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1、模块综合检测（三） (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1不等式x2x6的解集为()Ax|2x3Bx|x2Cx|x3Dx|x3解析：选A不等式化为x2x6(x3)(x2)0，解得2x3.2等差数列an中，a4a810，a106，则a18()A8.5 B8C7.5 D7解析：选Ba4a82a610，即a65，d(a10a6)，则a18a108d628.3若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 D.解析：选D因为2 ，所以a2b28，所以.4已知等比数列an的公比q3，
2、前3项和S3，则an等于()A3n B3n1C3n2 D3n1解析：选C由q3，S3得，解得a1.所以an3n13n2.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2Asin2Csin2Bsin Asin C，则角B为()A. B.C. D. 解析：选A由正弦定理可得a2c2b2ac，所以cos B，所以B，故选A.6在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意实数x恒成立，则()A1a1 B0a2Ca Da解析：选C因为(xa)(xa)(xa)(1xa)，又不等式(xa)(xa)1对任意实数x恒成立，所以(xa)(1xa)0对任意实数x恒成立，所以(1)24
3、(a2a1)0，解得ab，则不等式：a2b2；中不能恒成立的个数是()A0 B1C2 D3解析：选D对于，a2b2(ab)(ab)，ab0，但ab的符号无法确定；对于，ba0，但的符号不确定所以这三个不等式都不能恒成立12设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：选C由0得k，而24，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)13已知数列an中，a1，an11，则a16_.解析：由题意可知a21，a32，a4，a51，a62，a7，所以数列an是以3为周期的周
4、期数列又16351，所以a16a1.答案：14已知log2(xy)log2xlog2y，则xy的取值范围是_解析：由已知得xyxy，又x0，y0，xyxy2，xy4.答案：4，)15已知a1,1，不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为_解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)a(x24x4)，则f(a)0对于任意的a1，1恒成立，易知只需解得x1或x3.所以x的取值范围是(，1)(3，)答案：(，1)(3，)16某房地产开发公司用800万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，已知第一层每平方米的建筑费用为600元，楼房每升高一层，每平方米的
5、建筑费用增加40元若把楼房建成n层后，每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，则n_.解析：易知每层的建筑费用构成等差数列，设为an，则n层的建筑总费用为Sn600103(60040)10360040(n1)103(2n258n)104，所以每平方米的平均综合费用为10102 581 380元，当且仅当2n，即n20时等号成立答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)ax24ax3.(1)当a1时，求关于x的不等式f(x)0的解集； (2)若对于任意的xR，均有不等式f(x)0
6、成立，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，不等式ax24ax30，即x24x30.可化为x24x30，即(x1)(x3)0，解得1x0的解集为(1,3) (2)当a0时，不等式ax24ax30恒成立； 当a0时，要使得不等式ax24ax30恒成立；只需即解得即ac，所以BC，即C为锐角，所以C，从而A.所以SABCbc2.法二：由余弦定理得b2a2c22accos B，即a22a80，得a4.所以SABCacsin B422.(2)因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac；由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac.
7、所以aca2c2ac，即(ac)20，即ac.又因为B，所以ABC为等边三角形19(本小题满分12分)货轮在海上自B点以40 km/h的速度沿方向角(从指北方向顺时针转到目标方向线的旋转角)为140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方向角为110，航行半小时后，船到达C点，观测灯塔A的方向角是65，求货轮到达C点时与灯塔A的距离解：在ABC中，BC400.520 km，ABC14011030，ACB65(180140)105，BAC45.根据正弦定理，得，AC10.故货轮到达C点时与灯塔的距离为10 km.20(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2a2x2ba3，当x(2,6)
8、时，其值为正，而当x(，2)(6，)时，其值为负(1)求实数a，b的值及函数f(x)的解析式；(2)设F(x)f(x)4(k1)x2(6k1)，问k取何值时，函数F(x)的值恒为负值？解：(1)由题意可知2和6是方程f(x)0的两根，f(x)4x216x48.(2)F(x)(4x216x48)4(k1)x2(6k1)kx24x2.当k0时，F(x)4x2不恒为负值；当k0时，若F(x)的值恒为负值，则有解得k2.21(本小题满分12分)已知Sn为数列an的前n项和，且a2S231，an13an2n(nN*)(1)求证：an2n为等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.解：(1)由an13an
9、2n可得an12n13an2n2n13an32n3(an2n)，即3.又a23a12，则S2a1a24a12，得a2S27a1431，得a15，a12130，且3.故an2n为等比数列(2)由(1)可知an2n3n1(a121)3n，故an2n3n，Sn2n1.22(本小题满分12分)已知定义域为0,1的函数f(x)是增函数，且f(1)1.(1)若对于任意x0,1，总有4f2(x)4(2a)f(x)54a0，求实数a的取值范围；(2)证明：f1.解：(1)f(x)在0,1上是增函数，则f(x)f(1)1，故1f(x)0，当f(x)1时，不等式化为0a10，显然aR；当f(x)1时，不等式化为a对于x0,1恒成立设y1f(x)1.当且仅当f(x)时取等号，ymin1，从而a1，综上所述，a(，1(2)令Tn，则Tn，化简得，Tn10，f(x)在0,1上是增函数，ff(1)1.