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1、核心素养测评六十一 圆锥曲线的最值问题1.已知抛物线y2=4x的焦点为点F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若=2,求直线AB的斜率.(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.【解析】(1)由已知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+1,由消去x得,y2-4my-4=0.所以y1+y2=4m,y1y2=-4.因为=2,所以y1=-2y2, 联立和,消去y1,y2,得m=.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的
2、面积等于2SAOB.因为2SAOB=2|OF|y1-y2|=4,所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.2.已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1的上焦点,C上一点A在x轴上方,且|OA|=.(1)求直线AF的方程.(2)B为直线AF与C异于A的交点,C的弦MN,AB的中点分别为P,Q,若O,P,Q在同一条直线上,求OMN面积的最大值.【解析】(1)设A(x0,y0)(y00),因为|OA|=,所以=,又因为点A在椭圆上,所以+=1,由解得:或所以A的坐标为或,又因为F的坐标为(0,),所以直线AF的方程为y=-x+或y=x+.(2)当A在第一象限时,直线AF:y=-x+,设M(x1,y1),N(x2,y2),则两式相减得+=0,因为MN不过原点,所以=-,即kMNkOP=-,同理:kABkOQ=-,又因为O,P,Q在同一条直线上,所以kOP=kOQ,所以kMN=kAB=-,设直线MN:y=-x+m,由得5x2-2mx+2m2-18=0,由0,得-m.由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=.又因为O到直线MN的距离d=|m|,所以SOMN=|MN|d=|m|=3,当且仅当m2=10-m2,即m=时等号成立,所以OMN的面积的最大值为3,当A在第二象限时,由对称性知,OMN面积的最大值也为3.综上,OMN面积的最大值为3.