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1、动态问题一、选择题1. 2022湖北鄂州 如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线ABM方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，那么描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是 【考点】动点函数的图像问题.【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可.【解答】解：点P在AB上分别运动时，围成的三角形面积为S(cm2)随着时间的增多不断增大，到达点B时，面积为整个正方形面
2、积的四分之一，即4 cm2； 点P在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2) 随着时间的增多继续增大，S=4+SOBP；动点P由A开始沿折线ABM方向匀速运动，故排除C，D；到达点M时，面积为4 +2=6(cm2)，故排除B.应选A【点评】动点函数的图像问题. 解答此类题目应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际求解. 注意排除法在此题中的灵活运用.2.2022年浙江省台州市如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，那么PQ长的最大值与最小值的和是A6B2+1C9
3、D【考点】切线的性质【分析】如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题【解答】解：如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，AB=10，AC=8，BC=6，AB2=AC2+BC2，C=90，OP1B=90，OP1ACAO=OB，P1C=P1B，OP1=AC=4，P1Q1最小值为OP1OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P
4、2Q2最大值=5+3=8，PQ长的最大值与最小值的和是9应选C3.2022年浙江省温州市如图，在ABC中，ACB=90，AC=4，BC=2P是AB边上一动点，PDAC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CEP从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动在整个运动过程中，图中阴影局部面积S1+S2的大小变化情况是A一直减小 B一直不变 C先减小后增大 D先增大后减小【考点】动点问题的函数图象【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想方法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可【解答】解：在RTABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，AB=2，设PD=x，AB边上
5、的高为h，h=，PDBC，=，AD=2x，AP=x，S1+S2=2xx+21x=x22x+4=x12+3，当0x1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1x2时，S1+S2的值随x的增大而增大应选C42022.山东省泰安市，3分如图，正ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点不与点B、C重合，且APD=60，PD交AB于点D设BP=x，BD=y，那么y关于x的函数图象大致是ABCD【分析】由ABC是正三角形，APD=60，可证得BPDCAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案【解答】解：ABC是正三角形，B=C=60，BPD+APD=C+CAP，APD=60，BPD=CAP，BPD
6、CAP，BP：AC=BD：PC，正ABC的边长为4，BP=x，BD=y，x：4=y：4x，y=x2+x应选C【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质注意证得BPDCAP是关键解答题12022山西此题14分综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，点A，D的坐标分别为2，0，6，81求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；2试探究抛物线上是否存在点F，使，假设存在，请直接写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由；3假设点P是y轴负半轴上的一个
7、动点，设其坐标为0，m，直线PB与直线l交于点Q试探究：当m为何值时，是等腰三角形考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构 成分析：1将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式 点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标 点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令 其横坐标为，即可求出点E的坐标 2利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所 以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标 3根据点P在y轴负半轴上运动，分两种情况讨论，再结合相似求解解答：1抛物线经过点
8、A2，0，D6，8，解得1分抛物线的函数表达式为2分，抛物线的对称轴为直线又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为2，0点B的坐标为8，04分设直线l的函数表达式为点D6，8在直线l上，6k=8，解得直线l的函数表达式为5分点E为直线l和抛物线对称轴的交点点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为3，46分2抛物线上存在点F，使点F的坐标为或8分3解法一：分两种情况： 当时，是等腰三角形点E的坐标为3，4，过点E作直线ME/PB，交y轴于点M，交x轴于点H，那么，9分点M的坐标为0，5设直线ME的表达式为，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为15，010分又MH
9、/PB，即，11分当时，是等腰三角形当x=0时，点C的坐标为0，8，OE=CE，又因为，CE/PB12分设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，点N的坐标为6，013分CN/PB，解得14分综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形解法二：当x=0时， ，点C的坐标为0，8，点E的坐标为3，4，OE=CE，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H分两种情况： 当时，是等腰三角形，CE/PB9分又HM/y轴，四边形PMEC是平行四边形，HM/y轴，10分11分当时，是等腰三角形轴，12分，轴，13分14分当m的值为或时，是等腰三角形22022上海如下列图
10、，梯形ABCD中，ABDC，B=90，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且AGE=DAB1求线段CD的长；2如果AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；3如果点F在边CD上不与点C、D重合，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围【考点】四边形综合题【专题】综合题【分析】1作DHAB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，那么DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；2分类讨论：当EA=EG时，那么AGE=GAE，那么判断G点与D点重合，即ED=EA，
11、作EMAD于M，如图1，那么AM=AD=，通过证明RtAMERtAHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，那么AGE=AEG，可证明AE=AD=15，3作DHAB于H，如图2，那么AH=9，HE=AEAH=x9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明EAGEDA，那么利用相似比可表示出EG=，那么可表示出DG，然后证明DGFEGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系【解答】解：1作DHAB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，DH=BC=12，CD=BH，在RtADH中，AH=9，BH=ABAH=169=7，CD=7；2当EA=EG时，那么AGE=GAE，AGE=DAB，GAE=D
12、AB，G点与D点重合，即ED=EA，作EMAD于M，如图1，那么AM=AD=，MAE=HAD，RtAMERtAHD，AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，那么AGE=AEG，AGE=DAB，而AGE=ADG+DAG，DAB=GAE+DAG，GAE=ADG，AEG=ADG，AE=AD=15，综上所述，AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；3作DHAB于H，如图2，那么AH=9，HE=AEAH=x9，在RtADE中，DE=，AGE=DAB，AEG=DEA，EAGEDA，EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，EG=，DG=DEEG=，DFAE，
13、DGFEGA，DF：AE=DG：EG，即y：x=：，y=9x【点评】此题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题32022四川巴中如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx5mm0与x轴交于点A、B点A在点B的左侧，该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上不与原点重合，连接PD，过点P作PFPD交y轴于点F，连接DF1如图所示，假设抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；2求A、B两点的坐标；3如图所示，小红在探
14、究点P的位置发现：当点P与点E重合时，PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=x上任意一点P不与原点重合，PDF的大小为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】1先提取公式因式将原式变形为y=mx2+4x5，然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=2，故此可知当x=2时，y=6，于是可求得m的值；2由1的可知点A、B的坐标；3先由一次函数的解析式得到PBF的度数，然后再由PDPF，FOOD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明PDF=60【解答】解：1y=mx2+4mx5m
15、，y=mx2+4x5=mx+5x1令y=0得：mx+5x1=0，m0，x=5或x=1A5，0、B1，0抛物线的对称轴为x=2抛物线的顶点坐标为为6，9m=6m=抛物线的解析式为y=x2x+2由1可知：A5，0、B1，03如下列图：OP的解析式为y=x，AOP=30PBF=60PDPF，FOOD，DPF=FOD=90DPF+FOD=180点O、D、P、F共圆PDF=PBFPDF=6042022湖北十堰如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A4，3，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点0，2且垂直于y轴的直线，过P作PHl，垂足为H，连接PO1求抛物线的解析式，并写
16、出其顶点B的坐标；2当P点运动到A点处时，计算：PO=5，PH=5，由此发现，PO=PH填“、“或“=；当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；3如图2，设点C1，2，问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与ABC相似假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】1利用待定系数法即可解决问题2求出PO、PH即可解决问题结论：PO=PH设点P坐标m， m2+1，利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题3首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点Pm， m2+1，由=列出方程即可解决问题【解答】1解：抛物线y=ax2+1
17、经过点A4，3，3=16a+1，a=，抛物线解析式为y=x2+1，顶点B0，12当P点运动到A点处时，PO=5，PH=5，PO=PH，故答案分别为5，5，=结论：PO=PH理由：设点P坐标m， m2+1，PH=2m2+1=m2+1PO=m2+1，PO=PH3BC=，AC=，AB=4BC=AC，PO=PH，又以P，O，H为顶点的三角形与ABC相似，PH与BC，PO与AC是对应边，=，设点Pm， m2+1，=，解得m=1，点P坐标1，或1，【点评】此题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题5
18、2022.山东省青岛市：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QFAC，交BD于点F设运动时间为ts0t6，解答以下问题：1当t为何值时，AOP是等腰三角形2设五边形OECQF的面积为Scm2，试确定S与t的函数关系式；3在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：SACD=9：16假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由；4在运动过程中，是否存在某
19、一时刻t，使OD平分COP假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由【考点】四边形综合题【分析】1根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，当AP=PO=t，如图1，过P作PMAO，根据相似三角形的性质得到AP=t=，当AP=AO=t=5，于是得到结论；2作EHAC于H，QMAC于M，DNAC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质得到EH=，根据相似三角形的性质得到QM=，FQ=，根据图形的面积即可得到结论，3根据题意列方程得到t=，t=0，不合题意，舍去，于是得到结论；4由角平分线的性质得到DM=DN=，根据勾股定理得到ON=OM=，由三角形的面积公式
20、得到OP=5t，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：1在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，AC=10，当AP=PO=t，如图1，过P作PMAO，AM=AO=，PMA=ADC=90，PAM=CAD，APMADC，AP=t=，当AP=AO=t=5，当t为或5时，AOP是等腰三角形；2作EHAC于H，QMAC于M，DNAC于N，交QF于G，在APO与CEO中，AOPCOE，CE=AP=t，CEHABC，EH=，DN=，QMDN，CQMCDN，即，QM=，DG=，FQAC，DFQDOC，FQ=，S五边形OECQF=SOEC+S四边形OCQF=5+5=t2+t+12，S与t的函数关系式为
21、S=t2+t+12；3存在，SACD=68=24，S五边形OECQF：SACD=t2+t+12：24=9：16，解得t=，t=0，不合题意，舍去，t=时，S五边形S五边形OECQF：SACD=9：16；4如图3，过D作DMAC于M，DNAC于N，POD=COD，DM=DN=，ON=OM=，OPDM=3PD，OP=5t，PM=t，PD2=PM2+DM2，8t2=t2+2，解得：t15不合题意，舍去，t2.88，当t=2.88时，OD平分COP62022江苏省扬州如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A1，3，顶点B的横坐标为11求这个二次函数的表达式；2点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上
22、，假设以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；3如图3，一次函数y=kxk0的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TMOC，垂足为点M，且M在线段OC上不与O、C重合，过点T作直线TNy轴交OC于点N假设在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值【考点】二次函数综合题【分析】1利用待定系数法即可解决问题2当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题3设Tm，m22m，由TMOC，可以设直线TM为y=x+b，那么m22m=m+b，b=m22m+，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据列出等式，即可解决问题【解答】解：1二次函数y=ax2+bx的图象过点A1，3，顶点B的横坐标为1，那么有解得二次函数y=x22x，2由1得，B1，1，A1，3，直线AB解析式为y=2x+1，AB=2，设点Qm，0，Pn，n22n以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，那么有，解得或P1+，2和1，2当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或P1+，4或1，43设Tm，m22m，TMOC，可以设直线TM为y=x+b，那么m22m=m+b，b=m22m+，由解得，OM=，ON=m，=，k=时， =当k=时，点T运动的过程中，为常数