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1、浙江省 2022 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试点对点高等数学模拟卷第1卷答案一、选择题15:DCBCD第3题无正确答案二、填空题6.1；7.0；8.-1；9.1；10.lny=Cx+1;11.-1,0)(0,12xp2p112.a;13.;14.2arctan xdx;15.e+-244e三、计算题xx - te dttx316.求极限 lim0x0+x【详解】令 x-t=u，那么t=x-u, dt=-du， x-tetdt=xuex -u duxx - tet dtx3x3xexue-u du00xue-udu-xlim0=lim0=lim0=limxe=2x3x0+n kx
2、0+k x0+x0+3x3217.求 limnk =1 n2 ln1+n【详解】由定积分的定义n kk1 n kk1limn2ln1+n=limnnln1+n=0xln(1+x)dxnk =1nk=1=11ln(1+x)dx2=12 04118.设f(x)=(1+x)x,x0，且f(x)在x=0点连续，求：1k的值2f(x)k答案：1k=e,x =011xln(1 +x) (1+x)x-.x 02f (x) =x(1+x)2-e .x = 0219.计算不定积分 ln(1+1+x)dx x( x 0) .1+ xx【解析】令=t得 x=1, dx=-2tdtt2-1(t 2-1)2ln(1+1
3、+x )dx=xln(1+t)d1t 2 -1=ln(1+t)-t 2 -1而11 dtt2-1t+111 dt =1( 1 -1 -2)dtt2-1t+14t-1t+1(t+1)21ln(t-1)-1ln(t+1)+244所以1 +C t+1ln(1+1+x)dx=ln(1+t)+1lnt+1-1+Cxt2-14t-12(t+1)=x ln(1+1+x ) +1 ln(1+ x1x21+ x +x+x)-+C.x2sinq-p 1 + cos 2 qp20、计算 220dq- sinqpsinqp解：原式=p2dq+2dq=2-2 1 + cos q0 1 +cosq221.求 y-(cos
4、x)y=esinx满足 y(0) =1的解. 答案： y=esinx(x+1)22、求通过点1,1,1且与直线x+1=y-1=z+1及直线4x+3y+2z+1=0都垂直的直线-12-1方程. 解析：Qn1 = (4, 3, 2), n2 = (1, -1,1)ururQs1 = (-1, 2, -1), s2 = (5, -2, -7)rururs =s1 s2 = (16,12,8)x -1 =y -1 =z -1 432x-y+z -5=0123.设 D 是由曲线 y =x3 ，直线 x =a(a 0) 及 x 轴所围成的平面图形，Vx ,Vy 分别是 D 绕x 轴， y 轴旋转一周所得旋
5、转体的体积，假设Vy =10Vx ，求 a 的值。解析：由题意可得：aVx=p01(x3 )2 dx =3pa355aVy = 2p1xx3dx=6p7a 30V = 10V776p735因为：yx所以a 3 = 10 75pa3a=7四、综合题24.曲线 y =5f(x)通过点-1,5，且f(x)满足方程3xf(x)-8f(x)=12x3，试求：1函数 f (x) 的表达式；2曲线 y =f (x) 的凹凸区间与拐点.【解析】15823xf (x) - 8 f (x) = 12x3 f (x) -3x3x3xf (x) = 4x 3f (x)e(q(x)edx + c) = e=-p ( x
6、)dx p(x)dx-(- 8)dx 2(- 8)dx( 4x 3 edx + c)58=-4x3 +cx3又过(-1, 5) c = 185f(x)=x3-4x32x- ，000,111，+ f (x)+f (x)凹拐点凸拐点凹拐点：0,01,3凹：-，0,1，+凸：0,125.证明：当0 x p时， x sin x + 2 cos x 2 .【解析】令 f (x) =x sin x +1cos x - 2那么f (x) = sin x +x cos x - 2 sin xf (x) = cos x + cos x -x sin x - 2 cos x=-x sin x因为 0xp所以 f(
7、x) 0因为 f (x) 所以f (x) f (0) = 0所 以 f (x) 因 为 f (x) f (0) = 0得证。26.求幂级数n=1(12n +1-1)x2n在区间(-1,1)内的和函数 S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或函数的 幂级数展开式，从而到达求和的目的.【详解】 设S ( x) =n=1(12n +1- 1) x 2 n ，S ( x) =1x2 nS ( x) =x 2 nn=112n+1，2，n=1那么S(x)=S1(x)-S2(x)，x(-1,1).由于S 2 ( x) =n=1x2 nx 2=，1 -x 2(xS1 (x)=n=1x 2n =x 21-x2, x (-1,1) ,x t 211 +x因此又由于xS1(x)=01-t2dt=-x+2ln1-x，S1 (0) = 0 ，故-1+1 ln 1 +x , x 1,S1 (x) =2x1 -x0,=1x = 0.ln1+x-1x 1,2所以S(x)=S1(x)-S2(x)2x1 -x0,1 -xx = 0.