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1、北京市汇文中学2022-2021学年高二数学上学期期中试题含解析一选择题1. ，那么直线AB的斜率为 A. 2B. 1C. D. 不存在【答案】A【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB的斜率.【详解】由，可得.应选：A.2. 圆心为且过点的圆的方程是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案【详解】圆心为3，2且过点A1，1，圆的半径，那么圆的方程为x+32+y2225应选D【点睛】此题考查圆的方程的求法，两点间距离，是根底的题型3. 焦点在轴上的椭圆的离心率是，那么实数的值是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
2、分析】由题意可得，那么，再由离心率是，可得，从而可求出实数的值详解】解：由题意可得，那么，因为，所以，所以，解得，应选：A4. 圆，直线，那么直线被圆所截的弦长为 A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】设直线与圆交于两点，从点向直线作垂线，垂足为，连结，由点到直线的距离公式，可求出，再结合，可求出答案.【详解】设直线与圆交于两点，从点向直线作垂线，垂足为，连结，那么，.应选：C.5. 抛物线的焦点为F，是C上一点，那么= A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出【详解】由抛物线可得，准线方程，是上一点，解得应选：6. 过
3、点的直线与圆有公共点，那么直线的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.【详解】由题意得直线斜率存在，设为k，那么直线：，由直线与圆有公共点得，从而倾斜角取值范围是，选D.【点睛】此题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查根本求解能力.7. 抛物线的动弦的中点的横坐标为，那么的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，可得，由抛物线的定义可知，再结合，可求出的最大值.【详解】设，那么.由抛物线的定义可知，由图可知，即，当且仅当直线过焦点F时，取
4、得最大值6.应选：B.8. 直线l：ax+ y1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：a1，SAOB=；a1，|AB|CD|；a1，SCOD.其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当a1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论正确；当a1时，反证法可得结论错误；由三角形的面积公式可得SCODsinAOC，可得结论正确【详解】解：当a1时，把x0代入直线方程可得ya，把y0代入直线方程可得x，SAOBa，故结论正确；当a1时，|AB|，故|AB|2a2，直线l可化为a2x+ya0，圆心O到l
5、的距离d，故|CD|241d241，假设|AB|CD|，那么|AB|2|CD|2，即a241，整理可得a224a2+40，即a2220，显然矛盾，故结论错误；SCOD|OA|OC|sinAOCsinAOC，故a1，使得SCOD，结论正确应选：C【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，涉及根本不等式和三角形的面积公式，属中档题二填空题9. 直线与直线平行，那么实数【答案】1或-1【解析】【分析】直接利用两直线平行斜率相等列方程求解即可.【详解】时，不合题意；时，由直线与直线平行可得直线斜率相等，即，故答案为：1或-1.10. 双曲线的两条渐近线的方程为_.【答案】【解析】【分析】令解得结果【详解】令
6、解得两条渐近线的方程为【点睛】此题考查双曲线渐近线的方程，考查根本分析求解能力，属根底题.11. 过点的直线与圆相切，且与直线垂直，那么实数_；直线的方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】易知直线的斜率存在，设斜率为，由与圆相切，可建立等式关系，即可求出的方程，再由直线与直线垂直，可建立斜率关系，即可求出的值.【详解】由题意，圆的圆心为，半径为.假设直线的斜率不存在，那么直线为，此时与圆不相切，不符合题意；假设直线的斜率存在，设斜率为，那么直线为，那么，解得，即直线为，因为直线与直线垂直，所以，即.故答案为：；.12. 为双曲线的一个焦点，那么点到双曲线的一条渐近线的距离为_
7、.【答案】1【解析】分析】求出双曲线的，可设，可得双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到【详解】双曲线的，那么可设，设双曲线的一条渐近线方程为，那么到渐近线的距离为，故答案为：113. 、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，那么椭圆的离心率为_【答案】【解析】【详解】过点作轴于点，如下图：由是底角为的等腰三角形得，所以，所以，所以，即离心率，故答案为【 方法点睛】此题主要考椭圆的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出; 构造的齐次式，求出; 采用离心率的定义以及圆锥
8、曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解此题中，根据建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率14. 点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，那么【答案】【解析】分析】设，根据条件结合距离公式求出，即可求得.【详解】由可得，设，那么，解得，.故答案为：.三解答题：15. 圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.试写出圆C的圆心坐标和半径；圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；过点P(0,2)的直线交中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.【答案】圆心坐标为(-5,-5)，半径为4；(x+5)2+(y-12)2=169；x
9、2+y2+5x-14y+24=0.【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标和半径；设圆的半径为，圆心纵坐标为，由条件列出方程，求出与，由此能求出圆的方程；设，根据列出且，化简可得到的轨迹方程.试题解析：将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. 设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.此时圆心纵坐标b=r-1=12.所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=169. 设M(x,y)，依题意有DMPM.即x0且x-5，整理得x2+y2+5x-14y+24=0x0且x-5当x=0时，y=
10、12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意.故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0.点睛：求点的轨迹方程的根本步骤是：建立适当的平面直角坐标系，设是轨迹上的任意一点；寻找动点所满足的条件；用坐标表示条件，列出方程；化简方程为最简形式；证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.16. 抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点.1将表示为的函数；2假设，求的周长.【答案】1，；2.【解析】【分析】1设点，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；2运用抛物线的定义和1的结论，结合，进而得到的周长【详解】1，整理得，那么，其中；2由，那么，解得，
11、经检验，此时，所以，由抛物线的定义，有，又，所以的周长为【点睛】求曲线弦长的方法：1利用弦长公式；2利用；3如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.17. 椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.1设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；2当面积等于时，求直线的斜率.【答案】1；2【解析】【分析】1先求出的方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，可求出的坐标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；2易知直线斜率存在，可表示出的方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出的表达式，及点到直线的距离的表达式，结合，可求出直线的斜率.【详解】1
12、因为直线l过，斜率为，所以：.联立，得到.由韦达定理，有，设，那么，所以，.2由题意，可知直线斜率存在，设斜率为，那么为：，联立，得到，由韦达定理，有，O到直线l的距离为，.那么.所以，化简得，解得，所以直线：或.18. 如图，直线与椭圆交于两点.过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为.1求直线与的斜率之积；2假设直线与轴交于点，求证：与轴垂直【答案】1；2证明见解析【解析】【分析】1设，可得，分别表示出，即可得到的表达式，结合P，A都在椭圆上，可得，代入中，可求出答案；2易知，结合PQPA，即，可得，进而求出直线的方程，令，可得得，结合P在直线y=kx上，可求出B点的横坐标为，从而可知直线PB与x轴垂直.【详解】1设，那么，那么，因为P，A都在椭圆上，所以.所以.2因为，又PQPA，即，所以，所以直线：，令，得，因为P在直线y=kx上，所以，代入得到B点的横坐标为，所以直线PB与x轴垂直.