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1、第三节圆的方程A级根底过关|固根基|1.(2022届合肥市质检)圆C：(x6)2(y8)24，O为坐标原点，那么以OC为直径的圆的方程为()A(x3)2(y4)2100B(x3)2(y4)2100C(x3)2(y4)225D(x3)2(y4)225解析：选CC(6，8)，O(0，0)，所求圆的圆心为(3，4)，半径为|OC|5，所求圆的方程为(x3)2(y4)225.应选C2(2022届长沙模拟)与圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析：选D假设圆与圆关于直线对称，那么圆的半径相同，只需圆心关于直
2、线对称即可由题意知圆的圆心坐标为(2，0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a，b)，那么解得所以所求圆的圆心坐标为(1，)，半径为2，所以所求圆的方程为(x1)2(y)24.3(2022届湖北名校联考)圆(x3)2(y1)25关于直线yx对称的圆的方程为()A(x3)2(y1)25B(x1)2(y3)25C(x1)2(y3)25D(x1)2(y3)25解析：选C由题意知，所求圆的圆心坐标为(1，3)，所以所求圆的方程为(x1)2(y3)25，应选C4(2022届河北九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，那么圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y
3、24x0Cx2y24x0Dx2y22x30解析：选C由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，那么2，解得m2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0，应选C5圆C的圆心在y轴上，点M(3，0)在圆C上，且直线2xy10经过线段CM的中点，那么圆C的标准方程是()Ax2(y3)218Bx2(y3)218Cx2(y4)225Dx2(y4)225解析：选C设圆C的圆心坐标为(0，b)，那么线段CM的中点坐标为.因为直线2xy10经过线段CM的中点，所以210，解得b4，所以圆C的圆心坐标为(0，4)，半径r|CM|5，所以圆C的标准方程是x2(y4)225，应选C6(
4、2022届河北省衡水中学高三调考)假设圆x2y2ax2y10和圆x2y21关于直线yx1对称，过点C(a，a)的圆P与y轴相切，那么圆心P的轨迹方程是()Ay24x4y80By22x2y20Cy24x4y80Dy22xy10解析：选C圆x2y2ax2y10的圆心为，由题意可知，在直线yx1上，即1，解得a2，点C的坐标为(2，2)，设圆心P为(x，y)，那么有|x|，即y24x4y80.应选C7(2022届豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线xby2b10相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()Ax2(y1)24Bx2(y1)22Cx2(y1)28Dx2(y
5、1)216解析：选B解法一：由题意可得圆心(0，1)到直线xby2b10的距离d ，假设求半径最大，即d最大，又b0，所以d ，当且仅当b1时取等号所以半径最大的圆的半径r，此时圆的标准方程为x2(y1)22，应选B解法二：由直线xby2b10可得，该直线过定点A(1，2)，设圆心为B(0，1)，由题意可知，要使所求圆的半径最大，那么rmax|AB|，所以半径最大的圆的标准方程为x2(y1)22，应选B8(2022届安徽黄山一模)直线2xy0与y轴的交点为P，点P把圆(x1)2y236的直径分为两段，那么较长一段与较短一段的比值为()A2B3C4D5解析：选A将x0代入2xy0可得P(0，)圆
6、心坐标为(1，0)，那么点P与圆心的距离为2.由圆的半径为6，可知较长一段为8，较短一段为4，那么较长一段与较短一段的比值为2.应选A9(2022届豫北名校期中联考)以点A(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切，过点B(2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点(1)求圆A的方程；(2)当|MN|2时，求直线l的方程解：(1)设圆A的半径为r，因为圆A与直线l1：x2y70相切，所以r2，又圆心为(1，2)，所以圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x2，将x2代入圆A的方程中，得(21)2(y2)220，解得y2，此时|MN|2
7、，那么x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，那么直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.因为Q是MN的中点，连接AQ，所以AQMN，所以|AQ|2r2.又知|MN|2，r2，所以|AQ|1.由题意得1，(k2)2k21，解得k.所以直线l的方程为y(x2)，即3x4y60.综上，满足题意的直线l的方程为x2或3x4y60.10经过点A(0，1)的圆的圆心在y轴上，且圆截x轴所得的弦长为2，不过点A的直线l与圆交于不同的两点B，C，且点B，C不在y轴上(1)求圆的标准方程；(2)假设直线AB和AC的斜率之和为1，求证：直线l恒过定点解：(1)由题意，设圆心为(0，b)，半
8、径为r，那么所以b0，r1，所以圆的标准方程为x2y21.(2)证明：设点B(x1，y1)，C(x2，y2)当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm(m1)，把ykxm代入x2y21，得(k21)x22kmxm210，那么4(k21m2)0，x1x2，x1x2，kABkAC2k2k2k.又直线AB和AC的斜率之和为1，所以2k1，解得m2k1，代入ykxm，得ykx2k1，即yk(x2)1，所以直线l恒过点(2，1)当直线l的斜率不存在时，x2x1，y2y1，kABkAC.因为直线AB和AC的斜率之和为1，所以1，x12.但1x10，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，那么的最小值为(
9、)A1B5C4D32解析：选D由题意知圆心C(2，1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1.又a0，b0，(ab)33232，当且仅当，即b2，a1时，等号成立，的最小值为32.13(2022年北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos ，sin )到直线xmy20的距离当，m变化时，d的最大值为()A1B2C3D4解析：选C由题知点P(cos ，sin )是单位圆x2y21上的动点，所以点P到直线 xmy20的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离又直线xmy20恒过点(2，0)，所以当m变化时，圆心(0，0)到直线xmy20的距离d的最大值为2，所以点P到直线xmy20的距离的最大值为3，即d的最大值为3.应选C14(2022届东北三省四校联考)圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点记d|PB|2|PA|2，其中A(0，1)，B(0，1)，那么d的最大值为_解析：设P(x0，y0)，那么d|PB|2|PA|2x(y01)2x(y01)22(xy)2.xy为圆上任一点到原点距离的平方，(xy)max(51)236，dmax74.答案：74- 5 -