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1、第一章?排列、组合二项式定理?单元测试题一、选择题本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分15 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，那么不同的报名方法共有A10种B20 种 C25种D32种2甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，那么不同的选修方案共有A36 种 B48 种 C96 种 D192 种3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A1440种B960 种C720种D480种4.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相
2、同的牌照号码共有261026 102626(C1)2A4个A2A4个(C1)2104个A2104个5. 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，那么不同的选派方法共有A 40种 B60 种 C 100 种D 120 种6. 由数字 0，1 ，2，3，4，5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( )A.72B.60C.48D.527.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，假设按从小到大的顺序排列，那么数字12340应是第个数.A.6B.9C.10D.8 8.AB 和 CD
3、 为平面内两条相交直线，AB 上有 m 个点，CD 上有 n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，那么以这 m+n-1 个点为顶点的三角形的个数是( )A . C1 C 2 +C1C 2B. C1 C 2 +C1C 2C. C1C 2 +C1C 2D.m nnmmnn-1mm-1 nnmC1 C 2 +C1 C 210m-1 nn-1m-12姓 名 班 级 学 号9.设(-x)10=a0+ a1 x +a2x2+ax10 ,那么(a0+ a2+a10)2-(a+ a2+a9)2的值为( )1A.0B.-1C.1D. 10. 2022 年世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛
4、,决出 16 强(各组的前2 名小组出线),这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名，那么比赛进行的总场数为( )A.64 B.72 C.60D.5611.用二项式定理计算 9.985，精确到 1 的近似值为( )A.99000B.99002C.99004D.99005 12. 从不同号码的五双靴中任取 4 只，其中恰好有一双的取法种数为 A.1 20 B.240 C.360D.72二、 填空题本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分13.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法用数
5、字作答.14.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，那么其中数字1，2相邻的偶数有个用数字作答1x15. 假设(2x3+)n 的展开式中含有常数项，那么最小的正整数 n等于 .16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，那么不同的选法共有种。用数字作答13141516三、解答题本大题共 6 小题，共 74 分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。17如图，电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A，假设灯 A 不亮，分析因电阻断路的可能性共RRRRRRR有多少种情况。18从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，
6、试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？在中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？在中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？19把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1） 43251 是这个数列的第几项？（2） 这个数列的第 96 项是多少？（3） 求这个数列的各项和.20.本小题总分值12分求证：能被25整除。3n21. 本小题总分值 14 分-3 a 的展开式的各项系数之和等于a1 53n 43b-展开式中的常数项，求-3a展开式中含的项的二项式系数.5ba22. 本小题总分值 14
7、 分假设某一等差数列的首项为C 11-2 n -P 2n-2 ,公差为5n11-3n2 3 x 2-5m展开式中的常数项,其中 m 是7777 - 15 除以 19 的余数，那么此数列前多少2x5项的和最大？并求出这个最大值.单元测试卷参考答案 排列、组合、二项式定理一、选择题：每题 5 分，共 60 分1、D解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，那么不同的报名方法共有25=32种，选D4442、C解析甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门， 那么不同的选修方案共有C2C3C3=96种，选C53、解析：5 名志愿者先排成一排，有 A
8、5 种方法，2 位老人作一组插入其中，且两位老人有5左右顺序，共有2 4 A5 =960 种不同的排法，选 B4、A解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不2610相同的牌照号码共有(C1)2A4个，选 A5 35、B 解析：从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天， 要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，那么不同的选派方法共有C2A2=60种，选 B 6、B 解析:只考虑奇偶相间,那么有2 A3A3种不同的排法,其中 0 在首位的有 A2A3种不3323符合题意,所以共有2 A3A3-A2A3= 60
9、 种.332337、C解析:比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有A3=6个;第二类是千2位为 2 ,百位比 3 小为 0,有 A2=2个; 第三类是十位比 4 小为 0,有 1 个.共有6+2+1=9 个,所以 12340 是第 10 个数.8、D解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.29、C 解析: 由 (-x)10=a0+ a1 x +a2x2+a10x10 可得:2当 x = 1 时, (-1)10=a+a11 +a212+a10110 =a0 +a1 +a2 +a100当 x =-1 时, (2+1)10=a- a1+ a2- a3+a10
10、=a0 -a1 +a2 +a100(a0 +a2 +a10 )2 -(a1 +a2 +a9 )2=(a0 +a1 +a2 +a10 )(a0 -a1 +a2 -a3 +a10 )2=(-1)10(2+1)10=(2-1)(2+1)10=1.410、A 解析:先进行单循环赛,有8C 2= 48 场,在进行第一轮淘汰赛,16 个队打 8 场,在决出 4 强,打 4 场,再分别举行 2 场决出胜负,两胜者打 1 场决出冠、亚军,两负者打 1 场决出三、四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64 场.11、C解析:9.985=(10-0.02)5=105-C11040.02+C2103(0.02)2
11、+C3102(0.02)3+555= 105-103+ 4 - 0.06 + 99004 .512、A 解析:先取出一双有C 1 种取法,再从剩下的 4 双鞋中取出 2 双,而后从每双中各取一只,有C 2C1C1种不同的取法,共有C1C 2C1C1= 120 种不同的取法.42 25422二、 填空题(每题 4 分，共 16 分13、1260解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有953C4gC2gC3=126014、24解析：可以分情况讨论：假设末位数字为0，那么1，2，为一组，且可以交换位置，323，4，各为 1 个数字，共可以组成2 A3 = 12 个五位数； 假
12、设末位数字为 2，那么1 与它相邻，其余 3 个数字排列，且 0 不是首位数字，那么有2 A2 = 4 个五位数； 假设末位数字为4，那么 1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为 1 个数字，且 0 不是首位数字，那么有22 (2 A2 ) =8 个五位数，所以全部合理的五位数共有 24 个x115、7解析：假设(2x3+)n的展开式中含有常数项， Tr+1=Cn-r(2x3)n-r(1)r 为常数xn项，即3n -7r =0，当 n=7，r=6 时成立，最小的正整数 n等于 7.216、36种解析从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担
13、任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从344 人中选 2 人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有C1 A2 = 3 4 3 = 36 种三、解答题共六个小题，总分值 74 分17.解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线 a，b 中至少有一个电阻断路情况都有 221=3 种；4 分支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有 221=7 种，6 分每条支线至少有一个电阻断路，灯 A 就不亮，4因此灯 A 不亮的情况共有 337=63 种情况.10 分18. 解：分步完成：第一步在 4 个偶数中取 3 个，可有C 3种情况；5第二步在
14、5 个奇数中取 4 个，可有C 4种情况；7第三步 3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有 A7种情况，所以符合题意的七位数有C 3C 4A7= 100800 个3 分 457上述七位数中，三个偶数排在一起的有个 C 3C 4A5A3= 14400 6 分4553上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有C 3C 4C 5A3A2A2= 5760 个9 分455 3 42上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，再将 3 个偶数分别插入 5个空档，共有 A4C 3A3= 28800 个.12 分54519.解：先考虑大于 43251 的数，分为以下三类4第一类：以 5
15、打头的有： A4=243第二类：以 45 打头的有： A3=62 第三类：以 435 打头的有： A 2=22 分5432故不大于 43251 的五位数有： A5-(A4+A3+A2)= 88 个即 43251 是第 88 项.4 分数列共有 A=120 项，96 项以后还有 120-96=24 项， 即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个，所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项.即为 45321.8 分 因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 各在万位上时都有 A 个五位数， 所以万位上数字的和为：1+2+3+4+5A1000010 分同理它们在千位、
16、十位、个位上也都有 A 个五位数，所以这个数列各项和为：1+2+3+4+5A1+10+100+1000+10000=152411111=399996012 分20.证明:因 2n+23n+5n-4=46n+5n-4=4(5+1)n+5n-43 分nnnn=4.(5n+C15n-1+C25n-2+Cn-252+Cn-15+1)+5n-48 分= 4.(5n+C1 5n-1+C 2 5n-2+C n-2 52)+ 25n 10 分nnnnnn显然 (5n+C1 5n-1+C 2 5n-2+C n-2 52)能被 25 整除,25n 能被 25 整除,所以2n+2 3n + 5n - 4 能被 25
17、 整除.12 分21. 设4531r3b-的展开式的通项为Tr+1=C5(4b)r5-r 1-1r5b 510-5r5b=- 45-r C r b 6, (r = 0,1,2,3,4,5).6 分510 - 5r假设它为常数项,那么6= 0,r = 2 ,代入上式T3= 27.3n即常数项是27，从而可得 -3 a中 n=7，10 分a37同理 -3a由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，a其二项式系数是 35.14 分22. 由得：11 - 2n 5n,又 n N ,n = 2 ,2 分2n - 2 11 - 3nC11-2n -P 2n-2 =C 7-P 2=C3-P 2=10 9 8
18、 - 5 4 = 1005n11-3n1051053 2所以首项 a1= 100 .4 分777777-15=(76+1)77-15=7677+C17676+C1 76 + 1 -152 3 x 2577= 76M -14, (M N *),所以7777 - 15 除以 19 的余数是 5,即 m = 5 6 分2 3 x 255mr 55-rr-2x的展开式的通项Tr+1=C52x-55-2r5r -5=(-1)r Crx3, (r =0,1,2,3,4,5),5 2 假设它为常数项,那么5 r - 5 = 0,r = 3 ,代入上式T4 =-4 =d .3从而等差数列的通项公式是： an= 104 - 4n ，10 分设其前 k 项之和最大，那么104 - 4n 0，解得 k=25 或 k=26，104 - 4(k +1) 0故 此 数列 的前25项之和与前26项 之 和 相 等 且 最 大，S25=S26=100 + 104 - 4 25 25 = 1300 .14 分2