年考研数学二真题.docx

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1、考研数学助手 您考研的忠实伴侣2006 年全国硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（1）曲线 y =x + 4sin x5x - 2 cos x的水平渐近线方程为y = 1 .5【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.1+ 4 sin x【详解】limx + 4 sin x= limx= 1 .x 5x - 2 cos xx 5 - 2 cos x5x故曲线的水平渐近线方程为y = 1 .5 1x sin t 2dt, x 01（2）设函数 f (x) = x3 0a, x = 0在 x = 0 处连续，则

2、a =. 3 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】由题设知，函数 f (x) 在x = 0 处连续，则lim f (x) = f (0) = a ，lim=.x0又因为x sin t 2dtlim f (x) = lim 0=sin x21x0所以 a = 1 .3x0x3x03x23（3） 广义积分+xdx0 (1+ x2 )2= 1 . 2 【分析】利用凑微分法和牛顿莱布尼兹公式求解.11+x b+xdx= 1b d(1+x2 )1 =b1111【详解】0 (1+ x2 ) 22 lim 0 (1+ x )2- lim22 b= -lim02

3、2 b 1+b+22 = 2 .（4） 微分方程 y = y(1- x) 的通解是 y = Cxe- x (x 0).x【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为dy = 1 -1 dx ，y x两边积分得 ln y = ln x - x + C1 ，整理得y = Cxe- x .（ C = eC1 ）（5）设函数 y = y(x) 由方程 y = 1- xey 确定，则dx x=0 = -e.dy【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对 x 求导（注意 y 是 x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】方法一：方程两边对 x 求导，得

4、dydxy = -ey - xyey . 又由原方程知， x = 0时, y = 1 .代入上式得 方法二：方程两边微分，得x=0= yx=0= -e . dy = -ey dx - xey dy ，代入 x = 0, y = 1，得 dydxx=0= -e .方法三：令 F (x, y) = y -1+ xey ，则Fx x=0, y =1= eyx=0, y =1= e, Fyx=0, y =1= (1+ xe y )x=0, y =1= 1 ，dydxF故= - xx=0Fyx=0, y=1x=0, y=1= -e . - 12（6）设矩阵 A = 21 ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵

5、 B 满足 BA = B + 2E ，则B = 2.【分析】将矩阵方程改写为 AX式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B( A - E) = 2E= B或XA = B 或AXB =C的形式，再用方阵相乘的行列于是有B A-E= 4 ，而 A - E= 11 = 2 ，所以 B = 2 .-1 1二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数 y = f (x) 具有二阶导数，且 f (x) 0, f (x) 0 ，Dx 为自变量 x 在点 x0 处的增量， Dy与dy 分别为 f (x)

6、在点 x0 处对应的增量与微分，若Dx 0，则(A)0 dy Dy .(B)0 Dy dy .(C)Dy dy 0 .(D) dy Dy 0, f (x) 0 知，函数 f (x) 单调增加，曲线 y = f (x) 凹向，作函数 y = f (x) 的图形如右图所示，显然当Dx 0时，Dy dy = f (x0 )dx = f (x0 )Dx 0 ，故应选().（8）设 f (x) 是奇函数，除 x = 0 外处处连续， x = 0 是x其第一类间断点，则 0f (t)dt 是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在 x = 0 间断的奇函数（D）在 x = 0 间断的偶函数.B【分析

7、】 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题x设条件的特殊函数 f (x) 去计算 F (x) = 0【详解】取 f (x) = x, x 0 .1, x = 0f (t)dt ，然后选择正确选项.则当 x 0 时， F (x) = x f (t)dt = lim x tdt = 1 lim (x2 - e 2 )= 1 x2 ，0e 0+ e2 e 0+2而 F (0) = 0 = lim F (x) ，所以 F (x) 为连续的偶函数，则选项（）正确，故选（）.x0（9）设函数 g(x) 可微， h(x) = e1+ g ( x) , h(1) = 1, g(1

8、) = 2 ，则 g(1) 等于（A） ln 3 -1.（B） - ln 3 -1.（C） -ln 2 -1.（D） ln 2 -1.C【分析】题设条件h(x) = e1+ g ( x) 两边对 x 求导,再令 x =1 即可.【详解】h(x) = e1+ g ( x) 两边对 x 求导,得 h(x) = e1+ g ( x) g(x) .上式中令 x =1 ，又h(1) = 1, g(1) = 2 ，可得1 = h(1) = e1+ g (1) g(1) = 2e1+ g (1) g(1) = - ln 2 -1 ，故选（C）.12（10）函数 y = C ex + C e-2x + xex

9、 满足的一个微分方程是（A） y - y - 2 y = 3xex .（B） y - y - 2 y = 3ex .（C） y + y - 2 y = 3xex .（D） y + y - 2 y = 3ex .D【分析】 本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】 由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为l1 = 1, l2 = -2 .则对应的齐次微分方程的特征方程为(l -1)(l + 2) = 0,即l2 + l - 2 = 0

10、.故对应的齐次微分方程为y + y - 2 y = 0.又 y* = xex 为原微分方程的一个特解，而l = 1为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式 f (x) = Cex （ C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）p100（11）设 f (x, y) 为连续函数，则 4 dq f (r cosq , r sinq )rdr 等于21- x20x（）2 dx21- x200f (x, y)dy .（B）2 dxf (x, y)dy .(C) 21- y20y2 dyf (x, y)dx . (D)21- y2002 dyf (x, y)dx.【分析】 本题考查将

11、坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域 D 如右图所示，显然是Y型域，则21- y2 原式=2 dyf (x, y)dx .0y故选（）.（12）设 f (x, y)与j (x, y) 均为可微函数，且jy(x, y) 0 ，已知(x0 , y0 ) 是 f (x, y) 在约束条件j(x, y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若 f (x , y ) = 0 ，则 f (x , y ) = 0 .x00y00(B)若 f (x , y ) = 0 ，则 f (x , y )

12、0 .x00y00(C) 若 f (x , y ) 0 ， 则 f (x , y ) = 0 .x00y00(D) 若 f (x , y ) 0 ， 则 f (x , y ) 0 . x00y00【分析】 利用拉格朗日函数 F(x, y, l) = f (x, y) + lj(x, y) 在(x0 , y0 , l0 )（ l0 是对应x0 , y0 的参数l 的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数 F(x, y, l) = f (x, y) + lj(x, y) ，并记对应 x0 , y0 的参数l 的值为l0 ，则xF ( x0 ,y0 l,0 =) f (x0 , y0 )

13、 + lj (x0 , y0 ) = 0x0 x， 即.Fy( x0 ,消去l0 ，得y0 l,0 =) f y(x0 , y0 ) + l0j y(x0 , y0 ) = 0f (x , y )j (x , y ) - f (x , y )j (x , y ) = 0 ,x00y00y00x00整理得 f (x , y ) =1f (x , y )j (x , y ) .（因为j (x, y) 0 ），x00j (x , y ) y00x00yy00若 f (x , y ) 0 ，则 f (x , y ) 0 .故选（）.x00y00（13）设a1,a2 ,as 均为n 维列向量， A 为

14、m n 矩阵，下列选项正确的是(A)若a1,a2 ,as 线性相关，则 Aa1, Aa2 , Aas 线性相关.(B)若a1,a2 ,as 线性相关，则 Aa1, Aa2 , Aas 线性无关.(C)若a1,a2 ,as 线性无关，则 Aa1, Aa2 , Aas 线性相关.(D)若a1,a2 ,as 线性无关，则 Aa1, Aa2 , Aas 线性无关.A【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记 B = (a1,a2 ,as ) ，则( Aa1, Aa2 , Aas ) = AB .所以，若向量组a1,a2 ,as 线性相关，则 r(B) s ，从而 r

15、( AB) r(B) s ，向量组Aa1, Aa2 , Aas 也线性相关，故应选().（14）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的-1倍加到第 2 110列得C ，记 P = 010 ，则 001 （） C = P-1 AP . （） C = PAP-1 .（） C = PT AP . （） C = PAPT . 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】 由题设可得 110 1-10 110 1-10 B = 010 A,C = B 010 = 010 A 010 ， 001 001 001 001

16、1-10而 P-1 = 010 ，则有C = PAP-1 .故应选（）. 001 三 、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）试确定 A, B, C 的值，使得ex (1+ Bx + Cx2 ) = 1+ Ax + o(x3 ) ， 其中o(x3 ) 是当 x 0 时比 x3 高阶的无穷小.【分析】 题设方程右边为关于 x 的多项式，要联想到ex 的泰勒级数展开式，比较 x 的同次项系数，可得 A, B, C 的值.xx2x33【详解】 将ex 的泰勒级数展开式e= 1+ x + o(x ) 代入题设等式得26x2x33 2

17、31+ x + 2 + 6 + o(x )1+ Bx + Cx = 1+ Ax + o(x )整理得1+ (B +1)x + B + C + 1 x2 + B + C + 1 + o(x 3) = 1+ Ax + o(x )32 26 比较两边同次幂系数得 A = 1B +1 = A31223B + C += 0 ，解得 B =-. B + C + 1 = 0C = 1 26（16）（本题满分 10 分）arcsin ex6求dx .ex【分析】 题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.arcsin exx- x- xxxex【详解】 xdx = - arcsin e de= -earcsin

18、 e + e dxe1- e2 x= -e- x arcsin ex + 11- edx .2 x令t =，则 x = 1 ln(1- t 2 ), dx = -tdt ，1- e2 x21- t 211- e2 x所以dx = 1 dt = 1 1 -1 dt t 2 -12 t -1t +1t -1t +1 1- e2 x +11- e2 x -1= 11ln2（17）（本题满分 10 分）+ C =ln.2设区域 D = (x, y) x2 + y2 1, x 0， 计算二重积分 1+ xydxdy.1+ 2 2x + yD【分析】 由于积分区域 D 关于 x 轴对称，故可先利用二重积分

19、的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域 D 如右图所示.因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 f (x, y) =函数 g(x, y) =11+ x2 + y2xy1+ x2 + y2是变量 y 的偶函数，是变量 y 的奇函数.则11p1rp ln 2D22 dxdy = 222 dxdy = 2 2 dq dr =2D 1+ x + y1+ x + y100 1+ r21+=x +yxy22 dxdy0 ，D1+ xy1xyp ln 2DDD故 1+ x2 + y2 dxdy = 1+ x2 + y2 dxdy + 1+ x2

20、 + y2 dxdy =2.（18）（本题满分 12 分）)设数列xn 满足0 x1 p , xn+1 = sin xn (n = 1, 2,n（）证明lim x 存在，并求该极限；n（）计算lim xn+1 n1x2.n xn 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （）的计算需利用（）的结果.【详解】 （）因为0 x1 p ，则0 x2 = sin x1 1 p .可推得 0 xn+1 = sin xn 1 p , n = 1, 2,，则数列xn 有界.xsin x于是 n+1 =n 0时，sin x x ）， 则有 x x ，可见数列x

21、单xnxnn调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim x 存在.nn+1nnn设lim x = l ，在nxn+1 = sinxn 两边令n ，得 l = sin l ，解得l = 0 ，即limnxn =0 .x2x211（） 因 lim xn+1 n= lim sin xn n ，由（）知该极限为1 型，n xn n xn令t = xn ，则n ,t 0 ，而 1 11 1 t2sin t -1t1 sin t t2sin tt2sin t sin t -1 lim t= lim 1+t-1= lim 1+t-1 t，t 0 t 0 t 0 又 lim1 sin t2 -1 =

22、limsin t - t3= lim3t3t -+ o(t3!3) - t= - 1 .t 0 t tt 0tt 0t6（利用了sin x 的麦克劳林展开式）x211x2故 lim xn+1 n= lim sin xn n- 1= e 6 .n xn n xn（19）（本题满分 10 分）证明：当0 a b a sin a + 2cos a +p a .【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令 f (x) = x sin x + 2cos x +p x - a sin a - 2cos a -p a, 0 a x b p ，则 f (x) = sin x

23、+ x cos x - 2sin x +p = x cos x - sin x + p ，且 f (p ) = 0 .又 f (x) = cos x - x sin x - cos x = -x sin x 0 ，（ 0 x），故当0 a x b f (p ) = 0 ，则f (x) 单调增加，于是 f (b) f (a) = 0 ，即bsin b + 2cosb +pb a sin a + 2cos a +p a .（20）（本题满分 12 分）设函数 f (u) 在(0, +) 内具有二阶导数，且 z = f (2 z + 2 z =x2 + y2 )满足等式（I）验证 f (u) +x2

24、f (u) = 0 ；uy20 .（II）若 f (1) = 0, f (1) = 1，求函数 f (u) 的表达式.2 z 2 z2 z2 z【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出 x2 , y2 代入 x2 + y2 = 0 即可得（I）. 按常规方法解（II）即可.x2 + y2【详解】 （I） 设u =，则z = f (u)xx, z = f (u)y.x2 + y2x2 + y2yx2 + y2-x2x2 + y2 2 z =xxx2 + y2x2f (u) + f(u) x2 + y2x2 + y2= f (u) x2+x2 + y2f (u) y，23(x2 + y2 )22

25、z =y2f (u) y2+x2 + y2f (u) x.232 z将x22 z, y22 z代入x22 z+=y20 得(x2 + y2 )2f (u) +f (u) = 0 .u（II） 令 f (u) = p ，则 p + p = 0 dp = - du ，两边积分得upuln p = - ln u + ln C ，即 p = C1 ，亦即 f (u) = C1 .1uu由 f (1) = 1可得 C1 = 1 .所以有 f (u) = 1 ，两边积分得uf (u) = ln u + C2 ，由 f (1) = 0 可得 C2 = 0 ，故 f (u) = ln u .（21）（本题满分

26、 12 分）x = t 2 +1,已知曲线 L 的方程 y = 4t - t 2（I）讨论 L 的凹凸性；(t 0)（II）过点(-1, 0) 引 L 的切线，求切点(x0 , y0 ) ，并写出切线的方程；（III）求此切线与 L（对应于 x x0 的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积.【分析】 （I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用 (-1, 0)在切线上 ； （III）利用定积分计算平面图形的面积.dy【详解】 （I）因为 dx = 2t, dy = 4 - 2t dy = dt= 4 - 2t = 2 -1dtdtdxdx dt2ttd2 y =d dy

27、1= - 2 1= - 1 dx2dt dx dxt 2 2tt30, (t0)dt故曲线 L 当t 0 时是凸的.（II）由（I）知，切线方程为 y - 0 = 2 -1 (x +1) ，设 x= t2 +1 ， y= 4t- t2 ， t00000则4t- t 2 = 2 -1 (t 2 + 2) ，即4t2 - t3 = (2 - t )(t2 + 2)00 0t 00000整理得 t2 + t - 2 = 0 (t -1)(t + 2) = 0 t = 1, -2(舍去）.00000将t0 = 1代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为y - 3 = 2 -1 (x - 2) ，

28、即 y = x +1. 1（III）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为A(1, 0), B(2, 0),C(2,3), D(-1, 0) ，设 L 的方程 x = g( y) ，3则 S = 0 (g( y) - ( y -1) dy4 - y由参数方程可得t = 2 ，即 x = (2 4 - y )2 +1 .由于（2，3）在 L 上，则 x = g( y) = (2 -4 - y )2 +1 = 9 - y - 2.于是4 - y0 S = 3 (9 - y - 4 4 - y )- ( y -1)dy33= 0 (10 - 2 y)dy - 404 - ydy= (10

29、 y - y2 ) 3 + 8 (4 - y )3 3 = 7 .20303（22）（本题满分 9 分）已知非齐次线性方程组x1 + x2 + x3 + x4 = -14x + 3x + 5x - x = -11234ax + x + 3x + bx = 11234有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵 A 的秩r ( A) = 2 ； （）求a,b 的值及方程组的通解. 【分析】 （I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II）利用初等变换求矩阵 A的秩确定参数a,b ，然后解方程组.【详解】 （I） 设a1,a2 ,a3 是方程组 Ax = b 的 3 个线性无关的解，其中 1

30、111 -1A = 435-1 , b = -1 . a13b 1 则有 A(a1 -a2 ) = 0, A(a1 -a3 ) = 0 .则 a1 -a2 ,a1 -a3 是对应齐次线性方程组 Ax = 0的解，且线性无关.（否则，易推出a1,a2 ,a3 线性相关，矛盾）.所以 n - r(A) 2 ，即4 - r(A) 2 r( A) 2 .11又矩阵 A 中有一个 2 阶子式43= -1 0 ，所以r( A) 2 . 因此 r( A) = 2 .（II）因为 1111 1111 1111A = 435-1 0-11-5 0-11-5. a13b 0 1- a3 - ab - a 004

31、- 2ab + 4a - 5 又r( A) = 2 ，则 4 - 2a = 0 a = 2 .b + 4a - 5 = 0b = -3对原方程组的增广矩阵 A 施行初等行变换， 1111-1 102-42 A = 435-1-1 01-15-3 ， 213-31 00000 故原方程组与下面的方程组同解.x1 = -2x3 + 4x4 + 2x = x - 5x - 3. 234选 x3 , x4 为自由变量，则x1 = -2x3 + 4x4 + 2x = x - 5x - 3 234x = x. 33x4 = x4 故所求通解为 -2 4 2 1 -5 -3x = k + k + ， k ,

32、 k 为任意常数.1 1 2 0 0 12（23）（本题满分 9 分）01012设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量a = (-1, 2, -1)T ,a = (0, -1,1)T 是线性方程组 Ax = 0的两个解.() 求 A 的特征值与特征向量；() 求正交矩阵Q 和对角矩阵L ,使得QT AQ = L .【分析】 由矩阵 A 的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵 A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组 Ax = 0有非零解可知 A 必有零特征值，其非零解是 0 特征值所对应的特征向量.将 A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 ()

33、 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以 1 31 A1 = 3 = 31 ， 131 则由特征值和特征向量的定义知， l = 3是矩阵 A 的特征值，a = (1,1,1)T 是对应的特征向量.对应l = 3的全部特征向量为ka ，其中k 为不为零的常数. 又由题设知 Aa1 = 0, Aa2 = 0 ，即 Aa1 = 0 a1, Aa2=0 a2 ，而且a1 ,a2 线性无关，所以l = 0 是矩阵 A 的二重特征值，a1 ,a2 是其对应的特征向量，对应l = 0 的全部特征向量为 k1a1 + k2a2 ，其中k1 , k2 为不全为零的常数. () 因为 A 是实对称矩阵，所以a 与a1 ,a2 正交，所以只需将a1 ,a2 正交. 取 b1 = a1 ， - 1 0 -12 (a2 , b1 )-3 b2 = a2 - (b , b ) b1 = -1 - 6 2 = 0 . 11 1 -1 1 再将