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1、高中数学常用公式及结论大全(新课标 )必修 11、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：元素|元素的特征，例如 x| x5,且xN2、常用数集及其表示方法1自然数集N又称非负整数集：0、1、2、3、2正整数集N*或N+：1、2、3、3整数集Z：-2、-1、0、1、4有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等5实数集R：全体实数的集合6空集 ：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于，不属于例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA 4、集合与集合的关系：子集、真子集、
2、相等1子集的概念如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记作AB或BA.假设集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，BA或A,B记作PQ(图 1)2真子集的概念假设集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的BA真子集(如图2).AB或BA.( 图 2)3集合相等：假设集合A中的元素与集合B中的元素完全相同那么称集合A等于集合B,记作A=B.AB,BAAB5、重要结论1传递性：假设AB ，BC ，那么AC2空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6、含有n个元素的集合,它的子集个数共有2n个；真子集有2n
3、1个；非空子集有2n1个(即不计空集)；非空的真子集有2n2个.7、集合的运算：交集、并集、补集AB1一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作 AB读作 A交 B，即 A B=x|x A，且 x B2一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并AB集记作AB读作A并B，即AB=x|xA，或xB3假设A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作CU A,CU Ax |xU,且xACU AA注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。8、映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B
4、的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合CCB叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数，有时简记作函数f(x).9、分段函数：在定义域的不同局部，有不同的对应法那么的函数。如2x1x0y2x3x010、求函数的定义域的原那么：解决任何函数问题，必须要考虑其定义域分式的分母不为零；如 : y1,那么x10x1偶次方根的被开方数大于或等于零；如: y5x,那么5x0对数的底数大于且不等于；如: yloga(x2), 那么a0且a1对数的真数大于；如: yloga (x2),那么x20指数为的底不
5、能为零；如 : y(m1) x ,那么m1011、函数的奇偶性在整个定义域内考虑1奇函数满足2偶函数满足f(x)f(x)f ( x) ， 奇函数的图象关于原点对称；f(x)，偶函数的图象关于y轴对称；注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;假设奇函数在原点有定义, 那么f(0)0根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。12、函数的单调性在定义域的某个区间内考虑当x1x2时，都有当x1x2时，都有f (x1 )f (x1 )f ( x2) ，那么f(x2) ，那么f (x) 在该区间上是增函数，图象从左到右上升；f (x) 在该区间上是减函数，图象从左
6、到右下降。函数 f( x) 在某区间上是增函数或减函数，那么说f (x) 在该区间具有单调性，该区间叫做单调增 /减区间13、一元二次方程ax2bxcb0 (ab20)4ac1求根公式 :x1,22a2判别式：b24ac30时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。4根与系数的关系韦达定理:x1x2bc，x1x2aa14、二次函数：一般式yax2bxc(a0) ；两根式 ya(xx1 )(xx2)(a0)2yb4acbb1顶点坐标为(,)；2对称轴方程为：x=；x2a4a2a03当 a0时，图象是开口向上的抛物线，在x=b处取得最小值2a4acb2 4a当a0时，图象是开口向下
7、的抛物线，在x=b处取得最大值2a4acb24a4二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：0时，有两个交点；0时，有一个交点即顶点；0时，无交点。15、函数的零点使 f ( x)0的实数x0叫做函数的零点。例如x01是函数f (x)x21的一个零点。注：函数yfx有零点函数yfx的图象与x轴有交点方程fx0 有实根16、函数零点的判定：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)f (b)0 。那么，函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b,使得fc0。17、分数指数幂am0,m,nN，且n1313mm111a nn a m . 如x3x2 ；(2)ana
8、 n.如namx3x 2 ；3( na)na；nnnna,a04当 n为奇数时，aa；当 n为偶数时，a|a|.a,a0srsrsr18、有理指数幂的运算性质a0, r,sQ1arasar；2(a )a；3(ab)ar br19、指数函数yax a0 且 a1，其中x是自变量，a叫做底数，定义域是Ra1y图象1x00a1y1x1定义域：R0性2值域：0，+质3过定点0，1，即x=0 时，y=14在R 上是增函数4在R上是减函数b20、假设aN，那么叫做以为底N的对数。记作：log a Nba0,a1，N0其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。a注：指数式与对数式的互化公式：logNbabN
9、 (a0,a1,N0)21、对数的性质1零和负数没有对数，即logaN 中N0；21的对数等于0，即loga 10；底数的对数等于1，即logaa122、常用对数lg N：以 10 为底的对数叫做常用对数，记为：log10NlgN自然对数ln N：以e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数，记为：log e Nln N23、对数恒等式：alog aNN24、对数的运算性质a0，a1，M0，N0M(1) loga(MN)log aMlogaN;(2)logaNlog a Mlog a N ;n(3) loga Mnloga M(nR)注意公式的逆用25、对数的换底公式log a Nlog
10、m N(a0 , 且 a1 ,mn0 , 且 m1,N0 ).log m a推论或 loga b1logba；log am bnlog a b .m26、对数函数ylogaxa0 ，且 a1 ：其中， x是自变量， a叫做底数， 定义域是(0,)a10a1y图像x01x01定义域： (0, )值域： R性质过定点1， 0增函数减函数取值范围0x1时， y1 时， y00x0 x1 时， y 0时，有xax2aaxa. 小于取中间 22xaxaxa或xa.大于取两边(2) 、解一元二次不等式ax2bxc0,(a0) 的步骤：求判别式b24ac000求一元二次方程的解：两相异实根一个实根没有实根画
11、二次函数yax2bxc的图象结合图象写出解集ax2bxc0解集xxx2或xx1xxbR2aax2bxc0解集xx1xx2注： ax2bxc0 (a0) 解集为 Rax2bxc0 对 xR恒成立03高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下)4分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。如解分式不等式x1x1 ：先移项x110;x(x1)x通分0;x87、线性规划：再除变乘(2x1)x0 ，解出。直线 AxByC01一条直线将平面分为三局部如图：AxByC02不等式AxByC0 表示直线 AxByC0AxByC0某一侧的平面区域，验证方法：取原点0，0代入不等
12、式，假设不等式成立，那么平面区域在原点所在的一侧。假设直线恰好经过原点，那么取其它点来验证，例如取点1，0。3线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数z，最大的为最大值。88、充要条件选修 1-11假设pq，那么p是q充分条件，q是p必要条件.2假设pq，且qp，那么p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，那么乙是甲的必要条件；反之亦然.89、逻辑联结词。 “ p或 q记作： p q; “p且 q记作： p q; 非 p记作： p90、四种命题：原命题：假设p，那么q逆命题：假设q，那么p否命题：假设p，那么q逆否命题：假设q，那么p注意：1原命题与逆否命题同
13、真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系；2p是指命题P的否认，注意区别“否命题。例如命题P：“假设a0，那么b0，那么 P的“否命题是： “假设a0，那么b0，而 p是：“假设a0，那么b0 。91、全称命题：含有“任意、“所有等全称量词记为的命题，如P：xR,(x1)20特称命题：含有“存在、“有些等存在量词记为的命题，如q：xR,x21注：全称命题的否认是特称命题，特称命题的否认是全称命题，如上述命题p和q的否认：p：mR,(m1)20，q：xR,x2192、椭圆定义：假设F1，F2是两定点，P为动点，且PF1PF22a ( a 为常数 )那么P 点的轨迹是椭圆。2标准方程： 焦点在
14、x轴: xa22y1(ab b20) ；焦点在 y轴: y2a2x 1(a2b 2b0)；长轴长=2a，短轴长=2b焦距：2c恒等式：a2-b2=c2离心率：eca93、双曲线定义：假设F1，F2是两定点，PF1PF22aa为常数，那么动点P的轨迹是双曲线。图形：如图标准方程：2焦点在 x轴: xa22y 1(ab20,b0)2焦点在 y轴: ya22x 1(ab20,b0)实轴长=2a，虚轴长=2b，焦距：2c222c恒等式： a +b=c离心率 ： ea渐近线方程：当焦点在x轴时，渐近线方程为ybx；当焦点在y轴时，渐近线方程为ya x ab等轴双曲线：当ab时，双曲线称为等轴双曲线，可设
15、为xy。2294、抛物线定义：到定点F距离与到定直线l的距离相等的点M的轨迹是抛物线如左下列图MF=MH。图形：HMF (p2准线,0)F方程y22px,(p0)y22p x, ( p0)x22p y, ( p0)x22p y,(p0)焦点：F(p 2,0)F(p 2,0)F (0, p)2F(0,p) 2准线方程：xpxp22y pyp22注意：几何特征：焦点到顶点的距离=p；焦点到准线的距离= p；02/95导数的几何意义：f / ( x ) 表示曲线f ( x) 在 xx0处的切线的斜率k；导数的物理意义：f( x0) 表示运动物体在时刻x0 处的瞬时速度。96、几种常见函数的导数(1) C0C为常数.(2)(xn )nxn1 (nQ) .(3)(sin x)cosx.(4)(cosx)sin x .(