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1、汕头市金山中学2017-2018学年度第二学期期末考试高一理科数学 试题卷本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第卷 （选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设全集，集合，则（ ）A B C D2下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）A B C D3设，则的大小关系是（ ）A B C D4在边长为的菱形中,则在方向上的投影为（ ）A B C D5函数的零点所在的区间是（ ）A B C D6设,若,则（ ）A2 B4 C6 D87为了研究某班学生的脚长（单位
2、厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）8一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为（ ）A B C D9执行如图的程序框图，已知输出的。若输入的，则实数的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4 10若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（ ）A B C D11各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则的值为（ ）A B C D12已知函数有唯一零点，则负实数（ ）A B C-3 D-2第卷 （非选择题 共90分）二、
3、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如果，且是第四象限的角，那么 。14设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 。15若实数满足，则的最大值为 。16非零向量的夹角为，且满足，向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）如图中，已知点在边上，且，（1）求的长；（2）求18（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和。19（本小题满分12分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四
4、年级学生随机按0099编号，并且按编号顺序平均分成10组现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率20（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不
5、超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图 （1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到001）（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元若
6、商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值附：相关系数公式，参考数据，21（本小题满分12分）在数列中，。（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22（本小题满分12分）设为实数，函数（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数汕头市金山中学2017-2018学年度第二学期期末考试高一理科数学 参考答案一、选择题题号123456789101112选项CCDCBCCADBAC二、填空题13 14 3 15 16 三、解答题17解：（1）因为，所以,所以 1分在中，由余弦定理可知，即, 3分解之得或, 由于,所以5
7、分（2）在中，由正弦定理可知，, 又由可知 7分 所以 8分 因为，即10分18解：（1）当时， ，. . 2分，. 3分数列是以为首项，公比为的等比数列. 4分. 6分（2）由（1）得， 8分当时， 10分。 12分19 解：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. 1分因为210(31)22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92. 3分（2）这10名学生的平均成绩为： (81707376787962656759)71，故样本方差为：（1021222527282926242122）52. 6分（
8、3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. 8分其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. 10分故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：。 12分20解：（1）由已知数据可得，1分因为 2分 3分 4分所以相关系数5分因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系6分（2）记商家周
9、总利润为元，由条件可得在过去50周里：当时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润=13000-21000=1000元8分当时，共有35周，此时2台光照控制仪运行，周总利润=23000-11000=5000元9分当时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润=33000=9000元10分所以过去50周周总利润的平均值元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元 12分21解析：（1）由 ，得，2分又， ，所以，3分所以是首项为，公比为的等比数列所以， 4分所以. 6分（2）,， 7分，8分又 10分所以数列的前项和为. 12分22解：（1），因为，所以，当时，显然成立；1分当，则有，所以.所以.2分综上所述，的取值范围是.3分（2）4分对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；5分对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减. 6分综上所述，在上单调递增，在上单调递减. 7分（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.8分(i)当时，令，即（）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，所以与在无交点.当时，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.9分(ii)当时，当时，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小因为所以10分结合图象不难得当时，与有两个交点. 11分综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点. 12分9