率为的直线交抛物线于两点,点关于轴的对称点为,直线交轴于点. () 求的值;() 探究:当变化时,点是否为定点? 2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学 （正题卷）参考答案 2015.01一、填空题1.； 2.； 3.； 4. ； 5. ； 6.； 7. 充要； 8.； 9. ； 10. 11. 12.； 13.； 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内15(本小题满分14分)解：（）x时，等价于对一切x恒成立，2分 又 x时，（当且仅当时取等号）4分故若命题p为真命题，6分（）命题q为真命题时，解得
8、9分 “p且q”为真命题，故命题与命题q均为真命题， 11分 有，且， 所以，实数a的取值范围是：14分16(本小题满分14分)解：（）由，得圆的圆心为，圆关于直线对称， 3分圆的半径为， 5分又圆心在第二象限，于是，解得，7分所以圆的方程为8分（）由题意可设，所求直线的方程是， 由（）得，圆的圆心为，10分 直线与圆相切，12分 解得或，故直线的方程为或14分17（本小题满分14分）连接,设,则为的中点, 2分连接,由是的中点,得， 4分又,且,所以平面 6分在平面中过作，因平面平面，又平面平面，所以平面， 9分又平面，所以，在直三棱柱中，平面，因为平面，所以， 12分又，所以平面，又平面，
9、所以. 14分18(本小题满分16分)方案一：设小正方形的边长为，由题意得，所以铁皮盒的体积为 4分方案二：设底面正方形的边长为，长方体的高为，由题意得，即，6分所以铁皮盒体积， 9分，令，解得或（舍），12分当时，；当时，14分所以函数在时取得最大值15分答：方案一铁皮盒的体积为；方案二铁皮盒体积的最大值为。16分19(本小题满分16分)解：法1：（）设焦距为，则，因为轴，所以可设，3分又因为在椭圆上，故有， 即， 5分 解得，（舍去）， 7分（）轴，是的中点，则，将点的坐标代入椭圆方程得， 9分设，因为， 解得 11分将点的坐标代入椭圆方程得， 13分由， 及得， 15分 所以椭圆的方程为
10、. 16分法2：（）设焦距为，则，因为轴，所以可设，因为在椭圆上，故有，因为，所以，即， 3分，由知， 5分解得或（舍去），。 7分（）轴，是的中点，则，又由（1）知， 9分直线方程为，将直线方程代入椭圆方程得，将代入上式化简得（*）（*）有一个解为，设， ， 11分， 解得 13分，即由， 及得， 15分所以椭圆的方程为 16分20（本小题满分16分）（） ， 3分，故与在上有交点 4分，时在上递增，；时在上递增，在上递减且， 7分时，；时， 8分（）即， 即在上恒成立， 9分令，令，则为单调减函数，且， 12分当时，单调递增，当时，单调递减， 13分若，则在上单调递增，；若，则在上单调递增
11、，单调递减， 15分时，；时， 16分附加题部分21.（本小题满分10分） 解：设，则 3分 点是线段的中点，即 7分 将代入得，点的轨迹方程是。10分22.（本小题满分10分）解法一: , 2分时，此时，的增区间是，4分因为函数在区间上是增函数，解得；6分时，此时，的增区间是，8分因为函数在区间上是增函数，解得，10分综上，的取值范围是解法二：, 2分 函数在区间上是增函数, 在上恒成立，即区间上恒成立，4分 又，区间上恒成立，6分 于是，只需 8分解得，或 10分23.（本小题满分10分）解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，
12、0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).(1，2，3)，(0，4，0) (2分)设平面A1C1D的一个法向量为n(x，y，z) nx2y3z0，n4y0. x3z，y0.令z1，得x3.n(3，0，1)(4分)设直线DB1与平面A1C1D所成角为， (1，2，3)， sin|cos，n|.(6分)(2) 设平面A1B1D的一个法向量为m(a，b，c)(2，0，0)， ma2b3c0，m4a0， a0，2b3c.令c2，得b3.m(0，3，2)(8分)设二面角的大小为， |cos|cos|m，n|，则sin. 二面角角的正弦值为. (10分)24.（本小题满分10分） 解：()当时，由题意，得。2分()由()得，抛物线的标准方程是， 设直线的方程为，设，则，4分直线的方程是， 令，得 6分由，得，解得，从而有， 8分代入，得，所以点的坐标为为定点。10分