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1、数学必修知识点数学必修知识点一、一、集合集合二、二、函数函数三、三、初等函数初等函数五、五、函数应用函数应用四、四、函数的零点与二分法函数的零点与二分法一、集合的概念1、集合：把研究对象称为元素， 把一些元素组成的总体叫做集合2、元素与集合的关系：或3、元素的特性：确定性、互异性、无序性RQZNN、常用数集：4二、集合的表示1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并放在 内2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在 内3.图示法 Venn图三、集合间的基本关系1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集 集合A中有n个元素,则集合A子集个数
2、为-2、集合相等：BAABBA,3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集四、集合的并集、交集、全集、补集|1BxAxxBA或、 |2BxAxxBA且、 |3AxUxxACU且、全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表示AB一、函数的概念：一、函数的概念：叫做函数的值域。数值的集合值叫做函数值，函的值相对应的定义域；与叫做函数的的取值范围叫做自变量，其中，），（函数。记作的一个到集合为从集合：那么就称）和它对应，（中都有惟一确定的数在集合，中的任意一个数，使对于集合对应关系照某种确定的是非空的数集，如果按、设AxxfyxAxxAxxfyBABAfxfBxAfBA)
3、(0)()(1. 1xfxf0)()(. 2xfxf1)(0)(xfxf且)(log. 3)(xgxf0)(xg0)()(. 40 xfxf5.几种情况同时出现时要取各种情况的交集，注意实际生活的意义。二、函数的定义域二、函数的定义域1、具体函数的定义域、具体函数的定义域(1) 已知函数已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是1，3，求求f(2x-1)的定义域的定义域(2) 已知函数已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是0，5)，求求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域的定义域2、抽象函数的定义域、抽象函数的定义域54321-1-2-3-4-5-8-6-4-2246810 x=23
4、01二次函数给定区间值域问题2 43,2,4yxxx例4 已知函数求时的值域0,4x3,2x 三、函数的表示法三、函数的表示法1、解、解 析析 法法 2、列、列 表表 法法 3、图、图 像像 法法 增函数、减函数、单调函数是增函数、减函数、单调函数是 对定义域对定义域上的某个区间而言的。上的某个区间而言的。函数单调性函数单调性：用定义证明函数单调性的步骤用定义证明函数单调性的步骤:(1). 取值取值 设设x1x2, 是区间上任意二值是区间上任意二值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判断判断 f(x1)f(x2) 的符号的符号; (关键关键!)(4). 下结论下结论.函数的
5、奇偶性函数的奇偶性1.奇函数:对任意的 ,都有Ix )()(xfxf)()(xfxf2.偶函数:对任意的 ,都有Ix 3.奇函数和偶函数的必要条件:注注:要判断函数的奇偶性要判断函数的奇偶性,首先要看其定首先要看其定义域区间是否关于原点对称义域区间是否关于原点对称!定义域关于原点对称定义域关于原点对称.奇奇(偶偶)函数的一些特征函数的一些特征1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不改变单调性.3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改变单调性返回返回映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于
6、集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:AB为集合A到集合B的一个映射映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一整数指数幂整数指数幂有理指数幂有理指数幂无理指数幂无理指数幂指数指数对数对数定义定义运算性质运算性质指数函数指数函数对数函数对数函数幂函数幂函数定义定义图象与性质图象与性质定义定义图象与性质图象与性质返回返回指数幂与根式运算指数幂与根式运算1.指数幂的运算性质nmnmaaa) 1 (mnnmaa)(2(nmnmaaa)3(nnnbaab)(4 (2.a的的n次方根次方根如果，(n1,且n ),那么x就叫做a的n次方根N(1)当n为奇数时，a的n
7、次方根为 ,其中naaxn.负负正正nn(2)当n为偶数时，a0时，a的n次方根为；a0， 时，1a.NlogxNaax负数和零没有对数；负数和零没有对数；N , 1log , 01loglogNaaaaa常用关系式：常用关系式：xaxalog(1);NlogMlog)NM(logaaa(2);NlogMlogNMlogaaa(3).Rn(MlognMlogana如果如果a0,且且a1,M0,N0 ,那么那么：对数运算性质如下对数运算性质如下：几个重要公式几个重要公式(4)loglogmnaanbbmloglg(1)logloglgcacbbbaa(换底公式换底公式)1(2)loglogabb
8、a(3)loglogloglogabcabcdd指数函数的概念指数函数的概念函数函数 y = a x 叫作指数函数叫作指数函数指数指数 自变量自变量底数底数(a0且且a1) 常数常数 图图象象a10a0时时,y1;x0时时,0y0时时,0y1;x1比较两个幂的形式的数大小的方法比较两个幂的形式的数大小的方法:(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较比较,可以利用指数函数的单调性来判断可以利用指数函数的单调性来判断.(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较小比较,可以利用比商法来判断可以利用比商法来判断.(3) 对于底
9、数不同也指数不同的两个幂的对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较大小比较,则应通过中间值来判断则应通过中间值来判断.常用常用1和和0. 当当x1时，时，y0 当当x=1时，时，y=0 当当0 x1时，时，y1时，时，y0 当当x=1时，时，y=0 当当0 x0 在在logab中中,当当a ,b 同在同在(0,1)内时内时,有有logab0;当当a,b重要结论重要结论指数函数与对数函数指数函数与对数函数图象间的关系指数函数与对数函数指数函数与对数函数图像间的关系函数函数y=x叫做叫做，其中，其中x是自变是自变量，量，是常数是常数.y=f(x)的图像与的图像与x轴的交点的横坐标叫轴的交点的横坐标
10、叫做该函数的做该函数的零点零点。即。即f(x)=0的解。的解。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点若若y=f(x)的图像在的图像在a,b上是连续上是连续曲线，且曲线，且f(a)f(b)0，则在，则在(a,b)内至少有一个零点，即内至少有一个零点，即f(x)=0在在 (a,b)内至少有一个实数解。内至少有一个实数解。结论结论零点存在定理零点存在定理(1) (1) 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线：断的一条曲线：(2) f(a)(2) f(a)f
11、(b)0f(b)0函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内至少有一个零点；内至少有一个零点； 对于在区间对于在区间 上连续不断且上连续不断且 的函的函数数 ,通过不断地把函数通过不断地把函数 的零点所在的区的零点所在的区间一分为二间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到进而得到零点近似值的方法叫做二分法零点近似值的方法叫做二分法(bisection)., a b 0f af b yf x f x二分法概念二分法概念xy0ab用二分法求方程近似解的步骤用二分法求方程近似解的步骤:,给定精确度给定精确度 ； 确定区间确定区间a,b,验证验证( )( )0f
12、 af b求区间求区间(a,b)的中点的中点 ；1x计算计算1()f x若若f(1x)=0，则，则1x就是函数的零点就是函数的零点；若1( )()0f af x，则令则令b=1x(01( ,)xa x)；此时零点此时零点若1()( )0f xf b，则令则令a=1x(此时零点此时零点01(, )xx b)；判断是否达到精确度判断是否达到精确度：即若：即若|a-b|0）的的 根的分布根的分布一般情况一般情况两个根都小于两个根都小于K两个根都大于两个根都大于K一个根小于一个根小于K，一个，一个根大于根大于Kyxkkk0)(20kfkab0)(20kfkab一个根正，一个根负一个根正，一个根负f(k)0 f(0)0,正根正根大f(0)0）的的 根的分布根的分布一般情况一般情况两个根有且仅有两个根有且仅有一个在（一个在（k .k )内内12x1(m,n) x2(p,q)两个根都在（两个根都在（k .k )内内21yxkk12kk12mn pq0)(0)(202121kfkfkabkf(k )f(k )0120)(0)(0)(0)(qfpfnfmf